PHYSIQUES QUI LES PRODUISENT ET SUR LA NATURE DES CORPS

29. — Lorsque l'on associe aux idées géométriques la notion de mouvement, ou que l'on combine avec les trois dimensions de l'espace l'unique dimension du temps (24), on voit naître de cette association une théorie que Lagrange a ingénieusement appelée une géométrie à quatre dimensions, dont la fécondité doit s'accroître avec le nombre des dimensions ou des données fondamentales que l'on emploie. Nous avons peu insisté sur l'économie de la géométrie proprement dite: mais les développements que nous avons en vue dans la suite de cet ouvrage, et qui trouveront alors leur justification, tant ils sont indispensables pour sortir de la routine et du vague de la vieille métaphysique, et pour mettre en lumière l'enchaînement généalogique de toute la série de nos idées, ne nous permettent pas de nous en tenir à de pareilles généralités, en ce qui touche la théorie géométrique des mouvements. Il faut ici plus d'exphcations, tout en s'abstenant autant que possible de détails techniques et de formules qui sont peu du goût du plus grand nombre des lecteurs.

Au fond, il n'y a guère de spéculation géométrique à laquelle l'idée de mouvement soit tout à fait étrangère : ce qui se rapporte évidemment à la remarque déjà faite (20), que nou.^ n'acquérons la notion de l'espace, ot par suite toutes les notion.^; géornétri(jues, qu'en explorant, pour ainsi dire, l'espace et les corps par des mouvements instinctifs ou volontaires. Nous

DE LA CINÉMATIQUE. 35

pourrons très bien définir la surface de la sphère, en disant que tous ses points sont à égales distances d'un point intérieur que l'on nomme centre : mais à la rigueur (26) il resterait encore à montrer que l'objet ainsi défini est possible ; et en tout cas nous nous représenterons encore bien mieux la surface définie, si nous la concevons comme décrite par le mouvement d'un demicercle qui tourne autour de son diamètre. Nous aurons ainsi une intuition, une image, au lieu d'une définition purement intelligible : et de fait, si nous voulons construire matériellement une sphère, c'est la seconde définition que nous pourrons mettre en pratique, et non la première.

30. — Dans cet exemple si simple et dans une foule d'autres, nous n'avons besoin de considérer, ni la durée du mouvement, ni sa vitesse. Il peut être continu ou interrompu, décrit avec une vitesse constante ou avec une vitesse qui change pendant la durée du mouvement. Dans d'autres cas, et lorsque la description de la figure résulte de plusieurs mouvements combinés, il faut, pour que la définition soit complète, tenir compte des vitesses relatives et de la constance ou de la loi de variation des vitesses. Par exemple, si l'on imagine une ligne

droite verticale qui se meuve parallèlement à ellemême d'un mouvement uniforme, de manière à décrire la cage cylindrique d'un escalier, tandis qu'un point mobile chemine uniformément sur cette ligne droite ou arête, de bas en haut, la courbe décrite par le point mobile, en vertu de ces deux mouvements combinés, et qui est connue sous le nom de vis ou d'hélice, aura un pas difîérent, suivant le rapport établi entre la vitesse avec laquelle l'arête mobile se déplace circulairement et la vitesse d'ascension du point mobile le long, de l'arête : de sorte que l'hélice ne se trouvera complètement définie, qu'autant qu'on assignera le rapport entre les deux vitesses.

31. — Toutefois, dans cet exemple encore, les notions de mouvement, de temps, de vitesse n'interviennent que d'une manière auxiliaire, pour faciliter la définition d'une figure que l'on pourrait à la rigueur définir autrement, et en vue d'étudier les propriétés purement géométriques que possède la figure ainsi définie : mais on peut aussi, à l'inverse, appliquer

les notions que la géométrie nous donne, à la théorie du mouvement considéré en lui-même et pour lui-même. Ainsi, en continuant le même exemple, supposons qu'on ait enroulé un papier sur un tambour cylindrique et qu'on y ait tracé l'hélice Y dont il était question

■' tout à l'heure, puis, qu'on vienneà dérouler le papier et à l'étendre sur un plan : l'hélice deviendra une ligne droite OC, formant la diagonale d'un parallélogramme OAGB, -X dont l'un des côtés OA est égal en longueur à la circonférence du cylindre, et l'autre côté AG est égal au pas de l'hélice, ou à la hauteur dont monte le point mobile le long de l'arête, tandis que l'arête fait le tour entier du cylindre. Il serait bizarre de considérer tous ces mouvements, uniquement pour arriver à la définition d'une ligne droite, telle que OC: mais la figure tracée servira au contraire à établir un principe très important dans la théorie du mouvement si l'on suppose que, non plus en tournant comme tout à l'heure, mais sans sortir du plan de la figure, une règle OY se déplace parallèlement à elle-même, d'un mouvement uniforme, dans le sens OX, de manière à se transporter de OB en AC en une seconde, tandis qu'un point mobile, placé originairement en 0, se meut sur cette règle, d'un mouvement uniforme, le long de la rainure rectiligne OY, de manière à décrire dans une seconde l'espace OB ; car il résulte alors des premières notions de la géométrie, et pour ainsi dire de la seule intuition, que le point mobile décrira sur le plan, d'un mouvement uniforme, la diagonale OC du parallélogramme, et se trouvera en C au bout d'une seconde. Cette règle si simple que nous avions, besoin d'énoncer, et sur laquelle repose, on peut le dire, toute la théorie du mouvement, se nomme la règle du parallélogramme des vitesses.

Au reste, s'il est tout à fait contraire à l'ordre logique des idées, de définir une hgne droite au moyen de l'héhce, il peut très bien se faire qu'en raison de la facilité qu'on a d'imprimer à un cyhndre un mouvement de rotation calculé, uniforme,

DE LA CINÉMATIQUE. 37

rapide et continu, le moyen le plus commode, le plus expéditif ou le plus exact de tracer des lignes droites sur le papier, par un procédé en grand et pour ainsi dire manufacturier, soit de tracer d'abord des hélices, et d'employer pour cela une combinaison de mouvement circulaire et de mouvement rectiligne. Ainsi, une feuille ou des feuilles de papier seront progressivement enroulées sur un tambour cylindrique, le long duquel cheminera un crayon dont le mouvement rectiligne et uniforme sera réglé, ainsi que le mouvement uniforme de rotation du tambour, de manière à tracer une hélice qui deviendra, après le déroulement du papier, une ligne droite ayant l'orientation voulue.

32. — Pour tirer pareille conséquence de la disposition d'un tel mécanisme, il n'est point nécessaire de se rendre compte de la nature des forces qui mettent l'appareil en jeu, qui font tourner le tambour ou marcher le crayon : il suffit d'admettre qu'on a établi entre les deux mouvements un rapport convenable. De même il faut que l'engrenage des roues et des pignons qui conduisent les deux aiguilles d'une montre soit établi d'après certains rapports mathématiques, pour que l'aiguille des minutes fasse douze fois le tour du cadran pendant que l'aiguille des heures ne fait qu'un seul tour ; et ces rapports ainsi établis entre les pièces de l'engrenage, la relation entre les mouvements subsistera, quelle que soit la cause physique qui mette l'appareil en mouvement : la traction d'un poids, l'élasticité d'un ressort ou le doigt de l'horloger. Il y a toute une classe de machines ou d'engins mécaniques, ceux que les praticiens ont nommés des machines-outils (tels qu'une montre, tels que notre machine d régler) dont nous étudions la disposition et le jeu, en vue seulement de la manière dont les mouvements des diverses pièces s'agencent et se transforment pour produire l'eiïet désiré, et abstraction faite de la nature du moteur et de la dépense de forces que la machine exige pour fonctionner. Ce qui fait la perfection d'une machine de ce genre, d'un chronomètre par exemple ou d'un métier à la Jacquart, ne ressemble en rien à ce qui fait la perfection d'une machine à vapeur ou d'une pompe, lesquelles sont construites pour recueillir et dépenser avec le plus d'économie, en efforts mécaniques et en résistances surmontées, les forces naturelles mises à notre disposition.

33, — Il ne s'agit point pour nous de telles applications pratiques, mais de l'ordre suivant lequel nos idées et nos théories s'enchaînent. Il suffit que le lecteur comprenne l'insertion dans le tableau général de nos sciences, d'une science qui se place entre la géométrie et la mécanique proprement dite; qui possède comme la géométrie tous les caractères d'une science abstraite et purement rationnelle, n'ayant rien à emprunter à l'expérience au sujet de la constitution des corps et des modes physiques de réalisation du mouvement, et qui, d'un autre côté, se rattache à la mécanique, en ce qu'elle a pour objet les propriétés nécessaires du mouvement, celles qui ne sauraient dépendre de la nature des causes motrices. Or, cette science intermédiaire, dont il est de la plus grande importance philosophique de bien fixer les caractères propres, vu qu'elle offre le meilleur exemple du passage d'un ordre d'idées à un autre, celui qui se prête le mieux à une analyse exacte ; cette science, disons-nous, manquait de nom jusqu'à ce qu'Ampère eût fait pour elle le mot nouveau de cinématique qu'on a aussitôt adopté, tant la distinction qu'il exprimait était frappante et propre à mettre de l'ordre là où régnait auparavant une grande confusion d'idées. Il ne s'agit pas seulement de la clarté de l'exposé didactique : on comprend combien la philosophie des sciences est intéressée à ce que l'on n'ait recours à une idée nouvelle ou à un postulat nouveau, qu'après s'être bien rendu compte de tout ce qui peut être légitimement tiré des idées précédemment employées, des postulats précédemment admis. Si l'idée de force, comme toutes les idées fondamentales et primitives, provoque inévitablement des controverses métaphysiques, il importe de bien voir jusqu'où l'esprit peut aller dans ses déductions, sans être tenu d'employer cette idée et d'aborder ces controverses.

34. — De même que la ligne droite et le cercle sont les éléments de la géométrie proprement dite, ainsi les mouvements rediligne et circulaire sont les éléments de la théorie géométrique du mouvement. L'un et l'autre peuvent être continus ou allernalifs, c'est-à-dire constamment dirigés dans le même sens, ou alternativement dirigés dans un sens et dans le sens contraire ; d'où la distinction de quatre mouvements élémentaires : reciiligne-ronlinn, reciUigne-allernalif, circulairecontinu, circulaire-alternatif , que nos machines simples et les

DE LA CINÉMATIQUE. 39

mécanismes les plus compliqués ont pour fonction de transmettre ou de transformer, selon le but que se propose l'mdustrie de l'homme. Cette première classification est la base de la cinématique industrielle, dont les développements doivent rester étrangers à un ouvrage du genre de celui-ci.

Le mouvement est dit uniforme, si le mobile décrit toujours, dans des temps égaux, des espaces égaux, si petits que l'on «suppose les temps et les espaces correspondants. La vitesse du mouvement deviendra double, triple, quadruple, si le mobile décrit dans le même temps des espaces doubles, triples, quadruples. La notion de la vitesse est donc celle d'un rapport entre l'espace parcouru et le temps employé à le parcourir. On se conforme dans le langage ordinaire à cette notion commune, quand on dit que tel mouvement a lieu avec une vitesse de tant de mètres ou de kilomètres, par heure, par minute,

par seconde.

admettons pour un moment (quoique cela soit peu conforme aux indications de la physique actuelle) que la vitesse d'un mobile puisse changer brusquement de valeur à certaines époques, en restant constante dans l'intervalle de temps qui répare deux époques consécutives : on n'aura encore qu'une succession de mouvements uniformes, et non un mouvement varié dans le propre sens du mot. On doit entendre par mouvement varié celui dans lequel la vitesse change sans cesse, le mouvement s'accélérant ou se ralentissant à chaque instant d'une manière continue. Un exemple très sensible d'accélération continue dans le mouvement nous est fourni par le phénomène de la chute des corps pesants. Tout le monde a le sentiment (c'est-à-dire une idée restée vague faute de définition précise) d'une vitesse qui change ainsi sans cesse avec continuité : mais, quelle est alors la définition mathématique ou la mesure de la vitesse du mobile en chaque instant? Supposons que le mobile parte du repos pour prendre un mouvement qui va en s'accélérant sans cesse, et qu'au bout d'une seconde il ait décrit un espace de cinq mètres : il est clair qu'il a eu d'abord une vitesse moindre et ensuite une vitesse plus grande que celle de cinq mètres par seconde. Cette vitesse de cinq mètres par seconde n'est qu'une moyenne entre toutes les valeurs, en nombre infini, que la vitesse a prises dans 1 intervalle d'une seconde. Partageons cet intervalle en dixièmes de

seconde, pendant chacun desquels la vitesse a dû varier beaucoup moins. Il y a eu, je le suppose, un de ces nouveaux intervalles pendant lequel le mobile a parcouru trois décimètres, et l'on commettrait une erreur beaucoup moindre en admettant que la vitesse n'a pas sensiblement varié durant cet intervalle ; qu'ainsi, pendant ce dixième de seconde, elle était de trois décimètres par dixième de seconde, ou de trois mètres par seconde. Pour atténuer indéfiniment l'erreur commise, il n'y aura donc qu'à partager l'intervalle d'une seconde, non plus en dixièmes, mais en centièmes, en millièmes de seconde, et ainsi de suite. Les mathématiques offrent des procédés pour cela, et pour atteindre directement, dans une foule de cas susceptibles d'une définition mathématique, la limite vers laquelle on tend par l'atténuation indéfinie des erreurs commises. C'est ce que nous rappellerons dans l'un des chapitres qui doivent suivre, en indiquant l'idée-mère du calcul infinitésimal.

35. — Gomme deux portions quelconques de ligne droite de même longueur, ou deux arcs quelconques de même longueur, pris sur des cercles de rayons égaux, sont des lignes qui coïncideraient parfaitement si on les superposait l'une à l'autre (ce qu'on peut exprimer en disant que la Ugne droite et le cercle ont un cours parfaitement uniforme), il s'ensuit que la notion de l'uniformité du mouvement s'applique au mouvement circulaire aussi bien qu'au mouvement rectiligne, au mouvement de rotation aussi bien qu'au mouvement de translation en hgne droite. D'ailleurs, il n'y a pas d'autre ligne que la ligne droite et le cercle, dont le cours soit uniforme dans le sens qui vient d'être expliqué ; et par conséquent la notion de l'uniformité ne s'applique qu'aux mouvements rectiligne et circulaire, et s'applique de la même manière à ces deux genres de mouvements, du moins tant qu'on ne sort pas d'une théorie purement géométrique du mouvement. Plus tard seulement la physique nous enseignera qu'il y a, quand on tient compte de la nature des forces motrices et des propriétés de la matière, une différence essentielle entre les conditions du mouvement rectiligne uniforme, et celles du mouvement circulaire, pareillement uniforme.

36. — Un même mobile peut être affecte à la fois de plusieurs mouvements distincts. Le passager va et vient sur le

DE LA CINÉMATIQUE. 41

paquebot où il s'est embarqué et en même temps il participe à tous les mouvements du paquebot, à son mouvement progressif dont le sillage conserve la trace, à ses mouvements de roulis et de tangage. A son tour le paquebot, et par conséquent le passager, participent au mouvement de rotation de la terre, à son mouvement elliptique autour du soleil. Enfin la terre, et par conséquent le paquebot et le passager, participent aux mouvements qui entraînent le soleil et tout le système solaire dans les espaces célestes. Rien ne limite nécessairement, ni dans un sens, ni dans l'autre, cette série de mouvements subordonnés les uns aux autres : car le passager qui va et vient sur le paquebot est un être organisé dans la structure duquel on distingue des parties solides et liquides qui ont aussi leurs mouvements propres, en même temps qu'elles participent aux mouvements communs à l'être organisé, pris dans son ensemble.

Lorsque les divers mouvements dont un mobile est animé sont tous dirigés suivant la même ligne droite, on voit immédiatement qu'ils s'ajoutentl'un à l'autre ou qu'ils se retranchent l'un de l'autre, selon qu'ils sont de même sens ou de sens directement contraires. Par exemple, si un bateau chemine d'une vitesse uniforme le long d'un canal en ligne droite, et qu'un passager chemine, aussi d'une vitesse uniforme, sur le pont et dans l'axe du bateau, comme aussi dans le sens suivant lequel le bateau s'avance, il est clair qu'en prenant ses points de repère dans la ligne d'arbres qui bordent le canal, le mouvement absolu du passager sera encore un mouvement rectiligne et uniforme, dont la vitesse sera égale à la somme des deux vitesses, l'une qui est propre au passager, ou qui est sa vitesse relative au corps du bateau, l'autre qui lui est commune avec le système formé du corps du bateau et de tous les objets que le bateau porte. Au lieu d'une somme, on aurait une différence, si les deux mouvements étaient dirigés en des sens diamétralement opposés.

On comprend sans plus de difficulté comment des mouvements circulaires, autour d'un même axe de rotation, peuvent s'ajouter les uns aux autres ou se retrancher les uns des autres. Ainsi, un voyageur qui chemine le long d'un cercle de latitude, tourne en réalité autour de l'axe de la terre, tandis qu'il participe au mouvement commun de rotation de tous les

objets terrestres autour de ce même axe ; et ces deux mouvements s'ajoutent ou se retranchent, selon que le voyageur décrit le cercle de latitude en cheminant de l'occident à l'orient ou de l'orient à l'occident. Dès lors il y a lieu de distinguer, pour les mouvements de rotation comme pour les mouvements rectihgnes, des mouvements absolus et des mouvements relatifs, des mouvements propres et des mouvements communs ou d' entraînement.

37. — La distinction des mouvements absolus et des mouvement relatifs se présente, non seulement à propos de la coexistence, dans un même mobile, d'un mouvement propre et d'un mouvement d'entraînement, mais encore à propos de plusieurs mobiles dont les mouvements sont indépendants les uns des autres. Tel est le cas pour plusieurs trains qui cheminent sur les rails parallèles d'une même voie ferrée, et qui viennent à passer en présence les uns des autres. La vitesse avec laquelle semble fuir le train n^ 2, observé du train no 1, n'est pas sa vitesse absolue, mais sa vitesse relative, laquelle est la différence des vitesses absolues des deux trains, si tous deu.x vont dans le même sens, et au contraire la somme de ces mêmes vitesses, au cas qu'elles soient dirigées, l'une dans un sens, l'autre en sens contraire.

38. — Que s'il s'agit du mouvement absolu d'un mobile, animé à la fois de deux mouvements rectilignes uniformes, qui n'ont pas la même direction ou la même orientation dans l'espace, ce sera le cas d'appliquer la règle du parallélogramme des vitesses que nous avons déjà fait connaître (31).

Ainsi, le point mobile m, auquel

g/ -;r^ ^^ imprime ou communique

y y^f ^ simultanément, n'importe pa:-

/ y^ / quel moyen, deux mouvements

/Y y^ / rectilignes uniformes, l'un dirigé

/ y^ / dans le sens mA, l'autre dans le

/y^ / sens mB, et dont les vitesses

jj^ -,- -^ sont en raison des longueurs

/nA, mB, décrit par suite la ligne mC qui est la diagonale du parallélogramme mACB ; et le rapport entre cette v'iie&Be résultante et chacune des deux vitesses composantes est le même que le rapport entre la longueur de la diagonale et celle du côté correspondant du parallélogramme.

DE LA CINÉMATIQUE. 43

Dans les applications à faire de cette règle, tantôt les mouvements //lA, mB seront donnés, et il s'agira de déterminer le mouvement mC que doit prendre le mobile : c'est ce qu'on appelle la composition des mouvements ; tantôt à l'inverse le mouvement résultant mC est déterminé, et il s'agit de savoir par quelle combinaison de mouvements composants on peut le produire, ce qui s'appelle la décomposition des mouvements. La solution du premier problème est unique et déterminée ; le second comporte évidemment, à la grande commodité des mécaniciens, une infinité de solutions différentes, puisque l'on peut construire une infinité de parallélogrammes qui aient pour diagonale commune la ligne mC.

Ajoutons que la règle pour la composition de deux mouvements s'étend sans difficulté à la composition d'un nombre quelconque de mouvements concourants. Ajoutons encore que les mouvements circulaires ou de rotation se composent et se décomposent d'après une règle tout à fait analogue à celle qui vient d'être indiquée pour la composition et la décomposition des mouvements rectilignes. La théorie géométrique du mouvement n'ofïre rien de plus curieux ni de plus important que cette analogie, qu'il serait d'ailleurs inutile de développer ici.

39. — Si l'on considère un point mobile, animé de plusieurs vitesses, propres ou d'entraînement, il y aura à remarquer un cas singulier, celui où toutes ses vitesses se compenseraient : de manière que la vitesse résultante fût nulle et que le mobile restât en repos dans l'espace absolu, ou par rapport aux points de repère que l'on regarde comme absolument fixes. C'est ce qui arriverait, par exemple, à un mobile posé sur une sphère dont il partagerait le mouvement de rotation uniforme, et qui en même temps parcourrait un petit cercle de cette sphère, dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation, de manière à avoir une vitesse propre précisément égale et de sens opposé à celle qu'il prend en vertu du mouvement commun. L'égalité des deux mouvements de la lune, celui de rotation sur elle-même et celui de circulation autour de la terre, égalité en vertu de laquelle elle nous présente toujours le même hémisphère et nous dérobe l'autre, peut donner l'idée d'une pareille coïncidence (toute singulière qu'elle est) dans l'ordre des phénomènes naturels.

40. — D'ailleurs ce cas singuHer donne la clef de la solution

de tous les problèmes que l'on peut se proposer sur la composition des mouvements dans le cas le plus général. Car, quel que soit le mouvement résultant que le mobile doit prendre, par la combinaison ou la composition de tous les mouvements qui lui sont effectivement imprimés, au nombre de cinq par exemple, il est clair que le moyen de le réduire au repos dans l'espace absolu serait de lui imprimer en outre un sixième mouvement, précisément égal et contraire à celui que les cinq autres mouvements lui font prendre. Mais par supposition, nous connaissons les relations mathématiques qui doivent subsister entre les six mouvements pour qu'ils se détruisent les uns les autres ; et comme les cinq premiers mouvements nous sont donnés, nous tirons de ces relations le moyen de calculer, en intensité et en direction, le sixième mouvement. Il n'y a donc plus qu'à renverser la direction, tout en gardant la même intensité, pour déterminer le mouvement résultant, produit par la combinaison des cinq mouvements donnés. Nous ne tarderons pas à voir, dans le second chapitre du livre suivant, les très curieuses conséquences, mathématiques et philosophiques, qu'on peut tirer de cette remarque.