CHAPITRE IV. — PLAITS TANGEinS AUX SURFACES GAUCflBS. 23q

579. Un paraholoide de raccordement offre la m6tho(le la plus simple pour construire le plan tangent d'une surface gauche g6nerale S. En effet {fig. 117), dans 1ft plan tangent de S en N, lequel est determine par GN et NV, on peut toujours tracer nne droite NR qui soit parallele au mfime plan que les deux tangentes LT et MU; car cela se r6duit k couper le plan tangent GNV par un plan parallele a LT et MU. Alors, si j'adopte les trois droites DT, MU, NR, qui se troment paf-aUeles d unplan unique^ pour dirigerle mouvementde la gen6ratrice G, j'obtiendrai (n**555) un paraholoide qui §iura encore trois plans tangents comniuns avecla surface S, dans les points L, M, N; done le plan qui touchcra S en H sera le meme (n^ 575) que le plan tangent du paraholoide ainsi forni6 : or ce dernier plan se construira par la methode trfes-simple du n° 556. Nous offrirons hientot un exemple de ces constructions dan« IeprobIemedun<>608.

580. Lorsque la aurface S admettra elle-mdme un plan directeur P, il suffira alors d^adopter les tangentes LT et MU aux deux courhes directrices, pour faire glisser la gen^ratrice GLM parallelement au plan P; par Ik cette droite decrira imm6diatement un paraholoide qui aura hien deux plans tangents eommuns avec 8 et fe mime plan direoteur. Done (n* 576) ce paraholoide touchera la surface S tout le long de GLM; de sorte qu*en construisant le plan tangent de ce paraholoide pour le point H (n^ 556), ce sera aussi le plan qui touchera la surface S en ce point {voyez Texemple du n° 598).

581 . Si une des directrices lin^aires ^tait remplac^e par une surface directrice 2, a laquelle la generatrice de S devrait demeurer tangente {voyez n? 516), la courbe aa'oc";. .., form^e par la srite des points de contact des generatrices Ga, G'a\ G'ot^,..., avec 2, serait au fond la troisieme directrice lin^aire; mais, sans construire cette courbe ni sa tangente, il n'y a qu'k observer que le plan tangent de la surface S au point a est le meme que le plan tangent de la surface gauche proposee S, puisque Tun et Tautre doivent renfermer la droite Ga et la tangente de la courbe aaV...« Done il suf&ra de tracer dans le plan tangent de 2, relatif au point a, une droite quelconque aHy laquelle, jointe aux tangentes des deux autres directrices lineaires, servira eneore ^ former une surface auxiliaire du second degre, qui aura trois plans tangents eommuns avec S, et doQt on tirera le meme parti qu'au n^ 577. Cette me* thode trouvera des applications utiles dans les epures relatives aux escaliers en pierre ou en bois {voyez aussi 1' exemple du n® 604).

582. Enfin, il peut arriver que la definition de la surface gauche S ne fasse pas eonnattre immediatement trois directrices, comme nous en avons cite des exemples au n^ 5i9; ou hien, que ces directrices etant donnees, on ne sache pas construire leurs tangentes. Dans ce cas, designon^ par G la generatrice sur laquelle est situe le point H oil Ton veut trouver le plan tangent, et construisons plusieurs generatrices voisines,..., G,, G,, et G', G'',..., qui precedent et qui suivent la proposee. Alors, un plan tt, mene arbitrairement par la droite G, coupera ces generatrices voisines en des points a, , a, , a\ a^, qui fourniront une courbe a^aaa'a'^..., dont la rencontre a avec G fera connaitre le point dans lequel le plan tt touche la surface

^40 LITRE Til. — DES SURFACES GAUCHES.

S; en effet, ce plan it, renfermant la droite Ga et la tangente de la courbe ao'a'"..., sera bien tangent k S dans le point a. De memet en conduisant par la droite G un autre plan v!^ on trouvera le point § oil il sera tangent k S ; puis un troisifeme plan n'\ mene par G, touchera cette surface en un certain point y. Cela pose, dans les trois plans tangents tt, t:', <, on tracera des droites quelconques aR, ST, yV, que Ton adoptera pour directrices d'une surface gauche du second degr^, laquelle touchera bien la surface propos^e S tout le long de la droite G (n° 578); done la recherche du plan tangent de S au point H sera reduite k trouver le plan tangent de la surface auxiliaire du second degre pour ce memo point : probl^me qui se r^soudra comme au n^ 556 ou 530, selon que les trois directrices rectilignes auront 6t6 cholsies parallMes, ou non, a un memo plan.

583. 11 r^sulte de la que tout plan tt, mend par une droite G d'une surface gauche, se trouve^ en general , tangent a cette surface dans un certain point a, qui se determine en construisant, comme ci-dessus, la courbe a^a^alal' ...y suiTant laquelle ce plan coupe la surface proposee. Gependant, le plan n deviendrait asymptote de la surface, si la courbe cl^ol^oi! a"... ne rencontrait la droite G qu'a I'infini, ainsi qu'il est arriTe dans Thyperboloide au n^ 546; ou encore, si ce plan ne coupait pas les generatrices voisines de G^ comme dans le cas du paraboloide examine au n^ 561 .

584. Ce qui pr^cfede nous permet de resoudre un problfeme int^ressant, du moins sous le rapport de la theorie : c'est de construire la tangente a une courbe D tracSe arbitrairementy et tout a fait inconnue quant k ses proprietes geom^triques, mais donnee par ses deux projections.

Pour cela (*), faisons passer par cette courbe une surface gauche S qui ait pour directrices la courbe D et deux droites A et B, prises k Tolonte. Apres aToir construit la generatrice GH, qui passera par le point H donne sur la courbe Dt on saura trouTer, par le n® 582, le plan tangent de S pour le point H, sans employer la tanrgente inconnue de la directrice D . De meme, en forman t une seconde surface gauche S% dont les directrices seraient la courbe D et deux droites A', B^ trfes-differentes des premieres, on saura construire aussi le plan tangent de S' pour le point donne H. Or, puisque la courbe D est en meme temps sur les deux surfaces S et S', sa tangente au point H dcTra Stre situee dans les deux plans tangents dont nous Tenons de parler; et, par consequent, elle sera foumie par I'intersection de ces plans.

Pour simplifier les operations graphiques, on pourra former les deux surfaces gauches S et S', avec deux seules directrices D et A, D et k\ en y joignant d'ailleurs un plan directeur commun P. Une seule surface S sufQrait evidemment, si la courbe D etait plane, puisque le plan de cette courbe devrait renfermer la tangente demandee.

(*) Cette m^thode ing^nieuse est due k M. Hachette. Mais il faut avouer que, dans la pratique, la multiplicity des operations qu'elle entratne ne produira pas un r^sultat plus certain que si Ton se contentait de mener cette tangente au moyen de la rdgle, en lui donnant un petit arc de commun avec la courbe propose.

CIIAPITBE IV. — PLAHS TANGENTS AUX SURFACES CAUGHES. 2^\

585. Des plans tangents dont le point de contact nest pas donne. On peut appliquer aux surfaces gauches les methodes gen^rales indiqu^es pour ces sortes de problemes dans lelivre Y; maisicit elles sont susceptibles de quelques simplifications notables.

Si le plan tangent k la surface S est assujetti seulement )k passer par un point donne^y le probleme admettra une infinite de solutions (n^ 549), lesquelles seront fournies toutes par la ligne de contact d'un cdne circonscrit a la surface S, et ayant son sommet en V. Pour obtenir cette courbe, il suffira de mener par le point V et par chacune des diverses generatrices G, G\ G'",..., des plans qui seront tangents k la surface S, en des points a, S, 7, . . ., que Ton saura construire (n^ 583) ; alors la courbe ccgy..., qui reunira tons ces points, sera la ligne de contact cherch^e.

586. Cette marche sera fort commode, si la surface S est du second degre; car la ligne auxiliaire a, ol^ a'a" du n^ 582, qui sert k trouver le point de contact a du plan mene par la generatrice G, se reduira a une droite dont il suffira de construire deux points, et la courbe definitive ocSy.... sera elle-meme plane et du second degre (n^ 355).

On pourrait ramener au cas actuel le problfeme du numero precedent, en construisant le paraboloide de I'accordement le long de chaque generatrice G de la surface quelconque S.

587. Lorsque le plan tangent a la surface S devra etre parallele a une droite don-nee D, on conduira par les diverses generatrices G, G', G"",... des plans paralieles a D; et en determinant (n° 583) leurs points de contact a, §, y,..., avec la surface S, la courbe aSy . . . sera la ligne de cont€u;t dun cylindre circonscrit dS et parallele d D; par consequent, cette courbe aSy . . . fournira toutes les solutions du problfeme propose {n° 578).

588. Si la surface S est du second degre, on retrouvera les memes simplifications qui ont ete indiquees au n^ 586; et Ton pourra aussi ramener au cas actuel le probleme analogue pour une surface quelconque S.

589. Lorsque le plan tangent a la surface gauche quelconque S devr^ passer par une droite donnee D, il n'y aura qu'a suivre la marche generate indiquee au n^ 395, laquelle consiste a chercher les points communs aux courbes de contact de deux cones qui sont circonscrits k S, et qui ont leurs sommets places sur la droite D.

590. Mais si la surface gauche est du second degre, on resoudra le probleme d'une maniere beaucoup plus simple, par les considerations suivantes. Le plan tangent cherche devra contenir, outre la droite D, les deux generatrices de Thyperboloide (ou du paraboloide) qui se coupent au point de contact inconnu; done une, au moins, de ces generatrices ira rencontrer D en un point M, dans lequel cette dernifere droite traversera I'hyperboloide.

D'apres cela, si Ton commence par chercher (n^ 534, 5°) les deux points M et M' oil la droite donnee D coupera generalement la surface; puis, si Ton construit les quatre generatrices MA et MB, M'A' et M'B\ qui passent par ces deux points, il n'y aura plus qu*a conduire par les droites D et MA, D et MB, deux plans qui sa-

Geometrie Lervjr. i I