BES PLANS TANGENTS AUX SURFACES GAUCHES G^N^RALES

L'hyperboloide k une nappe et le parabploide hyperbolique sont, parmi les surfaces gaucbes, les plus simples que Ton puisse concevoir, puisque toutes leurs directrices sont rectilignes ; aussi ce sont les seules dont Tequation ne s'eleve pas au dela du second degre, et, pour cette raison, on les appelle les deux surfaces gauches du second degrd. Comme la construction de leurs plans tangents est facile, on a cberche k y ramener la solution des questions semblables pour les surfaces gaucbes generales, et Ton y est parvenu au moyen du lemme suivant.

57S, Lemme. {Fig. 1 16.) Lorsque deux surf aces gauches S et S' ont une giniratrice commune GLMN, et qu elles SE touchent en trois points L, M, N de cette cbvite^ alors ces deux surfaces SE ragcqrdent complitement tout le long de cette genera-'^ trice; c'est-a-dire que, pour cbaque point de cette droite, le plan tangent est commun a Tune et k Tautre surface.

Puisqu'en L les deux surfaces ont un plan tangent commun, et qu'il en est de meme aux points M et N, trois plans quelconques menes par ces points couperont les surfaces S et S' suivant des courbes respectivement tangentes,

A a, B6, Cc, et AV, B'6', CV,

dont les trois premieres pourront etre adoptees pour directrices A^ la droite mobile G, quand elle decrit la surface S> tandis que les trois autres courbes seront les directrices relatives k S'. Gela pose, je fais glisser la gen^ratrice G sur les trois directrices Aa, B6, Cc, et je Tamfene dans une position infiniment voisine glmn : cette droite mobile n'aura pas cesse d'etre en meme temps sur la seconde surface S', parce que les courbes directrices de celles-ci, qui sont tangentes aux autres, ont de commun avec elles les elements lineaires L/; Mm, Nn; done les droites G et g, ainsi que toutes les positions intermediaires de la gen^ratrice, sont communes aux surfaces S et S', ce qui permettrait dejk de conclure que ces surfaces ayant de commun VeU-ment superficiel com^ns entre G et gy et ind^fini en longueur, elles se touchent tout le long de la droite G. Mais pour etablir encore plus clairement cette consequence, coupons les surfaces S et S' par un quatrieme plan arbitraire^ mene par le point quelconque H : alors les sections seront deux courbes D rf et \i'd\ qui passeront necessairement par les de^x points H et A, oil ce plan sc'^ant rencontrera les

a38 UVRB Yll. — DKS MJBFACES GAVCHES.

droites G et g; done les courbes D</ et D'd\ ayant deux points eommuns infiniment Yoisins, se toucheront suivant Telement HA, ou bien elles auroi^t la meme tangente BAT. Par consequent, les plans tangents de S et de S' au point H coincideront bien Tun avec I'autre, puisque chacun d'eux devra passer par les aroites GH et HT*

576. Si les surfaces gauches S et S' sont des cyUndroides^ c'est-a-dire de celles qui admettent unplan directeur, il suffira, pour qu* elles se raccordent tout le long d*une generatrice commune G, qu'elles aient seulement deux plans tangents eommuns en deux points de cette droite, et quen outre leplan directeur soit le mfi^me pour Tune et Tautre surface. Cette proposition se d^montrera precis^ment comme la preccdente, et Ton doit voir tout de suite pourquoi, dans le cas actuel, on n'exige que deux plans tangents eommuns; car, dfeslors qtte lesdirectrices Aeiet A'<l', BfeetB'ft' [fig. 116) sont respectivement tangentes, et, qu'en outre, le plan directeur est le meme, cela sufBt evidemment pour que la droite g^ menee par le point /, ne puisse pas prendre deux positions difTerentes sur S et S', et soit ainsi commune k ces deux surfaces.

Les deux theoremes precedents sur le contact des surfaces gauches, sont nonseulement utiles dans plusieurs questions de stereotomie oil Ton veut raccorder de pareilles surfaces, mais ils servent aussi de base k la methode par laquelle on construit leurs plans tangents ou leurs normales, dont la determination est encore n^cessaire pour former its joints des voussoirs de certaines voutes.

577. {Fig. 117.) Du PLAN TAKGENT dont le point de contact est donne. Soient Aa, B6, Cc, les trois directrices d'une surface gauche quelconque S, et H le point d'une generatrice GLMN, pour lequel on demande le plan tangent. Je mene les tangentes LT, MU, NY aux directrices donnees ; et en faisant glisser la droite G sur ces trois tangentes fixes, j'obtiendrai (n^ 521) un hyperbolo'ide a une nappe qui aura evidemment en L, M, N, lesimemes plans tangents que S. Done ces deux surfaces se toucheront (n^ 575) dans tons les points de la generatrice GLMN; et, par suite, la recherche du plan tangent de Ik surface S au point H sera ramen^e k celle du plan tangent de cet hyperboloide en ce meme point, probleme dont la solution a a ete indique au n^ 550. Mais il sera encore plus simple de recourir a un parabolo'ide, comme nous aliens Texpliquer au n'^ 579.

578. Observons d'abord que pour construire un hyperboloide de raccordement le long de la generatrice G, il n'est pas necessaire d'employer precisement les trois tangentes LT, MU, NY : il suffirait d'adopter pour directrices trois droites quelconques, situees respectivement dans les plans GLT, GMU, GNY, qui toucbent la surface S aux points L, M, N ; car Thyperboloide ainsi forme aurait encore evidemment trois plans tangents eommuns avec la surface S. Par consequent, V hyperboloide de raccordement est susceptible d'une infinite de formes; aussi, parmi tons ces hyperbolo'ides tangents, il y en aura un qui olTrira un contact plus intime avec la surface Sy et qu'on appelle hyperboloide osculateur : mais comme sa construction ne nous est pas utile k present, nous en parlerons en iraitant de la courbure des surfaces {voyez n^ 744).