CHAPITRE IL

DES IDÉES DE GEXRE ET D'ESPÈCE, DE NOMBRE ET DE COMBINAISON, ET DES THÉORIES LOGIQUES ET MATHÉMATIQUES DONT ELLES SONT LA SOUCHE.

8. — Parmi les idées que la nature même des choses nous suggère et qui ne tiennent pas seulement à notre manière de les concevoir, il n'y en a pas de plus simple, de plus claire, de plus générale que l'idée de nombre. Mandwn regunt numeri : cet adage de la sagesse antique, que les découvertes du génie moderne ont confirmé d'une manière si éclatante, suffit pour montrer que les nombres ne sont point une création de l'esprit humain; car l'esprit humain ne saurait honnêtement prétendre à être le régulateur du monde.

Mais, cette idée même de nombre en suppose une autre; car, lorsque nous disons que la plauète de Saturne a sept satellites, qu'une fleur de crucifère a quatre pétales et six étamines, qu'un cube de galène a six faces, douze arêtes et huit angles solides (tous exemples pris assurément dans la Nature) nous reconnaissons implicitement que les satellites d'une planète, les pétales et les étaoïines d'une fleur, les faces, les arêtes et les angles solides d'un cristal sont des objets congénères, ayant chacun leur individualité propre, et pourtant naturellement associés aux autres objets au nombre desquels nous les comptons, quel que soit le degré de ressemblance ou de dissemblance entre les objets congénères. Ainsi l'idée de nombre et

l'idée d'association ou de groupement par genres sont deux idées corrélatives dont l'une implique l'antre. L'une est le point de départ des sciences mathématiques : l'autre sert de base à l'édifice de la logique des écoles. Cela seul nous expliquerait pourquoi les sciences mathématiques et logiques ont entre elles tant d'affinité. Nous voyons de prime abord pourquoi les auteurs des listes de catégories ont dû faire fausse route en séparant dès l'origine ce qui était indissolublement uni par des rapports naturels.

9. — Du reste, le caractère essentiel de l'idée mathématique s'annonce aussi dès le début. Car on pourra discuter sur les caractères qui distinguent le genre, prétendre par exemple que les pétales du lis ne sont pas des pétales, parce qu'il y a des motifs d'admettre que l'enveloppe florale, malgré son éclat, doit être réputée un calice et non une corolle : corolle ou calice, l'enveloppe florale n'en aura pas moins six divisions bien marquées; et tout le monde sera forcément d'accord sur le nombre des objets congénères, sinon sur la définition du genre.

On pourra de même discuter sur ce qui fait Yimité ou l'individualité de l'objet; et souvent la question, étant de celles qui tiennent, non plus à la forme, mais au fond des choses, dépassera la portée de notre intelligence (2). En tout cas, la solution de la question reposera sur d'autres idées que celles qui nous occupent maintenant, et sur des idées d'origine et de catégories très diverses, selon la nature des objets nombres. Je compte les faces ou les angles solides d'un cristal, et j'ai par la géométrie seule, par la pure science des formes, l'idée la plus nette de ce qui con-

stitue dans un corps polyédrique l'individualité, l'unité de chaque face ou de chaque angle solide; mais il faut que je demande à la physique, et que j'essaie de tirer des idées premières sur lesquelles nos sciences physiques se fondent, une notion telle quelle de ce qui constitue l'individualité ou l'unité d'un cristal. L'individualité de la planète n'est pas de même ordre ni de même nature que celle du cristal ; et l'éclat de roche, devenu un galet par le frottement des eaux, n'a pas une individualité physique, une unité que l'on puisse comparer à celle du cristal, ni même à celle de la planète.

Que s'il s'agit du dénomhrement des êtres organisés et vivants, des appareils qui les copstituent et des fonctions qu'ils remplissent, des races, des espèces, des familles dans lesquelles ils se distribuent, des produits auxquels ils communiquent, à des degrés divers, le souffle de vie, bien plus de voiles encore recouvriront pour nous le principe d'individualité ou d'unité, certainement très distinct de ce qui fait l'individualité ou l'unité d'un cristal, d'un soleil, d'un système planétaire. A un étage encore supérieur, nous rencontrons, dans la personnalité humaine, un principe d'individualité ou d'unité qu'on ne saurait confondre avec ce qui fait lindividualité ou l'unité de la plante, du zoophyte, de l'animal; et de là enfin le métaphysicien s'élèvera jusqu'à la conception d'une unité transcendante, dans la contemplation de laquelle sa raison pourra s'égarer ou se fortifier, selon que la trempe de son esprit le disposera à l'extase mystique ou à la méditation circonspecte.

Donc l'idée de l'unité, ainsi entendue, et en tant

qu'elle s'applique à la connaissance de ce que les choses sont foncièrement et intrinsèquement, est une idée qui subit de continuelles transformations : d'abord très claire, puis obscure, puis mystérieuse, selon les objets auxquels elle s'applique. Il ne faut donc pas, comme tant d'auteurs de catégories l'ont fait, mettre l'idée de Yunité en regard de l'idée de pluralité ou de nombre. Au sens mathématique, l'unité n'est qu'un nombre, comme deux, trois, quatre, etc.; et en ce sens par conséquent, sens purement formel, l'idée de l'unité est aussi claire, aussi précise, aussi invariable que celle de tout autre nombre, sans qu'il y ait lieu de faire contraster l'une avec l'autre. Dans l'autre sens, l'idée de l'unité se retrouve partout, mais partout transformée, et constituant en effet autant d'idées différentes, qu'il y a de catégories différentes pour la distribution des objets de la pensée.

10. — L'idée de nombre n'est pas moins intimement unie à l'idée d'ordre qu'à l'idée de genre. Les langues en fourniraient la preuve, en nous donnant, à côté de la série des noms de nombre que les grammairiens qualiiient de cardinauj-, la série des noms de nombre ordinaux. Nous ne pouvons faire un dénombrement, qu'en comptant les objets dans un certain ordre, ni fixer un ordre que par une étiquette numérique ou par des étiquettes, telles que les lettres de l'alphabet ou les notes de l'échelle musicale, dont nous connaissons déjà le numéro d'ordre.

il. — A côté des idées de groupe ou de genre, de nombre et d'ordre vient se placer l'idée de combinaison binaire, ternaire, etc. On ne peut considérer les combinaisons directement et en elles-mêmes (par

exemple pour les applications du jeu, pour la déterminalion des formes du syllogisme, pour la systématisation de la chimie, etc.) sans que le procédé pour former toutes les combinaisons, en s'assurant de n'en omettre aucune, n'implique un procédé arithmétique pour calculer le nombre de ces mêmes combinaisons.

Réciproquement, l'arithmétique la plus vulgaire, comme la science des nombres dans ce qu'elle a de plus élevé, impliquent les idées d ordre, de groupe, de combinaison , en même temps que l'idée de nombre. L'artifice de la numération repose sur la conception de groupes hiérarchiquement ordonnés (dizaines, centaines, etc.), c'est-à-dire sur l'idée fondamentale de toute classification; dans la multiplication il s'agit, pour obtenir tous les produits partiels, de combiner successivement chaque chiffre de l'un des facteurs avec chaque chiffre de l'autre ; plus loin l'on démontre que le produit de plusieurs facteurs est une combinaison qui ne change pas selon l'ordre dans lequel les éléments de la combinaison sont rangés, et ainsi de suite.

La syntactique, c'est-à-dire la science des combinaisons et de l'ordre, s'applique donc hVaritJnnétique, comme l'arithmétique s'applique à la syntactique, en tant qu'elle fournit le moyen de calculer, par des procédés expéditifs, les nombres des combinaisons possibles : nombres immenses, pour peu que le degré de complexité des combinaisons s'élève, et dont il importe cependant de pouvoir assigner les rapports ; car de ces rapports dépendent la rareté ou la fréquence avec laquelle apparaissent les combinaisons de chaque sorte, soit dans la succession des phénomènes natu-

rois, soit flans les choses que l'esprit humain invente ou dirige. Aussi la partie purement mathématique de la science de l'ordre est-elle celle qui comporte le développement scientifique le plus étendu et les applications le plus dignes d'intérêt.

12. — Toute distril)ution par groupes et par classes présuppose certains caractères tranchés, servant de base au groupement ( u à la classification; de sorte que la classification cesse d'être possible quand il y a passage continu d'un caractère à un autre. En conséquence tout réchaffaudage de la logicjue proprement dite, la classification, la définition, la construction syllogistique cessent d'être applicables aux objets sensibles ou purement intelligildes dont les caractères ou les attributs n'ont rien de fixe ou de tranché, et peuvent passer de l'un à l'autre par une multitude indéfinie de nuances intermédiaires. Chaque objet devient alors ^7// fjeneris, comme les logiciens disent , et sur de tels objets l'appareil logique n'a point de prise.

De leur côté, les nombres, en tant qu'ils s'appliquent au dénombrement ou au compte d'objets individuellement déterminés, se distinguent les uns des autres d'une manière parfaitement tranchée, et offrent le type le plus net de la discontinuité. Telle constellation comprendra 15 étoiles, telle autre 16, sans qu'il y ait de passage ou d'intermédiaire possible, du nombre 15 au nombre 16. Voilà pourquoi les nombres sont aussi appelés des quanti tes discrètes, dénomination peu juste, car les nombres, par eux-mêmes, expriment des cpiotités, non des quantités. Cependant l'idée de nombre, même appliquée à des objets individuellement déterminés, et dans lesquels on ne con-

sidère ni l'étendue, ni la durée, qni sont choses continues de leur nature, conduit aussi à l'idée de continuité, et voici comment.

L'idée de nombre conduit à l'idée de rapport. Par exemple, quand on se livre à des recherches de statistique, le but peut être de déterminer des nombres absolus et de savoir notamment combien la population d'une telle ville compte annuellement de décès : mais plus ordinairement, surtout lorsque l'on a en vue des comparaisons, il s'agit moins de connaître des nombres absolus que le rapport du nombre des décès au chiffre de la population; car on admet aisément que, toutes choses égales d'ailleurs, le nombre des décès sera double ou triple pour une population double ou triple, et ainsi de suite. On pourra donner à l'expression du rapport dont il s'agit diverses formes, en disant par exemple qu'il y a3 décès pour 100 habitants, ou un décès pour 33 habitants, mais en comprenant aussi que toutes ces expressions ne sont qu'approchées, et que le rapport dont il s'agit peut avoir une infinité de caleurs différentes, com])rises entre 3 pour 100 et \ pour 100, entre un pour 32 et un pour 33. En multipliant les observations, en opérant sur des nombres de plus en plus grands, l'on conçoit que l'on pourra avoir une expression arithmétique de plus en plus rapprochée de ce rapport, qui ne comporte peutêtre pas une expression arithmétique rigoureusement exacte. L'on conçoit pareillement que ce rapport peut changer, d'un pays à un autre, d'une époque à une autre, et changer en passant par une infinité de valeurs intermédiaires. Donc l'idée de rapport, même appliquée à des nombres absolus qui ne peuvent que

20 LIVUE I. — CHAPITRE II.

changer hriiscjucnieiit de valeur, suffit pour nous conduire à l'idée d'un changement continu dans la valeur du rapport. De là le passage de l'arithmétique des nombres entiers à l'arithmétique des nombres fractionnaires qui servent à exprimer les rapports.

13. — On est encore conduit à la notion de la continuité et au calcul des nombres fractionnaires par l'idée de mesure et par la considération des grandeurs mesurables. Rien de plus aisé que de trouver des exemples de grandeurs mesui'ables parmi les choses dans la détermination desquelles entrent l'étendue ou la durée; mais par là on aurait l'air de subordonner les théories d'arithmétique pure aux notions de l'espace et du temps, qu'elles surpassent pourtant, quant au degré d'abstraction et de généralité. Afin d'éviter cet inconvénient , prenons pour exemple l'idée que nous avons du prix ou de la valeur commerciale des choses. Cette idée n'a pas besoin d'être ici l'objet d'une discussion approfondie : il nous suffira de remarquer que l'habitude d'échanger comme équivalentes des quotités différentes d'objets de diverses sortes, par exemple tant de ])œufs contre tant de moutons, tant de poules contre tant d'œufs, conduit nécessairement à abstraire de l'idée de ces objets divers, l'idée d'une valeur qui y est attachée, et à évaluer tous ces objets en prenant pour terme de comparaison ou pour unité arbitraire, la valeur de l'un d'entre eux, celle du bœuf ou celle du mouton, celle de la poule ou celle de l'onif. On pourra varier les appoints d'une infinité de manières différentes, et conséquemment l'on a ainsi l'idée de quelque chose qui peut passer par tous les états possibles de cjran-

(leur. Selon l'unité choisie, la mesure de la grandeur sera un nombre entier ou fractionnaire : ce nombre est ce que l'on nomme proprement une quantité {12).

En général, la mesure est le procédé artificiel de l'esprit, qui veut appliquer les nombres à la détermination des grandeurs, et qui pour cela fait arbitrairement choix d'une grandeur de même espèce, comme unité de mesure. La raison de cet artifice est dans la constitution de l'esprit humain qui a besoin de signes, et de signes discontinus, tels que ceux que nous appliquons à la désignation des nombres, pour exprimer toutes choses, même celles qui varient d'une manière continue, telles que les grandeurs. Les nombres tiennent à la nature des choses et les grandeurs aussi : mais la mesure, ou l'application des nombres à la détermination des grandeurs, ne tient qu'aux procédés de l'esprit humain. Il y a dans la Nature des quotités, comme le nombre des étoiles au firmament, celui des arbres d'une forêt et des grains de sable d'une plage : il n'y a point de quantités; car la quantité, c'est le nombre, appliqué artificiellement à la détermination ou à l'expression (exacte ou approchée) d'une grandeur mesurable. Les auteurs de tables ou de listes de catégories n'ont pas fait ces remarques, et l'on doit sentir qu'il était pourtant essentiel de les faire.

14. — C'est aussi l'usage, dans les tables de catégories, d'opposer la qualité à la quantité, le ttoîov au TTocôv : on le peut sans doute, pourvu que l'on ne persiste pas à considérer (ainsi que semblent l'avoir fait Aristote et ses successeurs) la qualité et la quantité comme des prédicaments ou des catégories de même

ordre. 11 faut au contraire, pour la justesse de l'idée, entendre que le rapport entre ces catégories est celui de l'espèce au genre, du cas particulier (ou plutôt singulier) au cas général *.

Effectivement, cette espèce singulière de qualité, qu'on appelle grandeur ou quantité, se prête dans ses variations continues à des procédés réguliers de détermination que nulle autre qualité ne comporte, dès qu'elle varie de même avec continuité : et de plus, dans l'état de nos connaissances, il est au moins loisible de concevoir que la continuité de toute variation qualitative a son fondement dans la continuité inhérente à des variations quantitatives d'où les variations qualitatives dépendent.

15. — Prenons pour exemple les étoiles du firmament, et considérons leurs diverses qualités, qui peuvent servir de fondement ù autant de classifications. En premier lieu ce qu'on appelle improprement leur grandeur, c'est-à-dire leur éclat, qui n'est pas une grandeur à proprement parler, et qui ne comporte pas de mesure directe. Cependant l'éclat varie certainement avec la distance, et se trouve déjà par là dépendre d'une grandeur mesurable. Cette cause de variation d'éclat n'est pas la seule, et nous sommes bien sûrs que toutes les étoiles, vues de la même distance, n'auraient pas pour nous le même éclat : car ce sont autant de soleils qui ne sauraient avoir les mômes dimensions, et qui, à dimensions égales, n'émettraient pas la lumière avec la même abondance, ni la même espèce de lumière. Or, 1 abondance de la lumière,

' Essai sur les Fondements de nos connaissances, cliap. Xill, et principalement les n"^ 197 et suivants.

quaud il s'agit de lumières homogènes, est quelque chose de mesurable en soi, et de mesurable pour nous. Nous pouvons constater que la lumière d une bougie équivaut pour l'éclat à celle de deux, trois, quatre bougies de même nature, et si nous cherchons à pénétrer dans les causes physiques du phénomène de la lumière, nous trouvons dans des raisons mathématiques, c'est-à-dire dans des rapports entre des grandeurs, une explication satisfaisante des variations d'éclat ou d intensité lumineuse.

Il n'en est plus tout à fait de même, quand il s'agit de comparer des lumières hétérogènes ou des rayons lumineux de couleurs différentes. Le rayon jaune qui, dans le spectre solaire, se place entre le rayon vert et le rayon orangé, a plus d'éclat que l'un et l'autre : c'est une qualité qui dépend apparemment d'un certain rapport entre la constitution physique des rayons et le mode de sensibilité de notre rétine, et nous n'apercevons pas d'abord comment la mesure y interviendrait. Mais nous savons très bien que la couleur du rayon est liée à sa réfrangibilité, ou à la grandeur de l'angle qui mesure sa déviation quand il traverse le prisme; et de plus une optique plus savante nous enseigne que la couleur est pareillement liée à ces nombres d'une prodigieuse petitesse, par lesquels on mesure les longueurs de ce que Newton a appelé dans son système les accès de la lumière, ou de ce que l'on appelle maintenant les oncles lumineuses. De toute manière donc la qualité des étoiles qui consiste dans l'éclat, se trouvera liée à des grandeurs mesurables, et pourra être assignée, déterminée, à l'aide des nombres qui les mesurent.

2i LIVRE I. — CHAPITRE II.

Donc il en faudra dire autant de cette autre qualité des étoiles, qu'on appelle la couleur, et qui peut également servir à les classer; car il y a des étoiles décidément rouges, vertes, jaunes, et d'autres qui offrent une multitude infinie de nuances intermédiaires; mais toutes ces nuances peuvent être définies par leur liaison, au moins empirique, avec des choses mesul'ables; et nous avons de très fortes raisons de croire qu'une théorie complète nous montrerait comment toutes ces variations , dans une qualité qu'on appelle la couleur, sont en effet déterminées par de certaines variations dans des grandeurs mesurables.

Rien de plus rebelle assurément à toute mesure directe que cette affection des êtres sensibles que l'on nomme la douleur; il serait fort ridicule de dire que la douleur que cause un accès dégoutte est le double ou la moitié de la douleur causée par une rage de dents ; toutefois le physiologiste juge d'après la grosseur des cordons nerveux et l'abondance de leurs ramilications, de la sensibilité de l'appareil oii ces ramifications pénètrent, et de l'intensité de la douleur que cause le tiraillement des cordons. Il n'est pas éloigné de croire que l'explication des divers modes de la sensibilité serait donnée par les variations de structure des diverses parties de l'appareil nerveux, si nous pouvions y pénétrer assez intimement.

Selon les circonstances, une variation en quantité peut être conçue comme le principe ou comme la conséquence d'une variation en qualité; mais, dans l'un et l'autre cas, l'esprit humain tient, autant qu'il dépend de lui , à ramener à une variation de quantité (pour laquelle il a des procédés réguliers de déter-

mination et d'expression) toute variation dans les qualités des choses '.

16. — Les idées de grandeur et de mesure sont si simples, elles donnent lieu à des constructions scientitiques si régulières, qu'elles semblent dominer les mathématiques tout entières, et que l'on définit vulgairement les mathématiques, la science ou les sciences qui ont pour objet la mesure des grandeurs. 11 s'en faut cependant bien que cette définition soit exacte. L'arithmétique supérieure , celle qui étudie les propriétés des nombres en eux-mêmes, n'a rien ou presque rien de commun avec l'idée de grandeur ou de quantité. Les figures de géométrie offrent de même une foule de propriétés qui tiennent à la situation et à l'ordre, et dont on pourrait faire un corps de doctrine, lors même que l'on n'aurait aucune idée de l'application des nombres à la mesure des grandeurs géométriques. La théorie des nombres, la théorie des figures géométriques, la théorie des grandeurs, forment trois corps de doctrine qui ont entre eux des rapports multipliés, qui s'appliquent mutuellement l'un à l'autre, mais qui procèdent chacun d'idées fondamentales distinctes, quoique étroitement liées. La théorie des grandeurs est celle des trois qui comporte le développement le plus régulier, le plus uniforme, le plus méthodique ^ ; et en conséquence la plupart des géomètres ont employé leurs efforts à assujettir les deux

1 Essai , 11° 199.

2 En veut-on nn exemple des plus simples? La division, au point de vue de l'arithmétique pure, de la tliéorie des nombres, est une opération qui réussit ou ne réussit pas, accidentellement en quelque sorte, ou plutôt d'après des lois cachées et singulières, que

26 LIVRE 1. — (THAPITRE II.

autres théories à celle-ci, à démontrer et à trouver, par l'emploi réf>ulier et systématique de grandeurs auxiliaires, ce (pii pourrait à la rijuiieur se concevoir, se démontrer et se trouver, indépendamment de la notion de grandeur et de mesure. Pour ce qui est enfin de l'utilité des mathématiques et de leur application, soit à la philosophie naturelle, soit à la pratique des arts, on vient de voir qu'elles sont entièrement dues à la puissance du calcul, en tant qu'il s'applique aux grandeurs mesurables, et en ce sens au moins la définition qu'on donne communément des mathématiques se trouve pleinement justifiée.

Nous nous bornons à ces aperçus rapides sur des points que nous avons eu l'occasion de traiter ailleurs, et qu'il n'est pas nécessaire de développer davantage pour l'objet de nos présentes recherches.

nous avons grand'peine à découvrir et plus de peine encore à sys- ' tématiser. Au point de vue de la théorie des grandeurs, la division réussit toujours et tout problème ramené à une division est un problème censé résolu.

DES IDÉES DE TEMPS ET d'eSPACE. 27