CHAPITRE XX

■1 , lunette conoïdale; soi) axe horizontal est pris sur le diamètre p' f.

I.a surface conoïdalc d'intrados et celle d'extrados ont pour 'directrice sur l.i surface extrados de la coupole chacune un demi-cercle compris dans un plan vertical; ces demi-cercles sont projetés cnç par moitié, et par des lignes droites en q'. L'axe vertical, directeur de la génératrice horizontale pour le conoïde d'intrados, Ml projeté sur le centre c de la coupole.

L'axe vertical, directeur de la génératrice horizontale pour le coDoïde d'extrados. Ml projeté en *'.

I«> points des courbes d'inlersection des irffàrm imi«Mn* aveu l'intrados de la coupole, sont déterminés par des plans horizontaux qui coupent en même temps les surfaces de la coupole suivant des cercles, et les surfaces conoïdalc; suivant des lignes limites. •

Fîg. 8. lunette conoïdale dans une voDIe annulaire.

a, coupe de la voûte annulaire par un plan vertical ayant pour trace la ligne or du plan a'.

h, cintre extérieur de la lunetle conoïdalc projeté sur un plan vertical ayant la ligne 1-3 pour trace, et couché sur le plan horizontal.

d', lunette conoïdalc intérieure ; ses surfaces d'intrados et d'extrados sont dans les mêmes conoîdes que celles de la lunette extérieure.

L'aie de la surface conoïdalc d'intrados est projeté horizontalement en c, H verticalement en c p. L'aie de la surface conoïdalc d'extrados est projeté horizon talemcnl en c' et verticalement en c" p" sur le plan du profil a.

Les courbes des projections horizontales des lunettes sont déterminées pat points par une suite de plans horiiontaus qui coupent les surfaces annulaires d'intrados et d 'ci Ira dos , suivant des cercles, et les surfaces conoidales, suivant des lignes droites; les intersections de ces, cercles et de ces lignes droites don- MOI lli points qui appartiennent aux projections horizon la les des courbes des lunettes.

3* Épure diltiiliie d'une tunclte.

Les lunettes dont nous venons de parler ne sont décrites que par des croqmt . qui montrent seulement la disposition qu'on devrai! donner aux différentes parties de l'épure, qu'on voudrait construire pour l'élude de chacune d'elles.

Vous donnons, planches 80 et 81, une épure complète d'un cas qui n'est point to in pris dans les ligures précédentes.

La Bg. (î de la planche SI) est l'épure d'une lunette conique, biaise et rampante, dans un dôme sphérique. '"cite combinaison ne peut se présenter que fort rarement, vu que dans la composition des bâtiments ou satisfait toujours à des conditions de symétrie et de régularité dans leurs plans. Nous ne donnons rtnnr cette épure que comme une étude utile. •

I,a ligne i X est l'intersection des deux plans de projection, l'un et I rabattus sur le plan de l'épure. Un deuxième plan de projection verticale, qui . l'un trace la ligne C O, est également couché à gauche sur l'épure. La naissance de In coupole sphérique est comprise entre les deux cercles Q OJ, q oj concentriques, tracés sur le plan horizontal ; leur centre commun est en C, centre d« surfaces s|ilnrii|iii'-- rl'iiiiniilns cl d'extrados de la coupole. Ce point C est sur la ligne l- A- l.e vitrail, ou cintre formé de deux cercle» qui servent de bases lui surfaces coniques d'intrailits el d'extrados de la lunette, est donna sur un plan vertical parallèle au plan de projection verticale, dont la trace horizontale est U ligne 1" A"' langenle au cercle extérieur de la naissance de la coupole. Les deux cercles concentriques du vitrail sont projetés sur le plan vertical en VK U,vk*.

Le sommet de la surface conique d'intrados de la lunette est projeté en S, sur le plan horizontal, en .S'' sur le premier plan de projection verticale, et en §• sur le deuxième plan (le projection verticale. Le sommet de la surface d'extrados qui est dans le plan horizontal en Z, est projeté sur les plans verticaux en l el Z". L'axe commun des deux surfaces coniques est projeté en S E sur le plan horizontal, de S eu /.''sur le premier plan de projection verticale, cl en S1' E"sw le deuxième plan vertical. Celle ligne S" E" est en même temps la trace verticale du plan rampant qui contient les naissances de l'arc de lunette, et donl la trace esl Z Z'' sur le plan horizontal.

l.a détermination des courbes qui forment les arêtes du cintre de la lunette RM un problème de géométrie descriptive , il s'agit de construire les intersections de deux surfaces coniques et de deux surfaces de sphère, le cintre de la lunette étant défini par l'espace compris entre ces quatre surfaces.

Un obtient les points de ces courbes par une suile de plans qui coupent chacun les surfaces coniques suivant des lignes droites, et les surfaces sphériques suivant des cercles. Ce moyen de solution peut être appliqué de différentes manières. Nom allons d'abord expliquer celui employé dans l'épure, lig. 6, pi. 80, qui est un des plus simples.

On divise les arcs de cercle f K U , e k u du vitrail en un même nombre de parties égales; les lignes qui joignent les divisions de mêmes numéros, sont I» traces sur ce même vitrail d'un certain nombre de plans passant par l'axe commun des deux cônes , el qui coupent les surfaces de ces deux cônes suivant des lignes droilcs génératrices.

Ou opère pour tontes ces génératrices comme je vais l'indiquer pour celles répondant aux points de division m , m' de la projection verticale , et M , SI' de 11 projection horizontale.

Os génératrices sont projetées verticalement suivant les parallèles Z' m, £**■', el horizontalement suivant les parallèles Z M , S M'.

On fait passer, par chacune de ces génératrices , un plan vertical ; les traces horizontales de ces deux plans sont les mêmes lignes Z M, S M'. On couche ces deux

ft'iias sur le plan horizontal en le faisant tourner autour do leurs Ira eu*, Les verticales projetées sur le plan liorizontat en M, M' et en ;■' m', p m sur le vitrail, Htt couchées perpendiculairement aux traces Z M, S M', en Mn, M' *'.

La lignée n, et sa parallèle ëW, sont les g tuera tri ce s des surfaces conique} dans les plans rabattus. I.e point » est le sommet de la surface conique d'intrados, S s étant égale à 5" v ou il sou égale S Z', élévation de ce sommet au-dessus du plan horizontal. Les deux plans qu'où vient de rabattre sur le plan hurizonlal coupent les surfaces sphériques suivant quatre cercles. Lu abaissant du point e, centre de la coupole , une perpendiculaire sur les deux parallèles Z M, S M', traces des plans recouchés, les points c et c' sont les centres des cercles tracés sur les surfaces sphériques par les deux plans \erlic*ux ; leurs rayons sont c F, o f, c' F, c' f.

Du point c avec les rayons c F, e f, et du point c" avec les rayons tf F1, c' f, traçant des arcs de cercle, qui sont, dans les plans rabattus, les sections faites par eux dans les sphères ; ils donnent, par leur rencontre avec les génératrices Zn,an', les points 1', ï , 5', Y (I) ; ces points sont ramenés par des droites verticales sur les projections des génératrices en I. 3. 3, 4. Le quadrilatère 1-2-3-1 , composé de deux lignes droites parallèles et des projections des deux arcs de cercle , est la projection horizontale de la section faite dans le cintre de la lunette, par le plan passant par l'axe commun des deux surface! coniques et par la ligne m wi !■;• sur le vitrail.

Ce même quadrilatère est renvoyé sur les deux projections verticales en 1*2-3-4, par des verticales que l'on n'a point gravées pour éviter la confusion des ligues . déjà en très-grand nombre sur cette épure.

Kn répétant la même opération autant de fois qu'on le juge nécessaire pour une détermination régulière du cintre de la lunette, on obtient les projections d'une saite de quadrilatères qui sont autant de sections faites dans le même cintre par été plans passant par l'axe commun des surfaces coniques. En faisant ensuite passer des courbes par les angles homologurs de ces quadrilatères , l'on a les trois IT'iji-i ■lions 'lit cintre de la lunette. Ces trois projections ne sont puinl indispensables pour l'exécution de la pièce du cintre : j'ai donné celle du deuxième plan vertical . afin que la description fût pi us complète.

Fourneau , qui a donné , pi. 33 de son Traité de l'Arl du Trait , l'épure d'un cas à peu près pareil, opère un peu différemment : au lieu de coucher les plans verticaux qui coupent les surfaces coniques et les surfaces sphériques sur le plan lion mutai , en les faisant tourner autour de leurs traces horizontales , il les applique sur le plan vertical en les Taisant tourner autour des verticales passant par les sommets des cônes. Cette méthode, qui donne les mêmes résultats, a l'inconvénient d'obliger à reporter avec le compas les distances descentres des cercles sur les plans ver-

ùcaux , et de rapporter ensuite avec le compas les points obtenus sur la projection horizontale.

Un système de plans passant par l'aie commun des deux surfaces coniques, projeté en Z E, Z' E"y et *Z" E"y couperait les deux surfaces coniques suivant des lignes génératrices, et les deux surfaces de sphère suivant des cercles.' La construction de ces lignes dans ces plans rabattus donnerait immédiatement les quadrilatères et les points des mêmes courbes; mais la construction serait plus compliquée. Toutes ces méthodes , même la première , que j'ai décrites pour faire connaître celles indiquées dans les Traités d» Charpenterie , ont le grave inconvénient d'obliger à tracer une infinité de cercles , dont il faut déterminer les centres. Il est préférable de choisir le système de plans de façon qu'ils coupent les surfaces spnériques suivant de grands cercles , afin que ceux qui sont les traces des naissances puissent servir pour la construction des points des courbes.

Soit , en conséquence , Z C R , la trace horizontale commune à tous les plans qui doivent couper la surface conique d'intrados suivant des génératrices. Supposons qu'on opère d'abord pour le plan contenant la génératrice de la surface d'extrados projetée verticalement sur Z' m* La trace de ce plan qui contient cette génératrice sur ce vitrail , est la ligne r m. En rabattant ce plan sur le plan horizontal , le point m vient en h; M h étant perpendiculaire à Z R et R h égal à r m.

Z" A dans ce rabattement est la génératrice de la surface conique d'extrados. Les deux cercles suivant lesquels les surfaces sphériques sont coupées par ce même plan , étant rabattus , se confondent avec les cercles de la naissance de la coupole. Ainsi les deux points d'intersection 5,6, avec la génératrice Z hy renvoyés horizontalement, donnent les deux points 1 , 2 de la projection horizontale du cintre de lunette.

La trace Z C R est commune à tous les plans qui doivent couper la surface conique d'extrados ; mais comme le sommet « de la surface d'intrados n'est pas dans le plan des naissances , les traces des plans d'un second système passant tous par le centre Cdes sphères et parce sommet « de la surface conique d'intrados, changent pour toutes les positions qu'on peut donner à ces plans.

Ainsi , prenant pour exemple le plan passant par le centre des sphères , et la génératrice de la surface d'intrados projetée en M s et m' S', on construit le point où son prolongement perce le plan horizontal des naissances de la coupole. Ce point s'obtient en prolongeant m' y jusqu'en g, et renvoyant ce point sur la projection horizontale de la génératrice M' S eu g'. La ligne g' C R* est la trace du plan passant par le centre et coupant la surface conique d'intrados suivant la génératrice projetée en m'£'et M' S. Cette trace déterminée ainsi, on opère comme ci-dessus pour construire le rabattement du plan autour de gf C Rf. La génératrice rabattue , ses intersections avec les deux grands cercles donnent deux points, dont les projections horizontales coïncident avec les points 3 et 4.

Les plus grandes difficultés de l'art du charpentier ne consistent pas toujours

CHAI'ITHE XX. Q

dans II conci-pin.il d'un ouvrage ni dans les procédés de représentation d'une construction m charpente par des projection*.

I. 'habileté, la sagacité et la prévoyance dit charpentier ont* s'eiercer sur I* possibilité de l'édification, sur le choix des dimensions el des positions qu'on doit adopter pour les buis cquarris par rapport aux formes des pièces courbes qu'on doit en tirer, â la direction des libres el à l'économie du bois; sur le choix des projections préparatoires a l'exécution, soit qu'il s'agisse de leur berseou mena d'éte- Ion , soit qu'il s'agisse des formes des patrons ou des gabarits, pour parvenir à uu travail simple et exact.

I.:- lunette dont nous venons de donner la description par une épure, est une des pièces les plus propres a faire ressortir l'habileté dont nous venons de parler.

Nous allons exposer quelques procédés que la géométrie descriptive fournit pour résoudre les dillicultés que présente cette lunette.

Les plans qui déterminent les positions que doivent avoir les pièces de bois d'où doivent sortir les différentes parties d'un cintre , varient suivant ses courbures et la nature de ses surfaces. Mais , en général , le priucipe d'exécution est le même. Iles quatre surfaces qui limitent le plus ordinairement une pièce courbe, ou cunt menée par exécuter les plus faciles el celles surtout sur lesquelles on peut avec exactitude tracer les lignes qui sont nécessaires pour l'exécution des deux autres.

Dans le cas particulier de la lunette qui nous occupe , les deux surfaces à riecoler les premières sont celles coniques , parce qu'elles sont engendrées par îles lignes droites el développa blet, et qu'on peut leur appliquer des patrons pour guider dans la coupe des deux surfaces spbériques.

Tout l'art consiste donc .i bien choisir Ta disposition «les pièces de bois pour qu'il soit moins difficile du construire sur leurs faces les traces des surfaces coniques.

Lorsque le rayon de courbure de la coupole est grand par rapport aux ouvertures des lunettes , el que d'ailleurs . comme cela arrive ordinairement . il y a s> même dans la position des lunettes . c'est-à-dire qu'elles sont droites, leurs uef tendant au centre de la coupole , bien qu'elles soient en descente, leur courbure en projection horizontale n'es! pas considérable , el les bois d'où doivent sortir les parties du cintre peuvent avoir leurs faces jiarallèles au vitrail : il est alors facile et .'onMruirc les inlerscelions des laces des pièces avec les surfaces coniques.

Hais, dans d'aulrcs cas, les courbures du cintre de lunette sont grandes, et l'on est forcé île disposer les pièces de bois suivant ces courbures , comme on en voit une ponctuée e» 13-14-13-16. Il s'agit doue de construire les traces des suifao-s coniques sur les faces planes de ces pièces. Ou peut aussi choisir pour plan auquel les faces el toutes les pièces de bois seraient parallèles , celui qui lui-même serait vertical et parallèle à la liguer/* qui joint les deux naissances du cintre de lunette. Pour économiser le bois, c'est-à-dire pour employer des pièces d'un moins forl

•rrissage, l'on peut encore, quand la courbure n'est pas Irop forte, choisir

un pUn également parallèle à la ligne f/, mais qui t'approche le pins possible du cintre en s'inclinant convenablement. Cependant la courbure du ciàtre peu être encore assez grande pour que ce plan nécessite des bois d'an très-fort équarrissage.

Pnisqnll s'agit ici d'une étude, nous supposerons le cas le plus défavorable, et qu'il fout, pour chaque pièce qui doit concourir à la composition du cintre, déterminer sa position de manière qu'elle ait le moindre équarrissage. Il en résulte la nécessité de foire un plus grand nombre de projections que pour aucun astre as.

Nous supposerons qu'il s'agit d'exécuter l'arc de lunette qui a une grande courbure en trois parties ; chacune d'elles devant être tirée séparément d'une pièce de bois. Supposons , en conséquence , que l'on veut tirer d'une pièce de bois une partie donnée de l'arc du cintre, la partie comprise entre la naissance à gaucbe, et on point situé entre le quatrième quadrilatère 8-9-10-11 et le suivant.

Nous supposerons une sphère ayant son centre au point Ay angle du quadrilatère de la naissance , et pour rayon la longueur de la pièce de bois dans laquelle oa doit couper la partie du cintre dont il s'agit. Cette sphère rencontre la sorbet d'extrados de la coupole suivant un cercle. Ce cercle a pour projection, sur le pUa horizontal , une ellipse dont on pourrait construire les points au moyen d'un système de plans horizontaux coupant les deux surfaces sphériques suivant d'autres cercles , qu'on mettrait en projection horizontale, et dont les intersections donneraient les points de la courbe. Mais il est plus court et plus exact de détemnoer immédiatement les axes de cette ellipse , et de la construire par leur moyen.

Par le centre de la coupole et le point A, soit un plan vertical dont la trace est C A. Ce plan coupe la surface extrados de la coupole suivant un grand cercle qui, dans le rabattement sur la gauche autour de la trace C A, se confond avec le grand cercle de la naissance , le point A se trouvant rabattu en A\ Faisant les cordes A' P et A* Q égales à la longueur de la pièce de bois , Q P est la trace du plus grand cercle suivant lequel la sphère que nous avons supposée coupe la surface de la coupole. En projetant les points P et Q en B et b, la ligne B b est le petit axe de l'ellipse, son centre est en X milieu de B b, et son grand axe est Y y égal à P Q. Cette ellipse b? B Y(\) est ponctuée sauf son arc 11-12, dont l'intersection avec la projection de l'arête extérieure et supérieure du cintre de lunette, marque le point G en projection horizontale, et G' en projection verticale, où se terminent les projections de la longueur donnée de la partie du cintre que l'on peut tirer de la pièce de bols.

Les arêtes de cette pièce doivent être parallèles à la ligne projetée en A G, et sa face supérieure doit être tangente à la partie sphérique du cintre de la lunette.

Par le point D, milieu de la projection horizontale A G de la longueur de la

(il F oyez, p. i4« le trace «l'une cllip»c.