DE, D'C'),.... (GH, G'H'),..., (CF, CF

et d'siilleurs toutes ces droites seront projetees borizontalement sur des paraltele^ ii la trace op du plan directeur P.

568. Quant au^ projections verticales de ces memes g^i^^^ratrices, elles former ront» par leurs intersections successives, une courbe D' O'F' erweloppe de toutes ces droites, et qui si^a une parabole. Car chaque gen^ratrice G'H' fournissant evidem*ment la proportion F'G' : G' C ; : CH' : H'D', il en resulte que, dans )a courbe eq^ veloppe, 4eux tangentes menees du meme point sont coupees par une troisieme tangente en parties r^ciproquement proportioqneUes; ce qui est une propri^ta connue de la parabole du second degre. D'ailleurs, puisque la courbe DOT' forme le contour apparent de la surface, sur le plan verticaU il hndn ponctuer les parties des generatrices qui se trouveront au delk de ce contour apparent; aiasi la droite (GMH, G'M'H') , par exemple, ser? visible 3ur le plan ver^cal daps la portion G'M\ et invisible dans la portion M'H' : en outre, le point de contact M', qui separe ces parties, se trouvera necessairement projet^ en M sur la diagonale DF. En effet, dans la parabole D'OT', on aura, par le principe rappele ci-dessus,

G'M' : M'H' ;; CH' : H'D' :: n : 5;

CUAPITEB lU. — mJ PAEAIOLOWE BTraSBOLIQUE, ^35

mais, dans 1^ losange CDEF, on a auMi evideintnent

GM:MH::GF:DH:: n :5;

d'oii I'on conclut G'M' : M'H' : : GM :MH, et, par consequent, le point M' se projette en M. Cette circonst^nce, qui se reprodult pour toutes les generatrices, prouve que la parabole D'O'F' n'est autre chose que la section faite par le plan vertical DOF, dans le parabolo'ide en question.

569. Mkintendnt, si Ton projetait ce meme paraboloids stxt tin plan vertical \Z'\ paraliele k la diagonale CE, les directrices primitives deviendraient .les droites (CD, CD"), (EF, E'^D"); et Ton prouverait, comme ci*dessus, que les projections des generatrices forlneraient, par leurs intersections successives, une autre parabole CCE", qui representerait la section faite datis la surface par le plan vertical COE. Les lecteurs familiarises avee Tapplication de Tanalyse a la geometric des trois dimensions reconnaitront, dans les plans verticaux OY et OZ qui fonrnissent ces paraboles, les deux plans eUamSirauai principaux dn paraboloide hyperbolique, lesquels doivent se couper (n^ 91) suivant Viixe unique de cette surface; et, en effet, nous aliens demontrer (n"" K72) que cet axe est la droite (0, (yX').

570. Fig. I20.) Le paraboloide hyperbolique admet, comme nous Tavons vu au n'' 551, un second systetne de generatrices rectilignes qui sont parallel^ au plan directeilr Q, determine par les deux directrices primitives B et Bs, ou (CD, CD') et(£F, C'F'); c'estici le plan vertical o^. Par consequent, ces nouvelles generatrices set^ont projetees horizontalement sur des paralleles a la trace oq; et comme elles doivent en outre s'appuyar sur deux droites du premier systeme A, par exemple sur (DE, D'C) et (CF, C'F'), dont le^ extremites correspondent deja (n^ 566) a des plans verticaux DC et EF paralleles k oq^ on voit qu'il suftira de divisor en un meme nombre de parties egales ces deux nouvelles directrices (DE, D'C), (CF, C'F'), puis de joindre ensemble les points de division o et ib, i et i5, 2 et i4f 3 et 1 3,..*; par \kt on obtiendra les diverses generatrices du systeme B, savoir :

(CD, CD'),..., [gMh, G'M'H'),..., (FE,FC),

571. Ces droites du systeme B se confondront en projection verticale avec cellos du systeme A deja construites; car, dansle losange CDEF, il est evident que les points G et ^, H et A se trouveront deux a deux sur des perpendiculaires k la ligne deterre. Ainsi, les projections verticalesde ces generatrices B seront encore tangentesa la parabole principale D'O'F'; mais les parties visibles, comme (MA, M'H'}, tomberaient sur les parties ponctuees des generatrices A, et reciproquement. C'est pourquoi, afin de laisser subsister pour Toeil la distinction des deux nappes anterieure ei post^rieure au plan vertical DOF, nous n'avons pas voulu representor les generatrices du systeme B comme reellement existantes, mais nous les avons marquees seulement en lignes mixtes sur le plan horizontal.

Une coincidence analogue aura lieu sur le plan vertical yZ"", oil les generatrices du systea^ B se trouveront ^ussi tangentes k la parabole principale C'0"£'^