Projection sur un plan parallèle à l'axe de la roue

3. Projection sur un plan perpendiculaire à la longueur de la dent représentant le bout du tenon et son épauleiuenl;

4. Projection sur un plan perpendiculaire à la longueur de la dent, et représenant le boni de sa tête.

La partie saillante d'une dent, au dehors delà jante dans laquelle elle est asseutl>k'i'. ne doit être que d'une fois et demie ou deux fois toul au plus son épaisseur.

5" Engrenage* Intérieur*.

Lorsque la position des axes cl le rapport entre les cercles primitifs est tel que l'un des deux cercles se trouve dans l'intérieur de l'autre, les dents de la grande roue sont implantées dans la paroi intérieure de sa jante, celles de la pailla sont sur sa circonférence extérieure. Eu traçant les contours des dents par la construction que nous venons d'indiquer, on reconnaît que les Danes des dents des deux roues soûl tournés du même côté, el que leurs faces sout également tournées du même côté, de façon qu'il y a impossibilité de donner aux dents des laces et des dancs; il faut se contenter de donner seulement aux dents d'une roue dis flancs, el aux dénis de l'autre des faces ; et comme une épicyclofda a plus de courbure lorsqu'elle esl formée sur un grand cercle que sur un petit, on compose let dénis de la grande roue seulement des races épicyeloldalcs, el les dents de la petite, seulement de flancs ; c'est ce cas que nous avons représenté , Cv%. "&, ^VA

A M H est le cercle primitif de la grande roue qui a son centre en C;

A' M fi' est li' cercle primitif de la petite roue ; son centre est en c.

Le cercle décrit sur le rayon c' M, comme diamètre, engendre l'épicycloide :H* pour l'une des faces d'une dent, et l'épicycloïde y n pour l'autre face.

Le même cercle, en roulant sur le cercle primitif «*' M B', engendre l« Bjki en ligne droite des dents de la petite roue qui sont conduits par les faces det 4ms de In grande, ou qui les conduisent suivant le sens du mouvement deedk Je deux roues qui le transmet à l'autre.

Si l'on voulait laisser aux dents de la grande roue la totalité de leurs facet, clb auraient loulcs la forme de celle M x JV, et l'intersection du cercle cercle décrit sur le diamètre c' M, déterminerait le point s et la position ds flanc C s marquant In limite où cesserait le contact entre les faces des deuliJdi grande roue elles flancs des dents de la petite; maison tronque les faces d«<lefc de la grande roue par de petits pans j j " ;ï une distance constante du rmiir I pour la grande roue, ce qui permet du prendre lu cercle u' ti' pour la paroi tiltrioure de la petite roue, sur laquelle sont implantées les dents formées srnlw» île deux lianes G M, g' N' ; ces dents sont le rmi nées par des pans en arc detatli y y' raccordés avec les lianes par deux petits adoucissements également en jfc* cercle y iV, y" M. Tour donner passage à cette partie des dents de la petite n*. la paroi delà jante de la grande roue est reculée jusqu'au cercle mu surleqwlln dénis s'assembleul moyennant le prolongement en ligne droite de leurs teoa forme de flancs, de façon qu'elles prennent la forme G' M x' x' A" g' sur la rns* roue, el G M y' y N' g sur la peiitc.

i° Engrenage à lanterne.

Dans les engrenages taillés dans les roues en mêlai, lorsque la petite raw<* [ort petite, elle prend le nom de pignon, et ses dents se trouvent tellement nf procliéesde l'arbre qui lui sert d'axe, qu'elles sont i in média tement appliquée» ( cet axe. et font quelquefois corps avec lui. Ces pignons ne sont quelquefois forne que de huit à douze dents. Lorsque le même cas se présente dans les engrtMfi» in bois, c'est-à-dire lorsque le rayon de la petite roue se trouve tellement rutra* qu'il serait impossible de construire une roue composée de jantes et dr lifoiimplantées sur sa circonférence, ou fait usage d'une roue d'une autre forme m» niée lanterne, à cause de sa forme. Elle est composée de deux plateaux paralW» • Titre lesquels sont assemblés des fuseaux cylindriques parallèles à l'axe- eesfcwW remplacent des dents, et ils servent à mener les dents de la grande rooe ou ** menés par elles, suivant le cas.

J'ai représenté, lïg. 8. pi. 147, la coupe d'une lanterne pcrpcndicuUnrriftflii ' son axe projeté en C, au centre de l'arbre carré aussi coupé, sur lequel OaH ■> Urne est montée. Les cercles 1,3,3,1,5,0,7,8,9,10,11,13, remplis de bien»»

CHAPITftR Xl.Vi. SOI

sont les coupes de ses là fuseaux cylindriques, dont les aies sont parallèles A celui de la lanterne, (les axes se trouvent dans une surface cylindrique dont la base est le cercle primitif passant par les centres des mêmes cercles 1,9,9,4, etc. <

fuseaux sont montés entre deux plateaux circulaires, l'un desquels est représenté

* |iar le cercle a b.

Le cercle A B est le cercle primitif de la grande roue dont les dents doit cul

* engrener avec les fuseaux de la la nier ne. Pour obtenir la Tonne que doit avoir une dent, il faut faire mouvoir le cercle primitif a 6 de la lanlerne sur le cercle primi-

■! (if A B de la roue. Chaque cenlre de fuseau tracera um' épjcjcloidc : ainsi, celui s du cercle coté 3 produira l'épicycloïde » 3 m ; par conséquent, en traçant la courbe e> éjuidislante • o m', elle pourra pétulant la rotation mener le fuseau 3, et iinpri- «= mer un mouvement de rotation uniforme à la lanterne sur son axe. En opérant de la même manière, mais en sens inverse, à l'égard du centre du fuseau i, on a une ^ épicycloide 14 « et la courbe t o »', qui en est équidîslanlc, et peut faire la sc- ^ conde face de la dent »' o f, de façon que, pendant la rotation, celle dent serait 3 toujours en contact par une face avec le fuseau 3, cl par l'auire face avec le n, fuseau i. Mais pour que dons aucune circonstance les dénis ne se trouvent serrées ^ entre les fuseaux, cl pour qu'elles n'aient pas plus d'épaisseur qu'il n'est nécessaire, ^. on rapproche l'une des deux courbes de l'autre; celle t'o n' est rapprochée en fin" r,. de façon que la dcnl aura ta forme j' x t". Toulcs les dents suul tonnées de la M même manière, et distribuées à des distances égales, comme nous l'avons dejj prev céilemment indique. Elles Sont tronquées, afin que l'on puisse frapper sur leurs bouts pour les assembler dans la roue.

Dans la même iigurc 8, nous avons indiqué le eas où la lanterne engrène ifM

«les dents implantées sur la paroi intérieure de la roue, a- R est le cercle primitif

de la roue sur lequel roule le cercle primitif de la lanterne, pour engendrer l'épi -

li cycloïde p «' g décrite par le centre du fuseau 10. La courbe p' x i' L'sl équi-

i distante de celte courbe, elle forme la lace d'une dent. Eu opérant eu sens inverse,

p al IVgard du centre du fuseau 9, l'épicycloïde r u est décrite par le centre du

* fuseau 9, et la courbe r1 u', qui eu est équidistante, peut former la deuxième face .. «Je la d«OI p «' r* ; mais comme précédemment on rapproche celte courue eu r* u", , la dent p' y r" a une épaisseur suffisante. On la tronque par le bout, comme nous , «voris fait précédemment, à une longueur assez grande pour qu'il y ail toujours , trois dents engrenées avec trois fuseaux,

li° Engrenaget par dentt son» ftanvt.

Un forme aussi des engreuages en ne donnant aux dents que des faces formées

tj.ir des arcs de ta spirale connue sous le nom de développante du cercle. Ainsi, soient A M B, A' MB', fig. 11, pi. 147, deux cercles primitifs de deux roues cylindriques, ayanl leurs axes parallèles ; soient deux cercles a G b, a' G' b'

qu'il

kco

donl les rayons sont entre eux comme ceux des cercles primitifs ; ces cercle, qui doivent être les contours (les roues, sonl choisis de façon que les dents aient une lougneur suffisante pur rapport à Icnr épaisseur, qui dépend de ta farce qu'on veut leur donner, et de l'étendue pendant laquelle on veut que leur contact ail lieu | soil enfin une ligne droite T T; passant par le point M, tangente aux deux cercla a G b, a' G'b'. Si l'on enveloppe cette tangente, comme un fil flexible, surlcsUém cercles l'un après l'autre, un de ces points, celui M, décrira deux spirales dtvtloppanles des deux cercles, celle G M m pour le cercle a G b, l'autre G' M m' pour le cercle a' G' b'. Chacune de ces courbes pourra conduire l'autre, cl iransmelttt le mouvement de rotation d'une ruue à l'autre, de lelle sorte que le mouvemmi étant uniforme dans l'une, il le sera également dans l'autre, cl le point de contict entre les deux deuls sen constamment sur la tangente T 7* où il aura égilrmttl un mouvement uniforme.

I.a courbe G M m, tonnant une face d'une deul, une courbe exactement éf <j iV n tracée de même, mais en sens inverse, et résultant de l'enveloppement d*t tangente symétrique 1 1, formera l'autre face de la mcnie dent. I.a deul corrrtp dante de l'autre roue, ayant déjà sa face C M tri déterminée, l'autre face dect même dent sera la courbe g' N' ri, obtenue au moyen de la même développa tracée en sens inverse. Les nombres des dents ayanl été fixés, elles sonl disi buées en conséquence sur les circonférences des roues. Lus bases G g, C'j1' dents sur l'une et l'autre roue sonl déterminées de façon que les dcnUd'mten trouvent leurs places pendant le mouvement dans les intervalles des dents l'autre ruue. Les tourbes qui forment les faces des dents, en se rencontrant i le sommets, leur donnent une forme aigué que l'on tronque, ainsi que nous l'a* précédemment dil, par un arc de cercle t r et s" r*, et comme elles sont tracé» la figure 11.

Nous avons tracé des dents en traits ponctués, afin d'indiquer leurs poiMi après que les roues, l'une poussée par l'autre, ont tourne, pour Taire voir points de contact entre les dents ne quittent pas la tangente T 7", ri IW remarquer que, par cette disposition, ce point de contact entre deux deuts se* «ur cette tangente comme se mouvrait un point d'une corde sans tin qui enre perait les deux roues pour communiquer, de l'une à l'autre, le mouvement rotation imprimé à l'une d'elles.

La lig. 12 a pour objet de faire voir que, par In construction que nous vi de décrire, l'engrenage est continu et sans interruption ; en effet, celte figure) Ire deux dénis de chaque roue, pur exemple, celles a, b, de la grande roue en tact avec celles a', b', de la petite, et l'on voit que les dents b et //. qui ont < niencè à être eu contact au point 1, ont leur contact en 3 dans le nioraenii" i et a' vont cesser, au point 3, de se loucher, de façon qu'il y a écrit dent d'une roue sera toujours eu contact avec une dent de l'autre, et le coidarl de deux mmieWw ùcvto c«mm«\œMi bien avant que le coulait de* '

CHANTttE XLVI. S03

précédentes cesse. Ce mode (l'engrenage, qui est le moins usité, est cependant bien préférable au précédent. Les dents sont plus fortes, elles sont tracées par une courbe unique; l'action de l'uue sur l'autre a toujours la mémo direction; une inexactitude dans l'écartemcnl des arcs ne nuit point à la régularité ni au rapport de la transmission du mouvement, mais il ne peut s'appliquer aux cas très- rares des engrenages qui doivent avoir lieu par les parois intérieures de l'une des roues. Soit, IL. 7, a V b , le cercle primitif de la grande roue, a' '/' h', le cercle primilil de la petite roue, on ne peut tracer de cercles dont les rayons soient plus petits, al dans le même rapport que les cercles primitifs, pour leur mener une tangente commune, puisque leurs centres sont d'un même coté par rapporta leur contact. La tangente commune M T ne peut donc Être menée qu'aux cercles primitifs, et dans leur point de contact. Si l'on enveloppe celle tangente sur les deux cercles, l'un après l'autre, un point -V de cette tangente trace une développante G !V g pour le cercle primitif a M b, et une développante G' N g' pour le cercle primitif a' M b'. Ces deux courbes se louchent en A', mais elles se croisent en même temps au même point, ce qui Tait qu'il n'est pas possible qu'elles servent pour former les faces des dents des deux roues.

(S- Engrenage» multiplet.

Lorsque l'effort que les dents des roues ont à supporter est considérable, et q*ie les dimensions qu'on peut leur donner, cl le nombre de celles qui sont en contact, ne répondent point à la résistance qu'elles doivent avoir, on satisfait à la nécessité d'en mettre un grand nombre en contact, en établissant plusieurs rangées de dents Sur chaque roue, de façon que chaque rang d'une roue engrène avec le rang correspondant de l'autre roue : il eu résulte un engrenage multiple qui produit le menu- effet que si plusieurs roues égales, montées sur le même arbre, engrenaient plusieurs autres roues, montées aussi sur un même arbre, avec cette différence que les dents des rangs de chaque roue répondent aux points d'une division unique commune A toutes les rodes.

I j fig. 9 représente l'engrenage multiple de deux roues, sur chacune desquelles il y a trois rangs de dents ; chaque dent étant tracée au moyen d'une épieydoïde, et ayant deux faces et deux flancs.

Nous avons réuni dans celle figure deux modes de construction de la charpente s roues.

La fig. 10 est une projection de la plus petite des deux roues dans laquelle la jante est coupée par les parties cp'.iî' d'un plan par l'axe et l'une des raies par le plan parallèle .c wf. Elle montre la disposition des trois rangs de dents, et les détails de la construction de la roue.

La fig. 13 représente un engrenage multiple à quatre rangs de dctits tracées par les développantes du cercle.

504 THA1TÉ DE L'ART DE LA CBâRi'ENTERIE.

7" Pilon».

Le changement du mouvement de rotation en mouvement en ligne droite, i'»litient au moyen de dénis également tracées par une développante du eerclc.

Soit, Og. 11, pi. 147, d b la ligne droite suivant laquelle le mouvement iiiint transmis à un pilon P; m « le cercle primitif d'une roue.

Soit m' n' un autre cercle d'un diamètre plus petit, choisi de manière que p tangente t f ne soit pas trop écartée du pilon P. Soit fi r m une développant' On cerclent' n'; celte courbe forme In ta ce d'une dent a; elle mène le liane r nln

net j implanté dans le pilon /', par conséquent ce pilon sera lafcril

sa longueur, comme si le frottement 'lu cercle m n sur la ligne d b menait wli ligne.

La dent a reçoit le nom de cantine; les catnmes sont montées ou implantées dm arbre tournant £, et a eboque tour que fait une camme «, elle soulève le uicnLuutl et le pilon P correspondant : ce pilon retombe par son poids pour élre repris m: oeaiivem«nt par les camnies a', a".

La fig. 1B est une projection horizontale de ce système, dans lequel nnos représenté trois pilons, P, (,>, p, et leurs trois mentonuets A, B, C, et pour chic» ses trois cammes, savoir : pour le mentounet A, les cammesa, u'ta"; pour Icik» tunnel B, les cammes b, b1, b"; et pour le inenlunnet C, les cammes c, c, r".

1° Tranamitsion par frottement.

Lorsque les axes sur lesquels a lieu la rotation de deux roues ne sont point pKtt lètes, il est indispensable, pour un motif que nous expliquerons plus loin, t.... ! que ces axes se cuupcnl. Il résulte de cette condition que les roues ne peuveDtpl* être cylindriques, et qu'il faut, pour que la transmission du mouvement pw* avoir lieu, qu'elles soient coniques. Ainsi, soient, lîg. 3 et ti, pi. 148, deux sarfJ coniques m n,»i« dont Ici axes ab, de prolongés se coupent en c. Les deui wflacCS se touchent suivant une génératrice commune m c qui est dans le plu* leurs axes et qui passe par le point e.

L'une de ces surlaces coniques, recevant, par un moyen quelconque, un ir nient de rotation sur son axe, entraîne l'autre surface, et lui communique le rnounmeut de rotation par l'effet du simple frottement, comme si l'une des surfaces ruuhil sur l'autre.

L'angle que font les axes peut être droit, comme dans la fig. 3, ou quelroi comme dans la fig, ti.

CIUPITRE XLV1. SOS

2° Engrenage d'angle à dent» avec face* et flancs.

3 Si, coiumt.' anus l'avons déjà dit, la résistance de t'riïcl à produire est supérieure

ri à l'intensité du frottement qu'exerce une mut sur l'autre, le mouvement de rola-

m tiofl ne peut èlrc transmis sans recourir aux engrenages. Dans le cas de la transmis

sion entre des roues dont les'a»es se coupent, les formes des dents sont déterminées

f par des ipieyetoide* tphèriquci.

— , II nous parait indispeosablededécrire préalablement cette courbe, par les mêmes

— t rnotils qui nous ont déterminé à décrire précédemment Vrpicjctùïde plane.

— Génération de l'èpicycloùte iplièrique. Soit dans le plan horizontal, lig. )0,

pi. 148, un cercle B b décrit du centre C; soit CD la trace d'un plan vertical; soit

B P la trace sur ce plan, couché sur J'homon, d'un autre plan qui lui est pcrpeii-

t diculaire et qui fait avec l'horizon l'angle P B C : ce plan a pour iraee horiion-

Ulc la tangente B T au cercle /■' b; soit dans ce plan un second cercle tangent au

( cercle B b dans le point B, ce cercle est couché sur l'horiion en B Q D avec le

plan qui le contient, ayant tourné autour de sa laogeuic B T commune me le

cercle B b.

Si l'oit suppose que ce cercle, dans sa position inclinée sur le plan horizontal suivant l'angle P B C, roule sur le cercle B b sans changer d'inclinaison, un de cc^ points, celui B, par exemple , décrira dans l'espace mie courbe du genre épieyeloïdal, et , allcndu que, dans son mouvement autour du cercle B b, le cercle mobile ut toujours dans la surface d'une sphère passant aussi par le cercle B b, l'épicycloïde tout entière est tracée sur la surface de celte sphère, et, par celle raison, un lui a donné le nom û'epicycloïde sphérique. ("est une courbe à double cuurbure = eju'on ne peut représenter que par ses projections. Sa projection horizontale est nécessaire pour projeter les formes des dénis sur les plans "les roues.

Projection de l'épicycloïde s/ibirique. Sujipusons que la tourbe B »i k est la ptujection de l'épicycloïde sphérique qu'il s'agit de construire : si l'un compare la position du cercle mobile lorsqu'il se trouve au point de contact b, et que le point Oï sa circonférence, parti du point JS, est arrivé au point projeté eu m , ave.: celle

■ Ju rneine cercle rabattu sur le plan de l'horizon, on voit que le point i«,qui appartient bu cercle mobile, quand il est parvenu au point de contact b se trouve al ". le cercle mobile dans cette position s'élant appliqué sur le cercle horizontal eu brd;

■ lu.- ce mouvement le point m a décrit un arc de cercle projeté sur la ligne m M ! parallèle à la ligne b d, ou perpendiculaire à la tangente bl autour de laquelle ce

«■irclc i tourné pour s'appliquer sur l'horiion. Il est évident que le punit u da

* cercle 6 r M est un point de l'épicycloïde plane B M K, car l'arc bv M de ce cercle

* «et aussi l'arc du cercle incliné qui a roulé sur le cercle 11 d, ce qui fait voir que la '■' projection de l'épicycloïde sphérique se déduit de l'épicycloïde plane, en menant

par les points de celle-ci des parallèles aux diamètres du cercle générateur daus <• 1rs positions qui conviennent à ces points. Ainsi, soit B tt K l'épicycloïde plane o,uv

PSOO TRAITÉ DE L'ART DE LA CHAftPENTEME-

9 clé tracée par le point fi du cercle fi Q«; soil PPC l'angle que fait ce cercle atte le plan borizonla'l, lorsque son point B trace l'cpicycloïdc spbérique. on deauadi le point de cette épicycloïde qui répond au point M, par exemple, de l'epicycloaJr plane B M K.

Par le point M on trace uue parallèle M i» au diamètre d b du cercle mobitt iloni le poinl " Tait partie ; cette parallèle M m est la projection de l'arc de cercJt décrit par le poinl M quand le cercle d M b se relève pour prendre la posiiiori ffl a lorsque, élaul au poinl de contact b, il trace le point m de Pèpicyclolde spbf rique.

Par un arc de cercle décrit du centre C avec le rayon C M, le point Mttlnfporté en Q, l'ordonnée Q x étant tracée, le point x est rapporté en m' dans \t pi" projeté sur B P, puis projeté en n sur le diamètre B D, l'on Tait M m égal i H ou tm=an'=B n, et le point m est le poinl de l'épicycluïde spbérique. Cou construction donne le moyen de tracer une éprcyclolda ■pbenqtM, sans qu'il** même besoin de tracer corn pli te ment l'épie ycinide plane, et seulement en les constructions indispensables pour obtenir ses points.

Tangente à t'épicycloule tphèriqut. Soil, fig. 2, pi. 1 18, dans un plan < jeelion, que je choisis boriionl.il pour la facilité de l'implication, un cercle Gui dont le centre est en G; suit un plan de projection verticale ayant pour Ira ligne G T, ce plan étant couché sur l'horizon, la droite G $ est, dans ce plan ticat, l'aie du cercle A B t.

Soit un .mire cercle perpendiculaire an plan vertical ayant pour trace M plan la ligne d B, qui est aussi son diamètre, cl qui Tait avec l'horizon l'angle 4i Ce cercle touche le cercle A B x dans le point B. Rabattu sur le plan borîl en tournant autour de sa tangente fi au point ii commune au cercle A B t,A marqué plein eu D M B, son diamètre est la ligno B D. Rabattu également • plan vertical en tournant autour de la ligne B d qui est sa trace et son diam il est tracé ponctué en d mB.

Si ce cercle se meut autour du cercle horizontal ABj sans cesser de le cher, et Taisant toujours a»ec lui le même angle constant d B G, un point .V( de sa circonférence décrira une épictcioïile qui est projetée htit'izuiitjleiiK*' s y *, et qui se trouve tracée sur la surface de la sphère dont le centre «1 poinl c, intersection de l'axe G a du cercle fixe, et de l'axe o c du cercle Le cercle lixc et le cercle mobile, dans quelque position qu'ils se trouvent, tiennent tous deux à celle surface de sphère, sur laquelle Yi-pirictoitte aj est tracée. Pour le cas que représente la ligure, j'appellerai celle sphère (I iphfre.

Il suit de celle génération de l'épicyoloïde spbérique, qu'une tangente l'un des points de cette courbe projeté en jtf est dans le plan langent â la =i spbère dans ce point; mais le point de répicjcloîdc étant sur le cercle n ou en m dans sa flrtsvVwo Uirs^u'il touche le cercle fixe en F, se t

spbè

en I