CHAPITRE XXXII

tous les mouvements de biais et de rampant on suive la loi de continuité, il n'est pas le plus simple. Nous reviendrons sur ce sujet en traitant les flèches torses, le principe de construction étant à peu près le même.

2° Construction régulière d'un dôme tors.

Pour que la courbe des arêtes d'un d6me tors soit une hélice, il faut que celte courbe rencontre toutes, les courbes méridiennes de la surfaec de révolution dans laquelle le dôme est inscrit sous un angle constant.

Nous supposerons que la courbe génératrice de la surface de révolution est un quart de cercle, et que par conséquent le dôme tors est inscrit dans une calotte hémisphérique. Les hélices des arêtes torses sont alors des losodromiques.

Soit, fig. 20, un demi-cercle qui est le méridien de la sphère dans le plan de pro jection verticale qui a pour trace horixontale la ligne a b9 fig. 21 ; le polygone de seize côtés a m nop q9 etc., est le plan d'un dôme à seize pans. Si le dôme n'était point tors , chacun de ses pans répondant à un des côtés du polygone du plan serait cylindrique à génératrices horizontales, et les arêtiers résultant de leurs intersections, ou, pour mieux dire, leur servant de base, seraient de grands cercles de la sphère, et auraient pour projections horizontales les lignes droites ponctuées c m, c », c o, etc., fig. 21 ; leurs projections verticales seraient, des ellipses que nous n'avons point projetées sur la fig. 20, va qu'elles sont inutiles à ce que nous avons en vue.

Les arêtes des dômes lors devant être , comme nous l'avons dit plus haut, des losodromiques, voici le moyen de construction que nous suivrons pour les mettre en projection horixontale et en projection verticale.

Si Ton développe chaque quart de cercle méridien sûr sa trace horixontale prolongée, fig. 21, tous les développements étant égaux, leurs extrémités seront daus un cercle a', m', »', o', pfy q'f etc. Ainsi la ligne a' s, fig. 20, étant le développement du quart de cercle a s est égale au rayon du cercle a' m' n' o', etc., de la fig. 21.

Si Ton suppose qu'une ligne loxodromique soit tracée sur la sphère, et que les points où elle coupe les méridiens soient rapportés sur les développements respectifs e m'y crf,c o',c p', etc., de ces méridiens, la courbe qui en résultera sera une spirale logarithmique; car dans l'une et l'autre courbe, les tangentes forment des angles constants, l'une avec les arêtes méridiennes, l'autre avec les rayons.

Ainsi donc ayant résolu qu'une des arêtes du dôme tors prend naissance à l'angle ode sa base, et qu'elle doit aboutir au point 8 de son couronnement, il faudra, fig. 21, entre le développement c o' du méridien projeté sur c o et la partie c-5' du développement c V du méridien projeté sur c t, tracer une spirale logarithmique o'-l/-2'-3/-4/-iS', en intercalant entre c-5' et c o' autant de moyennes proportionnelles qu'on a tracé de méridiens cpfy c q*,c r*9 c «', c'est-à-dire quatre dans le présent

< xcmple, soit par le moyen graphique que nous avons indiqué, page 10&, soit par le calcul, soit enûn par le moyen de l'instrument de Descartes, que nous décrirons dans la note ci-dessous (1).

Les poinls 1', 2', 3% 4', appartiennent à cette spirale logarithmique.

Pour tracer les projections de la loxodromique, il faut rapporter les points de la logarithmique sur les quarts de cercle auxquels ils appartiennent , ou , ce qui est la même chose , déterminer les plans des cercles horizontaux sur lesquels ces points se trouvent, et pour cela réenvelopper les longueurs caf, c-1', c~S% e-5', o-4\ Cg. 20 (égales aux rayons c o', c-1', c-3', c-.Y, c-4'), sur le quart de cercle et, fig. 20, qui donne les points o, 1", 2//, 3", 4", 5"; les horizontales, passant par ces points, sont les traces de plans horizontaux 1"-1", 2"-2", 5"-5", 4M", coupant la sphère suivant des cercles dont les projections horizontales , fig. 21 , donnent, par leurs intersections avec le méridien , les points 1,2, 5, 4, qui appartiennent à la projection horizontale de la loxodromique ; en renvoyant ces points sur les horizontales de la figure 20 , on obtient les poinls de la loxodromique projetée sur le plan vertical.

Les pans tors de ce dôme sont alors engendrés chacun par une ligne droite horizontale qui se meut en s'appuyant sur deux loxodromique*; et en quelque postlk» qu'ongconsidère cette droite , sa portion comprise entre deux arêtes loxodromiem est égale à la drpite horizontale prise au même niveau , qui serait comprise entre

(i) L'instrument de Dcscai les est une sorte de compas composé de deux règle* O A, O B, fig .j, pi. u5, mobiles autour du point O; le long de ces règles posées à plat sur une table, on dispote autant d'équerres, plus une , qu'il s'agit de proportionnelles à déterminer. Chaque équerre toach* celle qui la précède du côte du centre , et dans chaque équerre l'angle droit qui sert à la «lotion de la question , est formé par le coté interne de la grande branche et le côté externe de te petite. Ainsi dans l'équerre, fig. 5, c'est l'angle droit m p n qui doit fonctionner. On conçoit que la première équerre c a b étant fixée pour une certaine ouverture du compas, les positions Je toutes les autres équerres le sont aussi , et à cause de la suite des triangles rectangles semblable» < ab,bcd,db e.edj, Ion a O a : O c :: O c : O b : : O b : O d :: O d : O e : : O € : O fwbka O as: O c : O b : O d : O e : O f\ c'est-à-dire que Oc, O b, Od, Oe, sont quatre moyennes proportionnelles entre Oacl O/. Cela posé , pour faire usage de l'instrument devant, par exemple, déterminer quatre moyenne» proportionnelles entre les ligues a et /', fig. 6, on fixe la boite mobile jf «l à vis de l'instrument sur une de se-» branches, de façon qu'à partir du centre la distance Oa Vil égale à la ligne a, et sur l'autre branche on marque un point fh une distance du centre tdlc que O /*soit égale à la ligne f. On ouvre ensuite le compas en faisant glisser toutes les équerre» ik façon qu'elles s'appuient les unes contre les autres jusqu'à ce que la branche fë de la dernière coïncide avec le point /'. Les autres équerres déterminent , comme nous l'avons dit précédemoeat. le» quatre moyennes proportionnelles Oc, O b, O d, O e, auxquelles ont fait les quatre ligne» c, b, il, e, respectivement égales.

Tour que les contacts des équerres aient lieu avec justesse , leurs petits côtés ont plus d'épaisseur que leurs grands côtes. Une de ces équerres est figurée à plat . fig. 5, et vue par le bout de sa longue branche, fig. 3.