A = RE

lÆ qui donne pour l'épaisseur ilc la voûte

Telle est la eondilion pour que la courbe des pressions soit un cercle du rajon 11. On voit à priuri que celle courlie ne peu! avoir de iangente verticale à la naissance qu'aulaiit que le poids de celle parlic de voûte est inliiii. Ainsi donc, quand un plein cintre est c.vtradossé paralléleraenl , la courlie de pression ne peut pas passer par le milieu des joints, car elle serait elle-même un plein cintre. Il en est de même d'un arc quelconque, puisipie |M)ur un arc la valeur de c’est-à-dire, l’épaisseur de la voûte, doit varier suivant réquation ci-dessus. Donc pour que la courbe de pre.ssion fût un are de cercle se tenant à une distance déterminée de l’intrados, il faudrait donner à lu voûte une épais.scur ou plutôt un poids variable allant en augmentant du somniet à la naissance, dans des proportions tout à fait inadmissibles dans la pratiipie, ainsi que l’indique la fy. 2;i.

Les eonsidtiralions qui précédent nous paiaissent fournir les moyens de déterminer la courbe de pression pour une voûte donnée et la voûte qui eorresiiond à une courbe de pression, dans rby potliése où celte courlie est obligée de passer par deux points fixes, l’un à la clef et l’autre a la naissiuice. Or, il n’en est pas ordinairement ainsi; un profd de voûte étant donné, rien n’indique à priori la situation des deux (loints dont nous venons de parler. La question ipii se présente est celle de savoir si ces deux points peuvent être déterminés, ou si l’on peut les (irendre

CHAI’. III. — DE LA STADIUTE DES VOETES EX M.CÇOXNERIE. 51

arbilrairemc’iit ; c'est la plus délicate de toutes celles (pie présente le problème de l'éifuilibre de.s voûtes.

(juand une voûte est exécutée avec un certain système de joints, il est clair ijuc sur chacun de ces joints la résultante des pressions qui agissent sur toute la surface passe par un point déterminé. Il n’y a donc qu’une courbe de pression qui se réalise, cl il serait évidemment à désirer qu’elle pût être calculée o priori.

C’est là un problème que les ingénieurs qui se sont le plus récemment occupés de la Ibéorie des voûtes regardent comme complètement indéterminé. ,M. Méry, parlant des diverses courbes de pression possibles, dit que ce n’est que p>ar des considérations plus ou moins incertaines sur les effets du ta.ssement que l’on pourrait prévoir celle ((ui doit se réaliser. Nous n’insisterons pas ici sur ce ipi’il y a d’inconséipient, d’une part, à regarder le problème comme complètement indélermim; et de l'autre, à considérer comme donnés un [«)int à la clef et un point à la naissance. C’est dans le chapitre V que nous ferons l'examen critique des théories actuelles ; dans celui-ci et dans le suivant, nous nous liornerons à exposer la notre.

Il est vrai, comme le dit .M. .Mérj’, que ce n’est que par des consitlcrations sur le tassement (|u’on peut se rendre compte et qu’on peut chercher à déterminer (pielle est la courlie de pression qui se réalisera; mais nous allons voir que dans le mouvement qui se produit au décintremenf, il y a ipielquc chose de certain, de fixe (|ui ne dépend que du profil de la voûte, puis quelque chose d’incertain qui dépend de la nature des matériaux et du mode de construction; de sorte que si le pndilème reste indéterminé, il ne l’est plus que dans des limites tellement étroites ipi’il n’y aurait guère d’intérêt |)our la pratiipic à les resserrer davantage.

Imaginons donc que la voûte de la fig. 26 vient d’être décintrée et que la demi-voûte est abandonnée à elle-même pendant un instant très-court et cherchons (|uel est le mouvement qui va se produire. Remarquons d’alsird qu’à l’origine du mouvement, il n’y a à la clef aucune poussée horizontale et qu’à ce moment on peut considérer chaque demi-voûte comme un massif i.solé abandonné à lui-même. .\ppli(|uant donc ici les théories qui terminent

«O r.HAP. III. — l»E LA STAim.lTË DES VOITES EN MAÇuNNERIE.

le cliapitre précèdent, nous Iracerons d'alKinl la eoiirlM! des pressions slali(|ues II’l’Z qui se trouve ici tout entière extérieure au massif. Celte courlHî est donnée j>ar la rencontre de la vertiirale pas.sant par le centre de gravité de la partie de voûte supérieure au joint con.sidéré avec ce joint, puisipril n'y a pas de poussée extérieure; elle vient, pur eonsi'qnenl, percer le joint de la base du massif à ra|ilomb du centre de gravite K de tout ce massif. Le tracé de cette courbe n'a d'autre but que de nous indiquer le point autour diujuel la voûte va tourner et on voit immédiatement cpie ce sera le point D.

On pourrait vérifier ce résultat ou y arriver directement en cherchant sur

l'intrados le point pour lequel la quantité — — — est un maximum (p,

poids d'une partie de voûte depuis la clef jns4]ii'à un joint, (x — *'), distance du centre de gravité de ce massif à l'aréte de ce joint, y, hauteur du massif au-dessus du joint^.

Le joint de rotation étant déterminé, nous savons dans quel .sens va se mouvoir la voûte et nous pouvons décrire avec un arc de cercle la trajectoire de chacun de ses points, .\insi, le joint Ail de la clef se trouve poussé par une force capable de lui faire prendre la position .A '11' dans im temps très court rfl. De la comparaison de ces deux positions, fy. 2(i 6is, on déduirait facilement la position de la résultanle, car les lignes comprises entre les deax positions ^VIl et A'B' peuvent être considérées comme prff-

portionnelles à la quantité^ pour chaque point du joint; il n’y aurait

donc qu'à chercher le centre de gravité du trapèze A.A'Il'Il; c'est un calcul que nous ferons plus loin. Pour le moment, nous suppo.serons que le centre de la poussée dynami(ine se trouve en d, un peu au-dessus du milieu du joint. Les p<jints rf et D étant connus, déterminent eux-mêmes la courbe de jiression dynamiijne dDR qui se produit dans le massif au moment du décintrement. Pour avoir une idée suffisante de son tracé, indiquons la courbe statique correspondante à la valeur de 0 qui produit l'équilibre par rapjiort au point de rotation D. Nous aurons ainsi deux

CHAI’. III. — DE I.A SÏAUll.irE DES VOITES EN H.VÇii.NNF.IIIE.

courbes sialiques, l'une correspondant à (.1=0 et l'aulre à Q=

Il ’

en fwisaiit Kd = II. Or, nous avons démontré dans le chajiitre précédent que lu courbe dynamique (pii passe par le ptdnt I) est partout comprise entre les deux et <pie si, au joint Alt, on siqipose une force q crois.sanl depuis 0 ji^pi'à y, la courbe dynamique s’avancera vers la courbe statique avec laquelle elle linira par se confondre. Or, c’est précisément ce qui arrive au décinireinenl. .V mesure que les deux demi-voûtes s’appuient l’une contre l’autre, la poussée q se développe et se fait de [dus en [ilus sentir à la clef où elle était nulle; en elïet, (|uund q devient 1»,'^ n

é[,'al à — -, l’équilibre s’établit nécessairement, si le déciniremeni

s’est fait assez lentement pour qu’il n’y ait pas de vitesse ap[iréciab!e dans la voûte. Si le décintremeni avait lieu briisipiement, la force q dépasserait la valeur ipii convient à l’éipiilibre, la courbe statiiiue franchirait le point D, mais la courlie dynamique ne le franebirait |>as puisqu’elle ne peut sortir du massif. Cela tient à ce que les molétailes du massif, après avoir niaadié d’un mouvement accéléré vers 1a [aisition d'équilibre, s’eu éloigneraient par un momement retardé, ce (|ui clian-

dr

gérait le signe de Oans le chapitre précédent, nous avons fait

voir que dans la chute accélérée du massif, la poussée horizunlale de la partie su|)éricure était exprimée par

Dans le mouvement retardé, elle serait

Cette diminution de l’etTet de la poussée par suite du mouvement retarde a précisément pour ell'et de maintenir la courlje de pression

l'IlAP. III. — DE l..\ STABILITÉ DES VOUTES EN MALONNF.BIE.

ti

dynamique sur le point I), d’où il siiil que le joint (U) eontinue à s’ouvrir. Le seul résultat du déi'intremenl l>ru.-s|ue, c’est de porter la courbe de pre.ssion vers l’extrados où elle pourrait détenniner un nouveau p<iint de rotation et amener la rupture do la voûte; mais si celle-ci est suftisamment éjtaisse, il est évident qu’iine position d’équilibre momentané s’établira, lorsque le travail pro<luil par la l’hule de la voûte sera équivalent au travail de la com|>ressimi des

maçonneries; il y aura alors une détente île la compression a l’aide

de laquelle la voûte pourra remonter ; |>endant ce monvenient le joint til) tend à se fermer, mais il ne se fermera jamais coinpiélemeid, attendu que les matériaux s<int bien loin d’être d’une élasticité |mrfiiile.

1^ voûte ne reviendra donc [ms à la [Hisition ipi’elle avait avant le

décintrement, d’où il suit que l’amplitude des oscillatiotis ira en diminuant ci ijuc la voûte prendra trcs-rajdtienieni sa position d’e<|uilibre avec l’intensité de la force U calculée plus haut cl avec la courbe de [)rcssion slali(|ue qui en est la consé([uence. Il est donc [mmiis île faire abstraction des oscillations qui peuvent se [iriMluire après un decinlrement brusque; si 1a voûte y résiste, le résultat final est sensiblement le même.

Ainsi, quels que soient les mouvements qui s’opèrent pendant le décintremenl, la courbe des pressions passe toujours par le point l>, dit [loinl de rupture, et c’est là qu’elle passe encore quand l’équilibre s’établit.

Quoiipie la courbe statique ne soit, pendant le mouvement, qu’une construction Réomélrique [lurcment idéale, il n’est [las inutile de rechercher les variations de sa position a mesure que la poussée se dévelop[je à la clef. Ainsi , en donnant à celle force une intensité ipielconipic q, plus [lelite que celle qui [irodiiirait l’équilibre, on voit que la courlvc statique prend une posilioti telle que dar qui se rapproche du massif, mais qui lui est encore extérieure dans une assez grande étendue. (Jimi cpi’il en soit, cette courbe indiquerait mieux que celle donnée par l’hypothèse y=0 la position I) de l’arête de rotation; pour la déterminer, il sera donc préférable de donner à q une valeur arbitraire. Si l’on suppose que la valeur de q augmente |>rogres-

ni. - UE U STADIUTÉ DES VOIITES EN MA1..0NNEIUE.

sivement, la courbe dsr se rappruelie de plus en plus du massif, la partie qui lui est extérieure diminue, enlin pour la valeur de

la courbe .statiipie passe par le («tint I) et si l'on supjirise que la voûte soit de.«eendue à cette position lentement, il est clair qu'elle y restera ; mais s’il y a eu une chute brusipie, la voûte, en continuant son mouvement, augmentera la pous.sée et alors la courbe statique framdiira le point Ü et par cette position, elle indiquera encore qu’il n'y a pas équilibre. En effet, remarquons (jue le solide .supérieur au point I) n'a plus avec le solide inférieur que ce [Kiiiit de contact et que, quand la courbe de pression le dépasse, cela indique (jue la force y tend à renverser le corps en arricre ; à mesure que la poussée augmente, la courbe s’écarte du point Ü, en accusant une plus forte tendance à ce renver.semenl qui commence lorstpie la vitesse de lu voûte devient nulle; alors la poussée va eu diminuant, la courbe statique se rapproche du point U qu’elle peut atteindre et franchir en sens contraire. Il est facile de rei-onnuitre qu’aprcs une série d'oscillations dont le nombre et l’étendue dépendront de l’élasticité des matériaux, la courlie se fixera sm- la position qui jwisse par I), puisque l'équilibre u’est com|)utible qu’avec cette position.

Mous croyons que la démonstration qui précède ne laisse rien à désirer en ce ipii concerne l’exaclitiide du principe de la p«.isition du joint de rupture sur l’arête de l’intrados qui donne le maximum pour le moment du renversement de la voûte ; mais ce principe est tellement contraire à la Uiéorie admise aiijourd'lmi par les savants et les constructeurs que nous croyons devoir y ajouter quelques considérations tendantes à faire voir (|ue la position que lui assigne cette théorie inexacte n’est possible que dans des cas tout à fait exceptionnels. Lorsqu’on cherche les conditions d’équilibre d’une demi-voûte, on remarque qu’elles ne déterminent d'une manière précise ni l'intensité de la poussée, ni son point d’ajiplicatiun à la

aiAI*. III. — IlF. I..\ ST.\IIII.ITK IIES VOITKS EN M.\(.'ONNEIIIE

i;lef, (l'iiii il n'-sulle que l'éqiiililire e.<t eominilihle avee une inrulilé de eourbe.s de pressiun, en |(ré.fenee desijunlles on n’ose faire nueiin choix. Cependant, comme on le xerra plus loin, ou n’hésite pas à admettre qu’en remlant certaines cmirlies possibles, elles ne manqueront pas de se réaliser, ce qui est une inconséquence ; mais nous allons plus loin, nous ne nous bornons pas à dire ipie ces coiirlies ne sont pas probables, nous disons qu’elles sont impossibles, lixannnons, en elfet, les consi'apiences d'une courbe f/üt' éloignée partout de l'intrados; si nous la comparons à la courlie dont nous avons ilémoniré l’existence et i|iii pa.sse par le point II, nou.s reconnaîtrons qu’elle .suppose une plus grande poussée à la clef. < Ir, ipiel ipie soit le mode de deformation de la voûte, on est bien obligé d’admettre qu’avant le décinlremenl il n’y a pas de poussée et tpie, pendant cette opération, cette force pa.s.se par toutes les valeurs inferieures à celle qu’elle finit par aMeindre, d’où il suit ipi'avant d’arriver à l’intensité ipii résulte de la courbe intérieure de pression, elle a («issé par celle qui suffit à l’éipiilibre. Or, si le ilécintrement s’est opéré lentement, il est é*\idcnl que tout mouvement a dû ces.ser en ce moment et que la courbe n’a pu s’avancer dans rintéricur; que si le décintrenieni s’est opéré brii.srpiement, la poussée a pu dépas.ser celle limite sous l’influence de la vites.se acquise par la voûte, mais réagissant bientôt contre la voûte, elle a dû diminuer <rinlcnsité et, après quelipies o.scillalions, s’arrêter à la force ipii suffit à l’équilibre. La pous.s(*e n’est pas, en effet, une force quelconque, mais une réaction cpii ne peut déjiasser l’action. Sans doute, si l’on imagine qu’à la clef et au point d, on appliipie une force quelconque, l’éijuilibre de la voûte sera <'om[>atible avec des intensités de celle force comprises entre deux limites faciles à déterminer; mais celle intensité, dans une voûte, n’est pas i|iielcompie, elle n’est ipie l’efl’et de la réaction des deu.\ demivoûtes ipii tendent à tomlwr l’une contre l’autre. Demander quelle force il faut a|ipli(]uer au point d pmiir soutenir la demi-voûte, c’est un problème indi'lerminé ; mais demander quelle compression se produit au point d i;en- Ire de contact de deux demi-voûtes qui s’appuient l’une sur l’autre, c’e.st un problème tout dilfiirent et qui ne peut avoir qu’une solution.

CIIAP. III. - DE LA STABILiri! DES VOUTES EN >IAi.,ONNEKIE.

La siuliiiiie offre une l'oulc de problèmes de celle nature où les réactions ne fieiivenl se déterminer i|ii’en exuniinunt les circonstances qui ont précédé le mouvement ; citons-en un exemple. Un corps est |M)sé sur un plan d’une inclinaison suffisante pour qu’il puisse glLsser s’il n’était retenu jair un ta<|uet {fig. i7). On demande sa pression sur ce taquet. Soient

I, l’inclinaison du plan, f, le coefficient de frottement,

P, le poids du corps,

7 , la poussée du taipiel.

Il est évident que le corps ne pourra descendre si on a 7 = P sin » — /P cos i et qu’il ne pourra remonter si on a

7 = P siii I ■+• /■p cos «;

de sorte que le problème, considéré d’une manière abstraite, est indéterminé et que l'intensité de 7 est comprise entre les deux valeurs données par les équations précédentes. Ainsi, pour fixer les idées, [Misons

sini =:0,C«, cos 1=0,80,/’= 0,10, P = tOO,

les limites des valeurs de 7 seront îî 2 kil. et 08 kil., l’équilibre est compatible avec toutes les valeurs de 7 comprises entre ces deux chiffres, et il est impossible avec les seules données précédentes d’aller plus loin; mais si on nous fait connaître que le corfis P a été simplement posé contre le taquet, ou que l'un et l'autre descendaient le long dn [dan, au moment où on a fixé le taquet, il est évident que la |Hiu.s.sée ipii se [irndiiit alors est kil., c’est la seule qui puisse spontanément se produire par le mouvement virtuel du corps P. Si, au contraire, on suppose que le taquet, en remontant le corps le long du plan, s’est peu à peu arrêté, la pression sera

OIAP. III. — DE I.A STAHII.ITE DES VOl TES E.N MAÇONNERIE.

(le 08 kil. ; c'est alors le taiiiiet (|ui {wiisse le corps. Ainsi, en cxaminanl les circonstances tpii pniciAlenl ré(|uilit)rc, on fait disparaître rind(>lerminaliun <pii ne résulte jamais que de donné'cs incomplètes. C'esl ainsi qu'on a agi jusqu'à j)résenl pour r(Npnlihrc des voûtes; on en a cherché les conditions d'une manière alistruite, et on a trouvé qu'il était compatihie avec des forces diverses, sans se pn'‘<H'cu|M;r si ces forces pouvaient se produire spontanément au moyen des réactions des parties de 1a voûte. L'n des plus graves inconvénients de celle indétermination c'est qu'il n’idail même pas ^Missililede reconnaître, à priori, si une voûte d'une forme donm*c [louvait se maintenir en ('•quilibre. l-n elTet, dès (pi’on admellail ipie rintcnsite de la |Miii.ssée pouvait être qiiel<'nn<|uc, il n’y avait |ias de motif de supposer qu’c'lle se maintiendrait dans les limites compatibles avec l’é(|uilibre. Si la eoiirlie (/I.H' est possible, la courbe dL'It'' ne l'est pas moins et celle-ci pmdiiirail le renversement de la voûte. Dans cette théorie, la coiirlie des pressions contient doux constantes .arbitraires, de manière ipie jsiiir la tracer, il faut se donner ou le faiinl d’afiplication de la poussi’c cl rinlensile de celle force mi deux données éspiivalontes, deux |Miinls de la cmirlie, par exemple. C’est même avec ces dernières données (pi 'on trace ordinairement la courlw des pressions qui, à cause de la grande indétermination de son tracé, ne peut guère fournir d'ulili?s indications pour la pratii|ue. On voit ipie la théorie que nous avons exjxisi'e fait dis(iarailje la plus grande |iarlie de cette indélerminnlion en fixant sur l'intrados et à une position toujours fiicilcment calculable, comme on le verra plus tard, un de ces points. Nous y sommes parvenu en nous rendant compte du mouvement i|ui s’opère au décintrement; la courbe des pressions reste encore indélermim*e, il est vrai, mais d’une part, cette indék‘rminalion n’inléresse plus guère la pratique, comme on le verra plus loin, et de l’autre, elle est inévitable.

Il est évident, en efl'et, que le mode et les vices de conslniclion de la voûte doivent avoir une influence dans la détermination de cette courbe et toute théorie qui ne leur laisserait pas une place serait par cela même erronée; or, par leur nature, quelques-unes de ces circonsl)inces échap- [icnt h Imite prévision et à tout calcul. Cependant nous allons faire voir

CIlAK III. — IIK I.A STAIIII.mi UKS VOUTES EN MAÇONNERIE, S7

qu'en suiqxisanl la voûte construite avec des soins onlinaire.s, on [teut déterminer sinon le |ioint même d’application de la poussfie sur la clef, du moins la région dans laquelle il se trouve suivant les différenles espèces de voûtes, parce que s'il y a dans la voûte des déformations accidentelles, il y en a d'autres qui sont inévitables, mais qui, résultant de la nature des matériaux et du mode de leur assemblage, peuvent être prévues. Ivxuminons donc ces déformations et cherebons à en apprécier les cons«N|ucn<'es.

l!ii léger tassement vertical du [siint 1) est évidemment sans aucun résultat sur l’éipiilibre do la voûte qui ne fait ipie desv'endre parallèlement à elle-même; mais un reculemcnt horizontal de ce même {(oint [leut modilier sensiblement les conditions d’équilibre, car ce reculement aura |H)ur elTel de diminuer la pression au fwiint H de la clef et de rnugmenter en .V. < ln conq>rend, en efl'et, tpie le reculement puisse être tel que la pression devienne nulle en H, auquel cas la résultante de la poussée monterait an.v deux tieis de la clef; enfin un reculement plus considérable peut limiter le contact au sr)mmet de la clef, où il se maintiendra jiusqu’au renversement des culées, .\insi, on voit (jue l'écartement de.s culées a pour effet de faire monter le point d'application de la poussée vers le sommet de la clef. Or, cet effet se manifeste toujours un peu, même dans les voûtes les mieux construites. Les corps ne résistent que parce qu’ils fléchissent; la voûte f>oussant le point D à l’extérieur, celui-ci ne [>eut contre-balanc-er celte poussée ipi’en reculant un peu, mais la quantité dont il reculera n’est pas évidemment accessible au calcul. Ouoi tpi’il en soit, on voit que plus ce mouvement de recul est considérable, plus le joint Cl) doit s’ouvrir. Il est donc très-important pour la solidité de la voûte que la partie qui se trouve au-dessous de la charnière soit d’une solidité suffisante (Mvur ne reculer que le moins po.ssible,

Au-siessus de la charnière, les imperfections de 1a construction pourraient modifier aussi le tracé de la courbe des pressions en établissant des points de [«.ssage obligés. L’n gros grain de sable très-dur placé dans un joint et portant sur les faces des voussoirs sans intermédiaire de mortier

et UUI- III. — UE U STAllILITE UES Vol'TF-.S EN MAtO.NNEIIIE.

pourrai! conitMitrcr la pression uuloiir de ce point et y faire pas,ser la c-mirlie de pression, une mauvaise taille de joinis de voussoirs contiftus les faisant porter sur deux bosses aurait le même résultat. A la elef, des voiissüirs trop démaigris en ijucuc ou avec de grands joints feraient baisser le point d'applii'ation de la jKUissée, un défaut contraire la ferait remonter; mais il faut bien le dire, ces accidents sont très-rares dans une voûte con.siruile avec les soins les plus ordinaires. qui pourra se rencontrer plus souvent, ce sont des joints nombreux, épais et dont le mortier n'aura pas eniiire suflisammeni durci, d'où résultera un tas.sement de la voûte; mais cette im|)crfection i|ui [wut amener un abaissement de la clef, ne peut déplacer la position de la courbe des pressions dans le massif, comme on va le voir tout A l'Iietire. lin général, le seul mouvement accidentel qui puisse modilier la courbe des pressions et dont il soit impossible de prévoir rimporlaiice, se réduit à l'écartement des joints de nqiture. En fai'sant abstrai'tion de ce iiioiiveiiient, il est facile de calculer u|ipruxiniativemenl le point d'applii'ation de la poussée sur la clef.

En effet, de ce «pie la voûte tourne autour du p<jint D, il s'ensuit que les jKÛnts A et H lie la clef sont inégalement comprimés, car leur compression est évidemment proportionnelle aux espaces horizontaux ipie parcourraient ces points s'ils étaient libres.

Appelons r, la distance DU,

II, la di.stance D.A, f, la flèche HE,

«, l’épaifseur à la clef AB, a, l’angle BUE, fi, l'angle .VUE.

Dans la rotation de la voûte autour de D, les angles a et p diminueraient d'une quantité égale si la demi-voûte ne rencontrait pas d'obstacle, la ligne .VU se transportant en A'ii' (fig. 20 ùis). Or, l’effet de l’obstacle étant de maintenir AB dans la verticale, il s’ensuit que la compression

tllAP. III. — DE LA STABILITE DES VOUTES EN MAÇOSNKItlË. 69

horizonlalc en chaque jioiiit est iiroportionnellc aax diminutions des jirojeetions horizontales des rayons menés du |ioint D à ehaeim des points du joint de la clef.

La projection du rayon K est

R cos P ;

si P diminue de rf(ï, la projection augmentera de

R sin ^ |3 ; or

R sin /■ -|- e,

donc la compression en A est proportionnelle à

en B, elle serait évidemment, d'après le même calcul, proportionnelle à

donc les compressions en A et U srjnt entre elles (ximme

il en résulte que le point d n’est pas au milieu de AB et se rapproche du point A. Nous avons établi plus haut que lorsque, aux extrémités d'un joint, les pressions étaient P et on avait entre ces pressions, l’épaisseur du joint et la distance de la résultante à l’arête où la pression est p„, la relation

Si on remplace dans celte éipiation — par l__ ^ on en déduira

CIIAP. Ml — DK LA STAIIlUTÉ DES VOUTES ES MAi.ONSEtlIE

on voit que c est toujours plus graïul que e ; si /'=0, ce qui est le eas d’une plate-bande, on aura

Si f n’est pas nul, c sera eonqiris entre deux tiers et un demi. Il résulle done de ce calcul (|ue la résultante passe nécessairement plus haut ipie le milieu <le la clef; mais il suppose que le point U est li.\c et invariable, et il n’en peut être ainsi, t^omme nous l’avons fait remanjuer plus haut, il faut né-cessai rement qu’il se déplace horizontalemeul d’une certaine quantitié C-e recul a évidemment pour ell'et de diminuer la pression en H et par conséquent de faire remonter le [sunt d; si la [iression en H devient nulle, et il suHit pour que cela arrive que le point l» recule de fda., c’est-à-dire, d’une quantité d’autant plus petite <pie dï sera jdus petit, on aura

Si le point D recule davantage, le point d se rajqirochera de plus en plus du point sans pouvoir l’atlcirKlrc si l’équilibre s’établit, car il n’est pas admissible qu’une force agisse sur une surface nulle, puisrpie alors la pression serait infinie; la flexion des parties comprimées donne nécessairement au contact une certaine étendue, d’où il suit que la résultante qui se trouve au tiers de l’étendue du contact, quand il ne s’étend pas à tout le joint, ne peut pa.sser à son extrémité. Quant à cette étendue de contact, il n’est pas pos-sible de la calculer, car elle dépend de la compressibilité de la matière. Cette observation s’applique au fioini I); quand nous avons dit que la résultante jiassait par ce jioint, nous avons supposé le corjis incompressible ou peu compressible, .\insi des voussoirs de fer

cn.\r III. — DK LA STVBILITK DE.S VOLTES EN MAÇONNERIE. 71

OU de fonte donneraient à peu près ee résultat, mais de la pierre et surtout du mortier fléchiront, une surface de contact se formera, et la résultante se trouvera au tiers de son étendue à partir du point f). Nous reviendrons tout à l'heure sur ce sujet.

(.tuoi qu’il en soit, on voit (|ue la eourlie des pressions passe nécessairement très-près du point de rupture et au-tlessus du milieu du joint de la clef où elle remonte d'autant plus vers re.i[trado8 que la culée résiste moins au mouvement de recul. Si donc le point D est à peu près invariable, ce qui aurait lieu, par exemple, pour une pile placée entre deux voûtes symétriques et couronnée par une pierre de taille, la courbe des pressions passera, à la clef, à une distance de l’intrados légèrement plus grande que

e{Zf+ 2c).

mais s’il s’agit d’une culée peu résistante, si les mortiers sont encore frais, le point D reculera sensiblement, alors le sommet de la courbe de pression montera dans la clef et le joint s’ouvrira en B.

On voit ici le rôle que joue le soin de la construction ; on peut empêcher la courbe de pression de s’élever à la clef vers l'extrados, mais on ne peut pas l’emptècher de s’approcher de l'intrados au joint de rupture. Ouelles que soient la précision de la taille et la résistance de la culée, le joint IXi doit s’ouvrir à l’extrados et la résultante pas.se d’autant plus près du point I) que les matériaux de la voûte sont jtlus résistants^

Sans doute le contact au joint de rupture ne peut êti-e réduit à tm point mathématicpie et la compression des matériaux convertira ce point en une petite surface; mais le calcul de son étendue appartient à un autre ordre de questions que celle de l’équilibre des voûtes. De quoi s’agit-il, eu cITel? De savoir de combien une pierre, qui repose sur une couche de mortier par son angle, pénètre dans ce mortier en se comprimant ellemême. Imaginons que le s<jlidc A B C D {fig. 28), qui reposait sur le solide FUIE par l’intermédiaire d’une couche de mortier D C E F, tourne

7i CHAP III. — DE UA STABILITE DBS VOUTES E.N MAi ONSERIE

sur l’arèlc I), de manifre que le joint EKi vienne s’indiner en IKi'. Il conserverait celte position si la charnière U, ainsi i|ue son snpimrt, étalent incompressibles; mais s’il n’en est jjas ainsi* comme cela arrive toujours dans les constructions, il est évident que le point 1) va descendre dans le mortier et que la ligne DC' viendra en de, de sorte que la section du joint qui était un rectangle TCILF, devient le trapèze ciarfFI^, f»ar suite de la pénétration du voussoir supérieur an joint de rupture. Ainsi, de 11 en m, il y a compression, au delà la fissure commence et va en s’épanouissant justpi'à l’extrados. Si l'hypothèse qui consiste à placer la résultante des pressions au tiers du joint se réalisait, il n'y aurait jamais de fissure apparente aux joints de nqiture, tandis qu’on les voit parraitemeut et que l’u'il peut les suivre jus<|u’auprès de l’intrados. Il est donc constant que si la coiirlie de pression ne passe pas à l'intrailos, elle n’en passe pas bien loin, (jiiant à délerniiner exactement cette di.slancc, cela n'est pas possible, mais on peut facilement apercevoir quelles sont les circonstances (|ui l'augmentent ou la diminuent.

Uemarqnons que, d’après la thdirie admise au sujet de la résistance des matériaux, cette résultante ]>a.ssera au tiers de Dm; il s’agit donc île déterminer le point m. >'ous avons déjà fait observer que la surface du triangle l)md est proportionnelle à la pression, il nous suffira donc d’examiner dans quelles circonstances sa base l)i» augmente ou diminue.

Or, il est évident que pins le joint MF sera épais, plus le mortier sera compressible, plus la pression sera forte, moins l’inclinaison de DC’sur 1)0 sera grande, plus le point m et la résultante s’éloigneront de l’intrados t). L’elfet de l’épaisseur du joint et de la compressibilité du mortier se conçoit parfaitement. Dans le cas théorique de voussoirs incompressibles, c’est à l’intrados meme que passe lu courlic de pression, la compressibilité de la matière doit donc agir en sens inverse de sa dureté. Quant à l’etTet de la pression elle-même, il ne faudrait pas en conclure qu’il est avantageux de charger la voûte parce que cela éloigne la courhe de pression du joint de rupture, mais seulement (|ue l’efTet destructeur ne croit pas proportionnellement à la pression. En efi'et, quand celle-ci augmente, d descend en d'

CHAP. Ml. - DE I.A STABM.ITp; DES VOUTES EN MAÇOX.SEIllE. 73

et m recule en n', de sorte que la surface du triangle étant proportionnelle à la pression, Dd', c’est-à-dire, la pres.si"on à l’intrados n’e.st plus que proportionnelle à la racine carrée de la pres-sion. Il en est de même de l’angle C'DC = «; en effet, on a, en ap|>ciant un coefficient constant,

>n D X siu a = Drf, P = .\X»'DxIW;

Il y a donc grand intérêt à ce que la voûte tourne le moins possible autour du point I). Un petit mr)uvement est inévitable ; mais, comme nous l’avons vu, ce mouvement |>eut être læaucoiip augmenté par le reculement du point D. Ainsi, une culée insuffisante picut être cau.se de la rupture des pierres au joint de rotation.

.Nous venons d'énumérer toutes les causes qui peuvent éloigner ou ra|>procher lu courbe des pressions de l'intrados et augmenter ou diminuer la pression maximum qui a lieu en ce point cl on a dû remarquer que nous n’y avons pas fait figurer la longueur du joint, qui est lu .seule chose dont on tienne compte dans la théorie aujourd’hui généralement admise. Il es* facile d’en trouver le motif ; en effet, dés que, conformément à l'expérience, nous admettons ([u'une fis.snre se forme à l’extrados, toute la longueur du joint ipii n’est plus en contact avec le mortier, ne saurait avoir d’influence sur tout ce qui concerne la pression. Du reste, il est bien évident que la longueur Dr» du contact est complètement indépendante de la longueur IK'. du joint. L’hypothèse qui consiste à supfio.ser que la pression est nulle à l’extrémité du joint située à l’extrados, détermine l’angle » de

rotation. Il faudrait donc que la voûte ne tournât jamais cpie de —, on appelant / la longueur du joint, ce qui est inadmi.ssible. Puis<]u’il y a tissure ' 10

7» CHAP. III. — UF. LA STABII.ITk IttS VOITES KN MaÇO.NNERIE,

apparente et même an besoin appréeiable, le constructeur n'est pas libre (ruujjmenter plus ou moins le contact en au^'inenlanl IHi. Il faut donc se résipier à admettre <jue la courbe de pression passe au joint de rotation très près de l’inü'ados, quoique ce princifie soit une difficulté pour la pratitpie. Kn elïet, dans cette théorie, on ignore à (|uclle distance précise la courlie de pression passe de l'intrados, et il devient difficile de calculer lu pression maximum (|ui aura lieu en ce point ; mais on doit comprendre que la vérité d'une théorie ne dépend pas de la plus ou moins grande facilité qu'on éprouve à l'appliquer et combien il peut être dangereux de mettre en pratiipie une théorie inexacte: c'est ce que nous ferons voir plus loin.

On pourrait objecter à cette théorie qu'en admettant son exactitude, il y aurait, vers les points de rotation des grands ponts construits, des pressions bien plus considérables ipie celles qui avaient été calculées par les constructeurs et que, puisque les pierres n’y sont [loinl écrasées, c’est que la pression s’y maintient dans les limites ijue les constructeurs ont riiabitudc de s’iinjioser. Nous croyons ell'ectivcment que les pressions sont beaucoup (dus fortes que celles qu’avait données le calcul préliminaire basé sur une fausse tliéorie, mais la résistance des voussoirs [leul parfaitement s’expliquer, même dans ces conditions. En effet, les constnicteiirs sont dans l’usage de ne faire siqiporler aux matériaux d’une manière permanente que le dixième environ de l’elfort qui serait capable de les écraser. Cette énorme réduction a pour but de mettre a l’abri d’un excès de pression produit accidentellement par un vice de construction ou par toute autre cause ; il en résulte que si, [>ar l'efl'el d’un mouvement de la ma<;onnerie, la pre.ssion se déplacé, on a une large marge pour prévenir toute chance d’acciilent. (Juoi qu’il en soit, voici ce qui se pa.sse ; on a calculé, par exemple, (pie la pression sur le joint de nipüire serait de t.'i() kilogr. pour une tranche de voûte de tf”, 01 d'épaisseur; la pien’e employée pouvant supfKirter, à rais4m du dixième de la résistance maximum, 10 kilogr. f)ar centimètre carré, la longueur du joint pourrait n’étre ipie de (r, fo, si la pression était uniforme dans toute son étendue, mais on lui donne 0",0ü,

CIIAI'. III. — DK U STABILITK DES VOI'TES EN MAI.10NNKBIE. 70

d’après rhypnlhcse «pie la rê.siillanle de la pression passera au tiers de la lonpiciir du voussoir. Or, si elle pas,se o (t“,Oo seulement, elle .sera de 00 kilop-., à O* ,01, de 7ü kilogr., au lien d'être de 10 kilogr. comme on l’avait calcJilé.

Il est évident que le voussoir ii'éclalwa pus pour cela. En voici les motifs principaux : I* c’est d’abord qu’on n’a pas encore atteint la limite de la résistance de la pierre; 2“ qu’eûl-on atteint cette limite, comme cette pression n’existerait que sur un (joint, elle ne saurait avoir le même effet que si elle existait sur toute l'étendue du contact; 3“ que l'arête du voussoir est nécessairement arrondie, si tine que soit la taille, ce qui (jeut réduire le chilTre de la (iression maximum; 1* qu’entre les deux voussoirs se trouve un matelas de mortier; ü"que les (liorres de grande dimension tloiveni avoir une rt'sistancc proportionnelle plus grande que celle <|iii est donnée (lar les expériences faites sur de (>efits cubes, ainsi que nous l’avons expli(|ué dans le chapitre premier. En voilà assez pour connprendre comment il se fait (|ue l’erreur commise sur la (KJsition de la courbe de pression ait pju être jusqu’à présent sans influence sur la solidité des ponts ; mais si on voulait sortir des dimensions assez restreintes dans iesipielles on s’est maintenu jusqu’à présent, il serait indis|)ensal)le de mieux se rendre compte de la position de la courbe de pression.

Dans l’exemple que nous avons choisi, la voûte est incomplète et la position du (xiint de rotation est évidente. S’il s’agissait d’une voûte com- (ilètc, c’est-à-dire, se raccordant avec ses pieds-droits par un élément vertical, on démontrerait par un raisonnement analogue qu’un point de la courbe de pression doit .se trouver sur l'intradsjs et (|ue, au décintrement , la voûte tournera anUiur de ce point; mais la position de ce (joint ne ress<jrtirail (jIus au (jremicr cojip d’œil. La seule chjjse que nous voulions établir dès à présent, c’est que, ilans ce cas, la courbe île pression est nécessairement tangente à l’intrados; en effet, si elle ne l'était pas, elle le couperait en deux points, une (lartie de cette couri» se trouverait donc extérieure au massif et, (>ar conséquent, il n'y aurait (las éipuilibre.

CHAI*. III. - I1R I.A STABIUTE BES voûtes en M.AûüN.SEmE,

Nous i-onsiiléreron» donc comme démontré <|tie In courbe de pression passe lonjours à l'intrados et que, dans une voûte complète, on dans une voûte incomplète, mais d’une amplitude telle <pie, si elle était coniplé-tée, le point commun avec l'intrados se trouverait dans rétendue de la voûte, elle est tangente à cet intrados an [«oint où elle le rencontre. Ce jMiint commun à la courlie de pression et à l'intrados est le point de rotation autour duquel la partie supérieure de la demi-voûte tourne jKMir s'appuyer sur cidle qui lui est symétrique. Sa position, |iour une voûte complète, ou pour une voûte incomplète rentrant dans le cas indiqué ci-dessus, doit être déterminée par des considérations <pii seront exposées dans le chapitre suivant.

Ce point, dont la théorie a jusqu’ici a méconnu le rôle, a reçu le nom de point de rupture, nom Tort impropre, en ce que lu rupture se fait au contraire à l'extréinité op|)osce du joint. Cn conséciucnce, le point C devrait s'apjteler point de rupture et le point It, point charnière, l’eut-être ce nom aurait-il suffi pour empêcher la théorie des voûtes de s’égarer, comme elle l'a fait depuis un certain nombre d'années, (juoi «lu’il en soit, on doit comprendre (juc, dans toute espèce de voûte, il y a lotijours un point charnière situé a l’intr.ados, autour diupiel la voûte se renverse en dedans pour s'asseoir, comme di.sent les constructeurs. Li coiirtie des pressions a donc toujours un point commun avec l’intrados, quand la voûte n’est pas soumise a des forces extérieures. Nous examinerons dans un chapitre spécial les modifications cpie subit )>rincipe, cpiand cette dernière circonstance se réalise. Il ne s’agit, pour le moment, que des voûtes soumises à la .seule action de la pesanteur des matériaux (pii les composent ou les chargent.

Kn dehors de ces {xiints charnières nécessaires, indispensables dans toute espèce de voûte et qu’on ne jieut faire disparailrc, il peut en exister d'accidentels tenant simplement il rinsuffi.sance des dimensions de la voûte ou de scs parties accessoires. I>a courbe de pression étant déterminée par les considérations précédentes, c’est-à-dire, passant par le point dit de rupture et par un fxiint pris arbitrairement à 1a clef, il peut

CIIVP. nr. — DK L.V STABILIÏÈ DKS VOITES KN MAÇONNKKIK.

arriver (|ii'clle coupe l'exirailos uii-ilessous ou au-dessus du charnière. Ainsi, dans le cas de la fuj. si le pied-dmil avail une épaisseur moindre rpie HT, il est évideni que l'équilibre ne serait pas possible et que la culée serait renversée à l’extérieur en tournant autour d'un point charnière qui se formerait à l'angle extérieur de la culée, tandis (pie la voûte tomberait à l’intérieur. C'est 1a seule manière dont la chute peut avoir lieu pour une voûte surbaissi-e telle que celle de la fiy. 20; mais quand la voûte est surélevée, comme dans la fuj. 20, lu courbe de pres.sion («ut rencontrer l’extrados avant de passer (lar le joint de riqiture.

Il est bon d’analyser ce qui arrive dans celte eircon.stance. Traçons d'abord la courbe de pression sialique (jour la voûte de la f>g. 2tl, dans l’hypothèse où la voûte serait en équilibre. .Nous savons que le point D est un point de cette courbe; si nous menons la verticale («u- le centre de gravité (i, elle coupera en tî’ rtiorizonlale menée (lar le (Hiiiil d, point d’aftidicalion siip- (losé de la poussée; si nous lirons (î'Il, nous aurons lu résultante des [iressionssur le joint de rupture; par consé(|ucnl, si CI* repri-senic le [loids de lu demi-voûte, DP rcpré.senlera la (loussée. Celle force étant connue, on en conclura facilement la courlic de pression statique i/i«D; cette courlie sortant de l’extrados, la voûte n'est pas en éipiilibre et il y a lien d’en modifier le profil; mais si l'on veut savoir comment elle va se ronqire, on tracera la courbe dynamique </CU, tangente à l'extrados vers le milieu de l’intervalle entre les (loints où il est cou|»i par la courlic statique, et le (loint de tangence E indii|uera le [wint de rotation de la voûte, tandis (|ue la courbe t/ED indii|uc commeiTl se cnm[>orlc la pre.ssiun [icndant la chute. Ce [loinl de tangence lü deviendra ainsi un nouveau [loint de rotation autour dui|uel tournera lu (lartie supérieure de la demi-voûte, tandis que la partie inférieure tournera autour de D. Le joint .AB prenant [lart à ce double mouvement, dont l’un tend à le fiiire monter tandis ([ue l’autre tend à le faire de.«endre, suivra une direction résultante dans laquelle il pourra arriver qu’il s'élève. Les calculs que nous avons faits plus haut relativement à la position du [loint d, ne sont plus applii’ables. Il faudrait chercher la di-

7S CHAP. III. - DK l..\ STABII.ini DKS VOl.TES EN «AVO.'<NEUIE.

rection rc!.«ullanl de la vitesse des points A et B, comme nous l'avons indiipié à la fin du clmpitre précédent; mais cette recherche serait sans utilité pratiipie, puisijue la voûte ne serait pas exécutée dans ces conditions; il n’y a donc lieu de s’occuper que du cas où la cuiirhe de pression ne fait que s’approcher de l'extrados.

Ce ipi’il y a d’essentiel à remarquer, c’est que dans ce mouvement, la clef remonte; car, d’une part, piiisipie l'intrados s’onvTe vers F, il s’allonge, ce qui ne peut avoir lieu qu’nulani que B s’élève, ü'iin autre côté, la pression se portant vers l’extrados, cet extrados doit diminuer de longueur; ainsi, tandis que B doit s’éloigner de I), A doit se rapproi-her de C; par suite de ce doulde mouvement, on voit que la idcf a une tendance à s’ouvrir en A et à se serrer en B. l..a loi du trapèze apprend que, (|uand le centre de pression s'approche de la paroi à moins du tiers de la longueur du joint, la pression est nulle sur le côlé' ojqiosé dans une certaine étendue. Il suit de là ([lie les joints s’ouvrent légèrement et (]ue la paroi opposée à la pression éprouve une espèce de dilatation <|iii en augmente le développement. Si donc la voûte avait des dimensions suffisantes pour être en équilihre, comme dans la fig. 30, cet effet se produirait dans toute la partie où la courbe de pression dépasse les deux tiers de répais.seur de la voûte à [lartir de l’intrados et les joints s’ouvriraient légèrement à l’intrados. Il est évident ([lie ce mouverneni tendrait à soulever la clef et à faire descendre le point d vera B. Dans ces espèces de voûtes, le point d’application de la poussée est donc, en général, au-dessous du milieu de la clef, si le point de rupture D ne recule pas sensiblement.

Kn général, on rei'onnaitra ipie la clef a une tendance à se soulever i|uand la coiirlie de (iression, dépa.ssant les deux tiers de la longueur des voussoirs à partir de l'intrados, s’approche de l’extrados.

I,a recherche des conditions de stabilité d'une voûte est ramenée, comme on l'a vu dans ce chapitre, au tracé d’une courbe géométrique qui ne se trouve déterminée de jaisition ipie (piand on connaît deux points de son tracé. Nous avons cherché à démontrer qu’un de ces points, dit point de nqitiire, était toujours situé à l'intrados et que l'autre se trouvait tantôt