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On ne peut donc délermiiier exactement lu force U par le calcul, quand l’étendue des contacts AB et CO a des dimensions finies.

Si, par la forme des joints extrêmas, ces contacts se réduisaient à des points tels que nt et B , la force Q serait délemtinée (*) et on pourrait la construire géométriqueraent. Sur l'horizontale menée par le [.wjint m, ou projetterait en ÿ' le centre de gravité g du massif; réunissant ensuite g' à R, on aurait la direction de la résultante; puis, en prenant sur g' g une longueur g'p proportionnelle à P et menant par p une horizontale, on déterminerait la longueur g'g proportionnelle à Q. En effet, les triangles semblahles g'pp' cl ÿ'GR donnent la proportion :

lai force Q étant connue, rien n’est si facile que de vérifier si, en divisant le massif par un plan quelconque, si par exemple, le solide supérieur AB.i< se trouve en équilibre. En effet, il suffit de faire pour ce solide ce qu'on a fait pour la demi-voûte entière, c’est-à-dire, élever une verticale par son centre de gravité jusipi’à la rencontre de la force prendre à partir

(*) Eilo ser&it encore indéterminée si on admettait un rrottement vertical en m, mais les limites de la force Q sont alors tellement resserrées que 1a question n'a pas d'intérêt pour la pratique.

UiAP. III.— DE LA STABILITE DES VOITES EN MAÇONNERIE.

do i'e point une longueur horizontale égalé n la force (J ipi'on vient de déterminer et une longueur verticale iiniporlionnelle au poids du solide; à l'aide de ces deux coin|iosanles, on connaîtra la direction de la résultante et son imint d'intersection avec le "|)lan de joint. Si ce point est compris entre les limites du solide, il peut y UAoir éqiiililire, coinine nous l'avons fait remarquer dans le cluqiitre précédent. .Nous disons iju'it peut a avoir éijuilibre dans ces circonstances, parce ipie si la résultante est Ircs-oliliqne par rup|Hirt au pian de joint et fuit un angle ^ avec la normale, elle priHliiira une pression It cos 9 et une force paralUde au plan II sin 9, tendant à faire glisser le solide sur le joint. Or, si on api>elie/'le coeflicient du frottement, il y aura glis.semenl si /'U cos 9 < K sin 9, c’est-à-dire, si f< tang9. Il faut donc, pour réipiililirc, que noii-seuternent lu résultante tomhe sur la surface du joint, mais que l'angle (pi'elle fait avec celte surface soit tel tpi'on ail Iung9 < f. Dans les maçonneries, le coeflicient de frottement d'un joint sur un autre est toujours assez considérable; il est d'ailleurs variable avec la nature et la «Minsistnnce des mortiers, (.tuoi ipi’il en soit, on devrait regarder comme étant dans une |iosition cril'upie toute maçonnerie où la résultante ferait avec le joint un angle de 3 o" environ.

Si la rcsullanle passe en dehors du joint, il ne peut pas y avoir éijuilibre, puùspie lu surface du joint inferieur ne yanit é'A ideminent fournir une réaction égale et contraire pas.sant par un point extérieur. Il faut alors niodiiier la forme «le la maçonnerie.

Imaginons qu'un système de joints verticaux ait donné la coiirl>e de pressions m< lt, (|ui est extérieure à l'extrados .sur une partie de son élcinlue; on |>eul être sûr d’aliord ipic tout autre système de joints donnera une courbe qui dépassera davantage l'extrados. En ell’el, si |»ar le point t {/itj. 23 ), on mené un plan de joint Is im-liné sur la verticale, il est clair que le solide .VWll opposera moins de résistance au renversement cpie le solide \h[i, car ce dernier est évidemment retenu dans ce mouvement par le solide triangulaire <«'. Ainsi, la division par joinLs verticaux est celle qui s'iqipose le mieux au renversement extérieur. 11 est bien entemlu que nous excluons des joints

CHAI*. III. - 1»E I.A STABII.ITK DKS VIH TKS EN M.VÇONNKBIK.

inclinÔR en sens contraire, tels que /»", qui |>niliqiienieiit ne sont pas admissibles à cause du plissement.

Il est donc permis de conclure de la courbe de pression île lu fig. 23 que lu construction en maçonnerie par petites assises n'est pas possilile ipielle que soit leur direction. Nous disons pelif&s assises, car lÿ l'on exécutait à l'aide d'un monolithe toute la partie du massif |M»ur laquelle la courbe de pression est extérieure, l'équilibre deviendrait possible. Dans celle partie, le monolithe rési.slerail par la cohésion des molécules et son équilibre devrait être déterminé d'apres la théorie ordinaire de la résistance des matériaux, mais 1 * n’est là qu’un expédient aii(|uel on a rarement recours dans la pratique. Si donc des considérations architectoniques exipeaieni de conserver à l'intrados et à l’extrados leur forme rcclilipne, il serait indispensable d’augmenter ré|iais.seur de la voûte et la courlie de pression indiquerait facilement dans ipielle mesure cette augmenlalion devrait avoir lieu, puis(]u’elle ferait voir la partie dont l’épaisseur est insufli.sante. De plus, on devra tenir compte de ces deux circonstances : I* que non-seulement pour la solidité la amrlæ des pressions ne doit pas sortir de l’extrados, mais qu’il est bon qu’elle s’en tienne à une certaine distance pour éviter l’écrasement des matériaux; 2" ipie pour qu’il n'y ail |>as glissement, on sera obligé d’incliner les joints suivant les normales à la <'ourbc, ce qui l’écartera de celle relative aux joints verticaux. l.)n voit que, par suite de ces deux considérations, on sera amené à augmenter considérablement ré|»isseur de la voûte, ce qui pourrait avoir bien des inconvénients. Cela tient à la forme que nous lui avons supposée et qui ne convient [vas à l’équilibre ; mais si d’autres convenances ne s’y opposaient pas, cette forme devrait être modifiée et on pourrait couvrir l’espace Dbi par une voûte beaucoup moins é]»ais.se.

Remarquons, en effet, ipie la courbe des pressions ne change pas quand, conservant toujours les mêmes points de contact m et R, on ne fait que déplacer verticalement les éléments verticaux de la voûte, de manière que chacun des voussoirs élémentaires conserve la même abscisse pour .son centre de gravité. Ainsi, la voûte curviligne A'R'D'C qui intercepte entre l’intrados et l’exlrados les mêmes ordonnées verticales que la voûte rectiligm;,

ti UUr. III. — UE l-A STABILITE DES VOl TES ES MAÇONNKKIE.

a nécessairement la même cmirlie «le pression. On |ieiit donc se servir du tract» de cette courbe pour d«>nner à l’intrados et à l'extrados une forme telle (pie lu courlie de pression se trouve au milieu du joint. Il suffit de la couper par une série de lignes verticales et de jMirler au-dessus et au-<ies.s<His des longueurs égales;

La birme de voûte ipie nous venons d'obtenir par ce procédé lais.se encore à désirer sous le rapport de la di.stribution de son éjiaisseur ipii se tniuve moindre a la base (]u’au somniet. Or, il sera facile, au mojen de quebpies tâtonnements, de modilier convenablement le tracé de l’intrados et de l’extrados de manière à satisfaire à toute espi'ce de condition relative à l'epaiRseur de la voûte, tout en conservant la courlie de pre.ssion au milieu du joint. Apres avoir donne à la voûte l’éfiaisseur iwonnuc nécessaire, en prenant jaïur axe une première courbe de pression, on déterminera ensuite une seconde courbe de pression relative à celte forme et si elle ne se trouve pas dans toute son étendue placée au milieu du joint, on l'y amènera nécessairement par un petit nombre de corrections, ayant pour but de faire varier l'intrados et l’exlrados, de manière à ce que la dernière courbe occupe le milieu de leur intervalle.

Ces tàlonneinenls ne sauraient être ni longs ni difliciles, attendu que les modilications qu’on fuit subir à la forme de la voûte ne déplacent (pie fort peu la courbe, surtout si, comme cela arrive prewpie toujours dans la|iratique, la voûte porte une surcharge de ma(;onncrie. En etïet, l'abscisse de lu courbe de ]iression est exprimée par

Or, si l'on fait varier l’intrados en ajoutant à l’épaisseur de la voûte, le petit solide ainsi ajouté ne changera pas sensiblement la position du centre de gravite ni le poids du solide supérieur au joint, de sorte que x restera à peu près constant. Il est d’ailleurs facile de reconnaître dans quel sens marche la courlie quand on miKlilie l'intrados. En effet, on remarquera que le terme

CIIAP. III. — DE L\ STAimJTÉ DES VOL’TES EN MAÇONNEIUK. 55

— y de réf|iialion ci-dessus étant à peu près invariable, piiis(pie y et p sont

à peu près proportionnels, x augmente ou <liminue avec 5. On s’en rend compte mieux encore en renversant la Ogure et considérant la conrlie des pressions comme une chainettc, tpii stirail donnée par une cliaine flexible à laquelle les vctussoirs verticaux seraient siisfiendus, car son (à}uation est la même. Or, qiiainl une chaîne se trouve dans ces l'irconstances, il est facile de voir comment l'addition ou la soustraction d’un poids agit sur sa foniie. Lit chaîne s’abaisse évidemment au [K)int où on la surcharge et se relève là où on la décharge. De même, la courbe des pressions se jM)rte vers l’extrados au point où l'on augmente l'épaisseur de la voûte et vei's l'intrados quand on la diminue.

A l’aide de cette obsenation , il est très facile de modifler l'intrados d’une voûte, de manière à faire occuper à la courbe des pressions une position déterminée dans l’étendue du joint, le milieu par exemple. En effet, si [tour arriver à ce résultat, on doit ajouter au poids de la voûte, on .sait d’avance que cette addition aura pour effet de reculer légèrement la courl>e des pressions vers l’extrados et on [veut tenir compte de cette circonstance dans la modification qu’on fait subir à la voûte. Ainsi, par exemple, voulant augmenter l’épaisseur de 1a voûte représentée fig. (côté droit) vers la partie inférieure , de manière que la courbe de pression passe toujours par le milieu, au lieu d’ajouter des quantités égales à l’intrados et à l'extrados, on augmenterait un peu plus l’é[iaisseur du côté de l’extrados.

Les calculs que nous venons de faire et ceux dont nous allons nous occuper, supposent que les points d’application de la résultante des pressions à la clef et aux naissances sont des points fixes |>ar les<|uels le constructeur est libre de faire passer cette force. Telle est en etfel l'hypotlièse des savants qui ont attaqué le problème [>ar l'analyse. Nous verrons plus tard (jue cette hypothèse est inadmis.sible et que, dans les voûtes ordinaires, il y a, pour la courbe des pressions, des points obligés; mais cette hypothèse étant généralement adoptée et tenant une grande place dans la théorie des voûtes, telle ([u'elle est généralement enseignée, nous avons voulu faire voir que.

cii.vi*. III — i>E i.A stabii.ith; des vol I es en mai,.onM'.iiie

môme dans cctli; liApoIhése, l ien n'élail si facile que de rèsinidn- fjéoniélri(|iiemenl le iinddéme de la jHisilion de la nmrlie de pression. Il ne nous parail d'ailleiii's pas impossible, par iin arliliee de eonsIriiHion analogie à celui indiipié pour le eôlé païu-he de la jig. el que nous evpos<*rons pins loin en delail. de forcer la l'oiirlie de pression à passer par ileiiv points donnés tels tpie mi et H. S'il en était ainsi, le problème aurait en effet toute l’utilité pratiipie ijii'on lui siqqio.se aujourd'hui dans les conslnictioiis ordinaires. C'est par ce motif «pie nous avons cm devoir nous «K-iuq«er «lu problème de la position à donner à la cmirlie «le pression ; la recherche «le sa .solution est «l'aillciirs un m««yen «le se familiaris«?r avec les propriétés «le celle courbe ijiii j«menl un rôle iinpoiianl «laiis la «picsiion de la stabilité des v««ûles.

lÀn a«lmellant «piNui piii.sse «lisp«iser «f«‘ deux (Hiinls «le la c«mrbe «le [ire.s.sion, ce «pii est nécessaire pour en déterminer le tracé, les birmiiles .inablwpies anxipiellcs on est ahirs cimduil seraient bien peu utiles pour la prati«pie à cause de leur complication. Klles ont «le plus le tort «l'altérer la c«iiirbe d’inlra«los, prcsipie touj«uirs inqi«isée par «les convenances ar«'lii- Icclnrales. N«)us allons faire v««ir inainlcnaiil qu’on |>cul arriver au même résultat avec une f««rme quelc«in«pie d'intrados el d'extrados.

ltemont«ins, en efl'el, à r«-«|uation géiu-rale de la «‘«nirbe de pression

P iX-E )

el voyons toutes les mn«iifi«-alions «pie peut subir la voûte sans altérer la posili«m de cette courbe. Nous avons déjà fait remarquer «pie .son équation n'élail pas chanpce, quami on faisiil descendre ou m«mlcr les cl«''inents verti«'aux de la voûte; il en est de même lor.s«|ue ces éléments subis.sent une aii^inenlalion on une n'duclion pr«>piirtionnelle de leur longueur, ou, ce (|ui revient au même, changent de densité. Or, lorsipi’on construit une voûte, l’extrados el s«)uvenl rinlrad«is s«uil assujettis à «•ertaines formes [larticulii'sres «pie le constructeur ne peut giiere m«A«lilier. S’agit-il d’un

UIAl’. III. — l-K I.A SIAUILIIK IJfcS MILTES EN MAÇÜXNKItIK.

[Knil, |>ar evemplf ? I.a surl'are (|ui fonm.* la <'liaii.ss«'‘(.‘ no poiil l'•Yi(loInlncll( se modilier suivant les e-vigenees de la c-ourlie des pressions; eelle ipii forme l'intrados iloil, <r»n autre colé, satisfaire à des convenances archilecliirales et de facililé de construction dont on ne peut guère s'écarter, d’où il suit qu’il serait, en général, plus commode d’évider rintérieiir des maçonneries entre l’intrados cl l'evlrados.

Un exem|ile éclaircira ces considérations. Supposons (pi'on ait projeté lu voûte en arc de cercle dont l'intrados et l'oAtrados .«ont lilt et .\(j [fig. âf] et (pii est destinée à [lorter une surcharge limiti'e par la ligue M.\; suppostins de plus ipie la courlie de pression soit malt. Celle courbe s'approchant trop de l'extrados eu h, on peut vouloir rectifier l'intrados et l'extrados en prenant la ligne des pressions [Kiiir axe de l'epuisseur des voussoirs, et on obtiendra ainsi [>our intrados et extrados les courbes parallèles lin'l), A»"C. fiertés rien ne s'o[»|M)se a ce ipie la voûte soit ainsi exécutée , mais au point de vue pratupie , cela amènerait de longs et fastidieux calculs dans le tracé des épures du cintre et de la voûte, tandis que si l'on conserve l'arc BU {ligne pleine) et qu’on retranche du massif un solide égal à celui compris entre les deux intrados ou extrados, on aura exactement le même résultat, en conservant la simplicité du tracé. lÀii un mot, au lieu de remonter l’intrados et l'extrados en prenant pour axe la courbe de pression, on fait descendre cette cimrlie eu déchargeant la voûte de quantités délermimies.

Le même moyen pourrait servir si la courbe avait besoin d’être remontée, c’est-à-dire, de s'éloigner de l'intrados, car on déduira de la courlie de (iression lu hauteur d'une surcharge sur la voûte, telle (pie celle ipù est indiipiee par les ordonnées de la courlje .M(/N au-dessus de .M.\; mais au lieu de mettre cette surcharge, on peut, comme nous l’avons vu, réduire

toutes les ordonnées dans le rapport de , alors le point q tombera sur

le |Kiint P, M en M', N en N' et alors la courbe M'pM' indi(|uera ce qu’il y a à retrancher en chaque point du massif (Miur (|ue la courbe de pression occu|>e la position qu'on lui a assignée.

CIIAP. IH. — liR l.A STAIIIUTK IIES VOETES EN »Ui,f'?>>'EIIIE.

<Jiianil la courbe tie pression se trouve à une distance verticale constante lie l’intrados, l'intrados Ini-mcine peut être considéré comme la courlie de pression, puisipi’on jteut supposer les éléments verticaux relevés ou abais.sés de la même i[uantité. Si donc on veut que la courla! de pression se trouve à une di.stance verticale détermimie de l’inlrados. il faut qu’en prenant les points où l’intrados coupe le jdan des naissances et le plan vertical de la clef fiour point d’afiplication de la foive 0 d de la résultante, la construction p'aphique détermine l’intrados pour coiirlM! des pressions.

Nous avons démontré plus haut et souvent rap|ielé que la courbe des pressions ne chanf’cail pas, quand on faisait mouvoir verticalement les voussoirs élémentaires de la voûte; on peut donc imaginer qu’on les ait relevés justpi’à ce que leur partie inférieure coïncide avec la courbe de pression qui deviendra ainsi rintrados. En général, on peut toujours déterminer l’épaisseur variable qu’une voûte doit avoir en chaque point pour que 1a courlie des pressions soit celle qu’on a choisie, pourvu que cette courbe soit convexe vers le ciel et que sa tangente ne soit pas verticale à la naissance. Nous avons fait voir, en elfel, que la courbe des pre.ssions était obtenue par la même construction que celle qui donne la cliaincite. Or, une chaîne qui porte des poids est toujours concave vers le ciel et ne peut avoir de tangente verticale aux points d’attache, piiis<|n’il faut qu’en ce point, comme à tous les autres, la tension fasse équilibre à la force horizontale (>. On comprend du reste qu’on puisse faire (irendre à une chaîne fixée a deux points d’appui telle forme ipi’on voudra an moyen de poids appliqués à ses divers jMiints et c'est à cela que revient le problème de determiner l’extrados d’une voûte de manière que la courlie de pression passe par une série de points donnés. Voici comment on peut le résoudre.

.Nous avons fait voir que dans la courlie de pression (nous supposons toujours les joints verticaux), on avait

^ P dx y’

CIIAP. III. — IlE LA STABILITÉ DES VOl'TES EN MAÇONNERIE. ST

P étant le |ioids de lu voûte depuis le .sommet ju.-n^irau joint, 0 étant la force horizontide ilile iRuissée.

Si nous dilTérentions celte équation, nous aurons

d’y £ dp djc' Qdx'

Dr, ^ est précisiiincnt le poids du voussoir au point considéré, poids proportionnel à .son épaisseur, donc lu hauteur z de l'extrados au-dessus de riiilrudos sera exprimée par

A étant une constante arhilraire; le prohicme .se trouve donc résolu en dilfiTentiant deux fois l'àpialion donnée de la courlic des pressions.

Par e.xemple, |M)ur que la courlie de pression soit un arc de cercle do rayon R (fig. 2Î5), dont l’éipiation rap|»orJée aux lignes AX et O.A est

y’ — 2 Rÿ + «’ = 0,

on en déduira successivement

dx'

L’épaisseur de la voûte entre l'intrados et l’extrados sera donc

Soit E l’épaisseur de lu voûte à la clef, qu’on peut se donner, on aura pour x = 0

CHAI* III. — HE EA STAUILITE DES VOETES E.N MAÇON.NKHIE-