Arrêtons-nous ici un moment sur cette science fa

meuse dont nous venons d'indiquer le point d'attache à la charpente générale de nos idées. On sait que les philosophes opposent souvent (trop souvent peut-être) aux vérités logiquement étabhes, les vérités qu'ils appellent d'intuition : or, c'est la géométrie qui nous donne les exemples les plus nets de ce qu'il faut entendre par vérités d'intuition, attendu que la gé' >métrie est la science des formes qui tombent sous la perception des sens. Reprenons ces deux axiomes, rebattus jusqu'à la banalité : 1^ le tout est plus grand que la partie ; 2^ la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre ; que voyons-nous dans le premier? Un principe de logique générale dont l'évidence ressort des définitions mêmes du tout et de la partie, et qui pourrait être ramené à cette proposition identique : la collection des parties se forme en ajoutant à l'une des parties les autres parties qui entrent dans la collection. On peut dire de tels principes qu'ils nous aident à résumer ou à systématiser nos connaissances, mais qu'on n'en saurait rien tirer qui contribue à l'avancement de nos connaissances. En effet, supprimez le langage humain qui est l'instrumentde notre logique, et de tels axiomes s'évanouiront faute d'objet. De même que les définitions du tout et de la partie sont des définitions de mol, de même l'axiome signalé est une propo sition purement logique, verbale ou nominale. C'est ce que l'on peut encore appeler, avec Condillac, une identité ou une proposition identique.

Il n'en est pas de même du second axiome ; et la preuve, c'est qu'un enfant, un sourd-muet, un animal même, pour qui le langage humain n'existe pas, s'élancent d'un point à un autre en parcourant la ligne droite qui les sépare. Ils ont donc à h'v.v manière la perception de la ligne droite, et en vertu de cette perception, ils sentent que c'est en ligne droite que doivent se prendre les distances. Il n'est pas étonnant que l'intuition ou la perception spontanée d'un tel rapport, inhérent à la nature des choses, mène un esprit qui combine et qui raisonne, à la découverte d'autres rapports auxquels n'appartient plus la même évidence intuitive.

26. — Dans les écoles grecques qui ont fondé l'enseignement de la géométrie et donné à l'esprit géométrique ses règles, telles que les modernes les ont acceptées et que Pascal les a formulées, on s'est attaché à réduire autant que possible le

nombre des axiomes : ce peut être là un curieux exercice de logique, mais ce n'est rien de plus. Quand on parviendrait (car il est au moins fort douteux qu'on y parvienne) à démontrer que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre, sans invoquer aucun axiome nouveau, on n'en serait pas plus avancé pour ce qui intéresse le progrès ultérieur de nos connaissances, et on laisserait dans l'ombre un fait psychologique important à constater, à savoir que nous avons naturellement l'intuition, la perception spontanée d'un tel rapport. 11 est clair que la détermination exacte des données psychologiques de cette espèce surpasserait en intérêt les subtilités dialectiques des écoles anciennes, autant que la connaissance des lois de la Nature surpasse en intérêt celle des conceptions artificielles de l'esprit humain.

Quels moyens avons-nous de déterminer exactement les choses pour lesquelles il faut recourir à l'intuition immédiate? D'abord l'analyse du langage nous doit venir en aide. Que l'on cherche, par exemple, à définir Vangle : on ne trouvera que des définitions incomplètes, fausses, ou qui impliquent un cercle vicieux, comme si l'on dit que l'angle est l'inclinaison d'une ligne sur une autre ; car, après avoir défini Vanyle par Vinclinaison, il faudrait définir V inclinaison par Vangle. L'idée de l'angle, comme celle de la ligne droite, est donc une idée indéfinissable, sui generis, que nous acquérons par intuition immédiate et pour laquelle rien ne peut suppléer à l'intuition

inédiate.

Au contraire, on donne une très bonne et très claire définition du cercle, quand on dit que c'est une Hgne dont tous les points se trouvent à égale distance d'un point intérieur que l'on nomme centre: à la vérité, il convient encore de faire voir que l'on peut satisfaire à la définition par un tracé convenable, et pour cela le plus simple est d'imaginer une ligne droite qui tourne dans un plan en pivotant sur une de ses extrémités, l'autre extrémité décrivant une ligne qui satisfait évidemment à la définition du cercle. L'intuition intervient donc encore pour compléter la définition du cercle, en ce sens qu'elle montre qu'il y a efïectivement des lignes qui peuvent satisfaire à la définition.

27. On reconnaît encore les choses d'intuition immédiate en ce que, si on ne les admet à ce titre, la construction logique

de la science présente des lacunes que l'on ne réussit pas à combler. Exemple, la théorie des parallèles. Si l'on dit que des lignes droites parallèles sont celles qui, étant tracées dans un plan, ne peuvent pas se rencontrer, on donne une définition logiquement bonne, en ce sens qu'elle n'appartient qu'à la chose définie ; mais pourtant cette définition ne comprend pas tout ce qu'emporte dans notre esprit l'idée du parallélisme des hgnes droites. Le fait de l'impossibilité d'une rencontre n'est ici qu'un caractère accessoire, secondaire, puisque les lignes droites, dès qu'elles cessent d'être dans le même plan, cessent de se couper, sans être pour cela parallèles, et qu'un faisceau de droites parallèles n'est pas nécessairement un faisceau de droites toutes comprises dans le même plan. Ce qu'il y a de fondamental dans l'idée du parallélisme des lignes droites, c'est l'idée d'une idenliié d'orientation, laquelle implique qu'une ligne droite quelconque, venant à couper le faisceau de lignes parallèles, coupe sous le même angle toutes les parallèles qu'elle rencontre. Faute d'admettre cette donnée, ou toute autre équivalente, à titre de donnée intuitive, on se heurte contre ce que l'on a appelé le desideratum, le postulaium ou V imperfection de la théorie des parallèles, laquelle n'est une imperfection que dans un sens purement artificiel et logique.

L'idée de la similitude, c'est-à-dire de la ressemblance de deux figures qui ne diffèrent que par l'échelle sur laquelle elles sont construites, doit certainement aussi être mise au nombre des données de l'intuition immédiate. Que l'on montre à un enfant de trois ans le portrait de son père en miniature, le dessin d'un édifice qui frappe journellement ses regards, et il reconnaîtra son père, il reconnaîtra l'édifice. Il n'attend pas pour cela qu'on lui ait enseigné la géométrie et donné une définition de la similitude à la manière des géomètres, qui regardent comme une condition de perfection de n'y introduire que ce qu'il est absolument nécessaire d'y mettre, d'une nécessité logique, tandis que la Nature ne regarde pas comme une redondance d'associer dans la même intuition immédiate des caractères dont les uns peuvent être la conséquence nécessaire des autres. Or, il suffit d'avoir l'idée de la réduction des figures, et du triangle en particuUer, à une échelle dilîércnte, pour qu'on puisse en conclure le

fameux théorème sur la somme des angles d'un triangle et par suite toutes les propriétés des parallèles. Tel est l'enchaînement des vérités géométriques que l'on peut opérer une foule de conversions de même genre, en prenant pour point de départ ou pour donnée intuitive, tantôt une idée, tantôt une autre. La Nature a eu la libéralité de nous donner, par l'intuition immédiate, plus de notions premières quen'en requièrent les exigences de notre logique.

28. — Ce que l'on nomme une construction en géométrie, est un artifice employé pour faire concourir les données de l'intuition immédiate avec les ressources ordinaires de la logique, à l'effet de mettre en lumière des vérités géométriques dont l'énoncé n'est pas évident de lui-même. Les géomètres ont suivi pour cela deux manières ou deux méthodes bien différentes. L'une (la plus moderne) consiste à imaginer, une fois pour toutes, une construction tellement générale, que l'on puisse en tirer ensuite une multitude de relations particulières, par les seules forces de la logique et du calcul, sans que l'attention ait besoin de se fixer sur ce que représentent en géométrie les grandeurs ou quantités auxquelles le calcul s'applique. Tel est l'objet de la géométrie dite analytique, qui ne pouvait naître et se développer qu'après que l'algèbre ou la langue de l'analyse mathématique s'est trouvée suffisamment organisée. La méthode plus ancienne, que par opposition l'on qualifie de synthétique, maintient dans un perpétuel éveil la faculté d'intuition géométrique, fait une part beaucoup moins grande à la logique générale, ne peut le plus souvent s'accommoder de la régularité de ses procédés, exige par conséquent une plus grande dépense d'invention, et, si l'invention est heureuse, a l'avantage de mener au but par le chemin le plus court, comme étant le plus directement adapté au but spécial que l'on poursuit. Nous ne rappelons ici ces notions que parce qu'elles se rattachent toutes très directement à l'objet de ce Hvre qui est d'énumérer ou au moins d'indiquer les idées-mères auxquelles viennent successivement s'apphquer les règles de la logique générale, pour la construction du système de nos connaissances scientifiques.