CHAPITRE XX

pièce, et par le centre de la coupole je trace un rayon, il par l'extrémité de ce rayon je fais passer un plan tangent à la surface de la coupole. Le rayon dont il s'agit est contenu dans un plan vertical méridien qui a pour trace C D 7'. Ce méridien, rabattu sur la droite, porte le point D en >•', en faisant D D' égal à d W de la projection verticale. Le rayon CD' est prolonge jusqu'en T. La ligne TT, tangente au grand cercle, est la trace du plan langent en 7"; sa trnee horizontale est S 7* A. En mettant le point a, deuxième angle du quadrilatère de la naissance itu cintre de lunette, eu projection sur le même méridien rabattu en a' {i a' étant égal à / a de la projection verticale), la parallèle t a' C est la place du plan parallèle au plan langent qui limite l'épaisseur de la pièce de bois qui doit contenir la courbe. La trace horizontale de ce plan est n f n.

Pour tailler la courbe, il faut d'abord, comme nous l'avons déjà dit, mettre à découvert les deux surfaces coniques ; il faut par conséquent construire leurs intersections avec le plan langent et le plan qui lui est parallèle. Cette construction et la suite de l'opération font l'objet des Gg. 4 et S de la planche 81, sur laquelle, pour éviter la confusion des lignes, nous avons rapporté toutes les parties de l'épure de la planche 80, qui sont nécessaires a la construction qui va nous occuper.

Ainsi, comme précédemment, les cercles QJ,qj, lig. 4, pi. 81, comprennent la naissance de la coupole spuérique. C est le centre de ces cercles et celui des surfaces de la coupole. S est la projection horizontale du sommet de la surface conique d'intrados, Z est le sommet de la surface conique d'extrados ; les demicercles *•" K U, v k u marquent le vitrail de la lunette, y X étant l'intersection des plans de projection. Y' X' est la trace du plan du vitrail parallèle au plan de projection vertical ; C V la trace du méridien passant par le point D de l'épure, planche 80.

!" i" est la (race du plan langent dans le méridien rabattu, et A' N sa trace honte niai c.

Ce que l'onse propose dans cette épure, c'est de construire les iraces des deux surfaces coniques du cintre île la lunette sur le plan tangent et sur sou parallèle, qui tonlienneuL les faces de la pièce de bois de laquelle doit sortir la partie du cintre ton) prise enlre le point ./ et le point G, pi. 80.

Ces traces sont évidemment des ellipses. Un pourrait les construire par points iJ'après les seules données de l'épure. Hais il est ici plus court cl plus exael de construire ces ellipses d'après leurs propriétés géométriques (page 14). les éléments de celle construction étant faciles a déduire de l'épure.

Pour construire une ellipse, il faut que l'on connaisse au moins un de ses axes et un point de l'ellipse pris hors des axes; ou un diamètre, la direction de Sun conjugué et un point de l'ellipse hors des diamètres ; et dans ce dernier cas, qui est celui de l'épure, si l'on connaît les tangentes aux extrémités du diamètre, on a la direction du deuxième diamètre.

Nous allons construire, dans le plan tangent à la surface extérieure de la coupole, qui a pour traces les lignes V T,N N, les traces parallèles de deux plans tangents à la surface conique d'extrados d'abord.

Ces traces seront deux tangentes à l'ellipse à décrire dans le plan tangent à la sphère ; et comme elles doivent être parallèles d'une part, elles appartiennent a deux plans tangents à la surface conique dont l'intersection passant par son sommet est parallèle au plan tangent à la sphère j parmi toutes les intersections passant par le sommet de la surface conique parallèle au plan tangent à la sphère, on est maître de choisir celle dont la position donne la construction la plus commode; nous choisissons l'intersection des deux plans tangents à la surface conique qui est dans un plan vertical. Ce plan vertical , nécessairement perpendiculaire au plao tangent à la sphère, a pour trace horizontale la ligne Z ^'parallèle à la ligne cr, trace horiiontale du grand cercle de la coupole perpendiculaire à son plan langent, et, comme celle-ci , perpendiculaire à la trace N N de ce plan tangent a la sphère, (le plan vertical coupe le plan du vitrail suivant une verticale passant par le point T' et projetée verticalement dans le vitrail rabattu suivant L F. Ct plan vertical , en tournant autour de sa trace horizontale Z 7", peut s'appliquer série plan horisontal ; sa partie inférieure à l'horizon s'applique sur la gauche , de façon que la verticale passant par le point T' vient se confondre avec la ligne T f. La trace du plan tangent , dans ce plan , serait évidemment une parallèle à la ligne T T9 passant par le point 7>/ ; par conséquent, la ligne parallèle au plan tangent, dans ce même plan vertical rabattu, est la ligne Z f parallèle à T 7*. Ce point/* est celui où cette ligne perce le plan vertical . Pour mettre ce point en projection verticale sur le plan du vitrail , il faut faire L F égal à T" f>; les tangentes FE*', F E" à l'arc du vitrail sont , par conséquent , les traces de deux plans tangents an cône sur ce même vitrail , et les deux mêmes plans auront pour traces, sur le plan tangent de la sphère, deux parallèles perpendiculaires à sa trace horizontale N A'.

Les lignes /V, f t" sont les traces des deux plans tangents parallèles aux précédents, dont l'intersection passe par le sommet projeté en S de la surface conique d'intrados.

Une considération Tort simple va donner les points où les génératrices, répondant aux points de contact dos surfaces coniques, percent le plan tangent à la sphère.

Les points E"f e" sont les points de contact des tangentes F E"> fe" ; ils se trouvent de chaque côté dans un plan passant par l'axe commun des surfaces coniques et dont les traces sur le vitrail sont projetées suivant E* r, E' r. Les points r et r sont projetés horizontalement sur la trace du vitrail en R et R; par conséquent Z R et Z R sont les traces horizontales de ces mêmes plans. Elles rencontrent en /V, iV, m, *, les traces du plan tangent et de son parallèle.

lie plan vertical passant par l\ixe commun Z £ des cônes, étant couché sur la gauche, cet axe est la ligne Z «• La ligne e s est, dans ce même plan, la trace du "tan tangent à la coupole. Cette trace s'obtient en faisant la verticale Q O recou-

chartse xs. h

citée égale à la verticale T /', qui est aussi recouchée dans le plan qai a »ervi à delenniner la (ingénie T 7*. Le point e' est le point où l'axe des surfaces coniques (icrcc le plan langent à la coupole. Sa projection horizontale eal eu //. Les ligues H N, H N sont, par conséquent, sur le plan langent à la coupole, les projection* îles Iraces des deui plans passant par l'aie commun des surfaces coniques, et pat les deux génératrices de contact.

Les points IJ V, où elles coupent les projections Z g, Z g des génératrices de cuuucl prolongées, sont les projections des points où les généra triées percent le plan tangent à la coupole.

En Taisant tourner le plan tangent autour de sa trace A' A', pour l'aballre eu lierai- sur le plan horizontal , le point // tombe en //'.

Ce rabattement se fait en égalai! tu IJ II-, perpendiculaire a la trace du plan Ungini, â T H (l).Lcs ligne» II' X, H' A' sont dans le plan langent à la coupole raballu en herse, les Iraces des deux plans qui ont pour traces verticales les ligues Z U,Z R, el les points d d déterminés par des perpendiculaires » Dd',a' Udh la irace A N, sont, dans le plan langent à la coupole couché à la licrse, les points de contact dei tangentes à l'ellip*.c, parallèles entre elles il perpendiculaires à la trace de ce plan. La ligne d d est un diamètre de celte ellipse. Son diamètre conjugué passe par son milieu O, et est parallèle au» tangentes d n, d n. Il ne s'agit plus que d'avoir, dans le plan langent â la coupole, un point appartenant à lu surface eu nique d'exirados ; nous choisissons celui dans lequel la génératrice de celte surface conique contenue dans (e plan vertical passant par l'axe , perce le plan lancent. Ca plan vertical a pour trace horizontale la ligue Z E. La hauteur Z K du point A' au-dessus du plan horrionlal , portée de fi en t, donne, dans 11 plan vertical con- , la position de la génératrice qui perce un i le plan langent ; ce point ramené en projection horizontale est en s-; ce point projeté à la herse, c'esl- a-dire sur le plan tangent , couebé sur le plan horizontal, est en k'. Un a donc ainsi, pour . ' lltfwe, un diamètre d d, la direction de son conjugué parallèle à ses langeales. et un point k' de la courbe.

Cette courbe 1 d A"' 1 se trace ensuite par lu moyen d'ordonnées parallèles auv Uiigcntes extrêmes , prnpui tiuiuiellcs n celles d'un cercle décrit sur le dianicli >' d* I tllifisc, et ayant les mêmes abscisses (-2).

l'ai uuc construction pareille, ou déterminera, de la même manière, les cléments

■•I fwl qw, liant ectlr r|Hirc, le point Mile II lifllis Z V tombai lur la ligne T T. |»j *■!,% S. pi. it.dà, un .Wieire dnue «llint*, Ut, Al, IMMI lange met, jurilièlci M JiimiLni le iliintfrn conjugué >era .lnu.l. pétition 4 G pfjnlHIe à ce» Ul>|eBli |, H-..I uii point étonné il«

at>p*rall«l>a ptiplila r>UipH ,.

TRAITÉ IlK L'ART DE LA CHAIU'iiMKlUE.

<tu tracé de l'ellipse, qui esl la trace tic la même surface conique, sur le plan parallèle au plan langent à la surface de la coupole. Mais une cousidératiuii simplifie beaucoup la construction. Celle deuxième ellipse est semblable à la picmière, puisqu'elle appartient à la même surface, et qu'elle est sur on plan parallèle à celui sur lequel la première esl tracée; ainsi, la trace horizontale de ce plan est la ligne n n; e' a", parallèle i ci, est la trace du plan parallèle au plan tangent sur le plan vertical , passant par l'axe commun ; e" est le point nu l'axe perce ce plau parallèle, H" sa projection horizontale, et H'" sa projection à la herse.

De même le point s", dans lequel la génératrice supérieure perce le plan parallèle au plan langent mis en projection en s'", est mis à la herse en k" ; de sorte que l'on a pour celte seconde ellipse 2 <ï k" d' -1 , son diamètre il' d', ses tangente» parallèles à celles de la première, et un de ses points, k".

Les ellipses qui sont tes traces de la surface conique de l'intrados de la lunette sur les mêmes plans sonl semblables aux deux premières.

Leurs éléments sont déterminés par des parallèles aux lignes qui ont servi à déterminer les éléments des premières. Ainsi , les points g', y' sont les projections des points e", e" ; les ligues Sg', Sg', qui déterminent les points D' D', sont parallèles aux lignes Z g, Z g, et des perpendiculaires à la trace du plan langent par les points f, D', donnent les points d" d" qui fixent la longueur du diamètre de l'ellipse parallèle à dd, et la ligne « h" est parallèle à la ligne Z k; elle détermine le point a"", par suite le point s'"", et enfin le poinL k"', qui appartient i l'ellipse 3 rt" k'" d" Z.

Les mêmes parallèles déterminent enfin les points d"', d"', et par conséquent le diamètre d'" il'", les points a"", s'"", et le point k"", qui appartient à l'ellipse td"' k"" d'" 4.

Les ellipses 1 d k' d 1, 2 dfk" df 3, SiTTrfï, i d"' k"" d"' 4, sont donc le» traces des surfaces coniques sur le plan tangent à la surface de la coupole et sur son parallèle. Nous avons tracé ces quatre courbes presque entières sur l'épure pour faire comprendre l'ensemble de l'opération; maison conçoit qu'en réalité il n'est nécessaire de tracer que les arcs qui doivent se trouver sur les faces o> la pièce de bois , et être compris tout au plus entre les points d, d1, if", d"', et les points*', A",*"', *"".

Les quadrilatères 20-31-22-33, 84-28-86-27, dont les cotés en lignes droites limitent, sur le plan tangent et sur sou parallèle, l'étendue de la partie du cintre qu'il s'agit de couper, s'obtiennent aisément en construisant sur le plan laugcol et sur sou parallèle : I" les traces du plan rampant de la lunette, passant par son axe cl qui a pour trace verticale sur le vitrail la ligne V U. pour les cotés 20-33, 21-33 du premier quadrilatère ; 2" les traces du plau également par l'aie qui a pour trace sur le vitrail la ligne /■." G", pour les côtés 38-27, 2S-24 du deuxième quadrilatère.

CHAI'ITUK XX. 93

l.c quadrilatère ponctué 1-2-3-4 est U projection à la herse de la pièce équarrie qui contient la portion de courbe dont U longueur est égale à la ligue A' O ou a' P de h ligure 6. pi. 80; ta face supérieure de celte pièce est dans le plan tangent et la face inférieure dans son parallèle.

Avant de couper les surfaces coniques il faut marquer sur les traces de ces sur^ces les points où elles sont renconlrées par une suite de génératrices, pour que ces génératrices servent de guides en taillant ces surfaces. Ces génératrices passent toutes par les sommets des surfaces coniques auxquelles les courbes appartiennent ; ces sommets sont projetés sur le plan tangent a la herse dans les points Z"" et «'". Les plans normaux, pour la construction do ces pnints, sont couchés • droite. Nous n'fl»ons point tracé les projections des génératrices, ni les traits ramènerets . pour ne point compliquer dava ntage l'épure.

Les développements des deux surfaces coniques sont tracés. Gg. 5, Ces développements sont construits au moyen de l'arc du vitrail ' h r divisé en partie* égales, cl des véritables grandeurs des génératrices obtenues par leurs projections; les deui sommets sont réunis au même points. La courbe/'' A"' IV est le développement du demi-ccrclc tt K U, et la courbe rf k- u' est celui du ilcmicercle i> * u. Les surfaces coniques étant semblables . les développements le sont aussi. Nous avons marqué, sur ce double développement, les zones semblables qui répondent , dans les surfaces coniques , à l'épaisseur de la voûte de la coupole. Des hachures pleines distinguent la zone qui doit être appliquée sur la surlace conique d'extrados; les hachures ponctuées marquent la zone qui répond â l'intrados.

four compléter ce développement, il n'y a plus qu'à y inarquer les traces du plan tangent et de sou parallèle . afin que chaque zone puisse être appliquée sur ta surface conique à laquelle elle se rapporte, après qu'elle est coupée, et dans la situation qui lui convient entre les deux faces de la pièce de bois.

Nous n'avons point marque ces traces, parce que l'opération, pour les construire, est ta même que celle qui a servi à tracer les zones, puisqu'il ne s'agit pour chaque surface conique que de porter sur les génératrices, les véritables longueurs depuis le sommet de la surface jusqu'au point où elles rencontrent la l'ace de la pièce de bois qui est dans le plan tangent , et celle qui lui est parallèle.

Lorsque les patrons, donnés par les développements dont nous venons de parler, sont appliqués sur les surfaces coniques, dans les positions repérées sur des génératrices, on trace les courbes, puis on taille les deux surfaces de sphères en soi uni lis contours des courbes.

I.cs différentes parties du cintre de lunette étant taillées, on les établit sur ligne . sur une projection en herse . que l'on construit pour les réunir et piquer leurs assemblages.

(■MM projection en herse, pour l'assemblage des pièces, est faite sur un plan que l'on choisit de f.iron qu'il s'écarte le moins possible du cintre de lunette : il

n'est pas nécessaire qu'il soi! vertical ; oo peut le choisir incliné à peu près comme nous avons choisi ci-dessus le plan langent à la sphère. Il n'est pat même nécessaire que lés courbes de la Innette soient projetées entières sur ce plan; il suffit que des lignes et des points de repère , établis dans les autres projections , y soient projetés et marqués avec précision , afin que Ton puisse établir avec exactitude, de niveau ou en pente et de dévers, les pièces dont on doit* piquer les assemblages.

Nous ne donnons point les constructions de ces lignes et de ces points de repère sur ce plan è la herse , parce qu'elles ne présentent aucune difficulté.

Si Ton suppose qu'un pan de bois cylindrique ou en tour ronde enveloppe h coupole, et qu'il a pour projection le même espace qui est entre les cercles QOJ, qojj qui marquent la naissance; les mêmes surfaces coniques, qui forment la lunette , donnent aussi un cintre dans l'épaisseur du pan de bois en tour ronde. Nous avons marqué , sur la projection horizontale de ce pan de bois , pi. 80 , les rectangles tels que celui F F* f f, qui sont compris entre les génératrices des surfaces coniques et les parements du pan de bois.

Noos avons aussi marqué, fig. 6, pi. 80 , deux liernes : l'une est projetée verticalement et horizontalement en E avec ses abouts et occupations , sur la (ace sphérique extérieure de la lunette, en 85-26-87-48, et sur la face verticale intérieure de la baie en tour ronde , en 50-51-39-55. La deuxième est projetée aussi verticalement et horizontalement en œ , mais elle s'assemble d'un bout dans le cintre de la lunette en 17-18-19-40, et nous supposons l'autre bout terminé ao plan vertical du vitrail en 21-22-23-24.

Enfin , un cmpanon w est tracé en projection horizontale seulement ; il s'assemble dans les deux liernes , et l'on volt la projection de son occupation hachée sur une des faces de la lierne a».

Cette pièce de trait est une des plus compliquées qu'on puisse rencontrer , quoique nous en ayons écarté quelques circonstances , telle que celle où les sommets des deux surfaces coniques seraient hors do plan des naissances de la coupole, et celle où le plan des naissances de la lunette serait rampant , de telle sorte que sa ligne de pente ne se confondit pas avec l'axe commun des deux surfaces coniques.

Nous n'avons point terminé celte épure dans quelques-unes de ses parties qui ne présentent aucune difficulté. Nous conseillons aux charpentiers qui veulent acquérir da l'habileté dans l'art du trait , à s'exercer sur des épures qui aient pour objet , comme celle-ci , des courbes à doubles courbures non symétriques.

Si l'on ne lient point à l'économie du bois , on peut se dispenser de faire toutes les opérations graphiques que nous avons décrites, ayant pour objet la détermination des dimensions des pièces qui sont, sous le moindre volume , capables de fournir les parties des courbes suivant lesquelles on a divisé l'arc de lunette. Dans ce cas, l'opération graphique est très-simplifiée. On doit alors , sans chercher d'au-