CHAPITRE IV

RECIIEHCIIE DE LA POSITION DES JO NTS DE HLPTI RE ET DK LA COURBE DES PRE.SSIONS DANS UNE VOUTE OUELCONQUE, SOUMISE UNIQUEMENT A DES CHARGES VERTICALES.

Dans les exemples «le voûtes examim^ dans le ehapilre précédent, la position des joints de rupture était pour ainsi dire éviilente, mais nous avims déjà fait remar«]uer qu’il n’en est plus ainsi quand les voûtes .sont «•ompléles. La «'ontinuité de la courbe u’olTrc plus à l'œil de point particulier ipii puisse devenir le siège de la rotation de la voûte et il faut en chercher la position par le calcul ou par une constnii-tion géométrique. I.es considérations que nous avons exposées dans le chapitre pn>cédent rendront cette recherche facile.

Nous avons démontré que, dans une voûte de cette nature, la l'ourlie de pre.ssiou est tangente à l’intrados au point où elle le rencontre. De [>lus, si l’on ailmet un système de voussoirs verticaux, la tangente au point de niptiire doit reni’ontrer la direction de la poussée au meme point que la verticale menée juir le «.‘entre «le gravité de la partie «le voûte supérieure. D««n«‘, si par un [loinl quelc«)n«pie m de rinlra«lo.s, on mène une tangente à celte cantrhe, fiff. 31, elle rcn«'«)ntrera l'horizontale men«*e par le jKiint i d'application de la p«)ussée en un point n. Maintenant si par le point G, «■entre de gravité de la partie de voûte Dm, on élèx'e la verticale Gÿ ju.'sprà la rencontre «le l'horizontale <n , il arrivera que le point g se trouvera en

ClIAP. IV. — RKCIIERCIIE DK I.A l’OSITIO.V DES JOtNTS DE Rl'PTKRE. ETC. X

avant ou en arrière du point » ou coïncidera avec lui. Si ce dernier cas se présenté, le point m est évidemment le point de rupture cherché, car il appartient à la courlie des pressions puis<]iril se trouve sur la résultante du poids combiné avec la poussée et sur le joint correspondant; il est de plus, par constniction, sur l'intrados qui n’a de commun que le point de rupture avec la courbe des pressions. Si le point g se trouve en avant du |M)int n, le point m est évidemment tro(i haut; il faut chercher une autre position un peu plus basque celle qui serait donnée par la tangente menée du point g, car le centre de gravité de la nouvelle partie de voûte sera néces.sai rement au delà de g. On pourra donc, pour abréger le tâtonnement, prendre un point ÿ' un peu au delà de g, mener la tangente g'S et l’on vérifiera si g' correspond bien à l’abscis-se du centre de gravité de la partie de voûte Bo. Inutile d'insislér ilavantage sur ce procédé graphique de tâtonnement, qui est trop simple pour n’être pas immédiatement compris. On peut d’ailleurs en suivTe un autre qui ne l'est pas moins. Puisque la courbe des pressions est déterminée quand on en connaît deux points, on peut la tracer en prenant pour première faicsse position un point s quelconque sur la courbe d'intrados et le point k, et l’on aura ainsi une première courbe kis, de laquelle il sera permis de conclure que le point de niptnre cherché est compris entre s et I. On prendra alors [Kinr sec*ond point le point le plus éloigné de la corde si et l’on opérera pour ce point comme on l’a fait pour le premier, si l’on avait besoin d’un grand degré d’exactitude, car, iiraliquement, le point S, ainsi déterminé, pourra être pris sans inconvénient pour la position du joint de rupture. Quoi qu’il en soit, on voit que très peu de tâtonnements suffiront toujours pour déterminer le point S.

Ce procédé est fondé sur cette propriété de la courbe des pressions que nous avons déjà signalée en mettant son équation sons la forme :

Or I est très-peu variable,^ surtout aux environs du point de rupture ; il

en résulte qu’en appelant a ce rapport, on a à peu près

»i CIIAP. IV. RECHKRCHE DE LA fOSlTlO.S DES JOINTS DE RITTI RE. ETC.

Pour une autre eourtæ de pression oii la |)ous.sée serait y', on aurait

par eonsikiuenl

d’où il resuite que les difTérences entre les absciswes de deuv eour!>es de pression de la même vf)ûte sont >à peu près eonstantes. Done si l’on a fait passer la eourlie par le point 3 qui est le plus éloigné de il, la nouvelli* courbe ne coupera pas l’intnidos en un autre piiint. Cette propriété des courl«!s de pression fa<'ilite considérablement leur recherche, puisipie, lorsqu'on en a tracé une, il siiflit d'augmenter ou de diminuer les abscisses d’une quantité constante fauir avoir une nouvelle courbe.

Iæs procédés graphiques (pie nou.s venons d'indiquer sont généraux et il faudrait y avoir recours dans le cas oii l’on aurait à chercher ré<|iiilibrc d’une voûte de forme bizarre ou [khi usitée. Soit, par exemple, à déterminer le |)oint de rupture do la voûte de ta fig. 32 ; on mènera une tangente à un point de la partie arrondie près de la nais.sance et l’on vérifiera si elle rencontre la direction de la poussée au meme point que la verticale menée par le centre de gravité de la |>arlie supérieure de la voûte. S'il n’en est pas ainsi, on y arrivera pur des tâtonnements analogues à ceux que nous avons indiqués. On pourra de même tracer une courbe de pression quelconque cl opérer comme nous l'avons indiqué plus haut, lin un mot, ces procédés graphiques S4)nl applicables à toute espèce de forme de voûtes; mais dans les travaux publics, on ne se sert guère pour intrados ipie d’arcs circulaires ou elliptiipies cl, dans ce cas, on peut sans tâtonnenieni trouver les points de rupture, comme nous allons le démontrer.

Soient a et b, la demi-ouverture et la montée de la voûte (Jig. 33), i, le point d’application de la poussée,

A, la hauteur Oâ, ordonnée du point d’ap[dicalion de la poussée, O, centre de l’ellipse, l'origine des coordonnées.

CHAI*. IV, — RECIII.KCIIE DK I.A POSITION UES JOINTS UE HLPTIIIIK, ETC. HT

L’cqualioii de la eourlie de [(ression est alors

telle de l’intrados

Puisque les deux courbes sont taiiKcnIes aii.x joints de rii|)ture, leurs dérivées doivent être égales pour ce |ioint. Un a donc (en sii|qK>.sant les joints verticau.v) :

pour la courbe des pressions,

dx y a? — S’

pour l’intrados,

dy b' X

dx a' y’

un en déduira

(3 ) Ay - y’ = ÿ •*■(•*• — Ç) (*).

Pour résoudre cette équation, il faut mettre pour Ç sa valeur en x, tirée de la relation qui existe entre l’abscisse du «entre de gravité de la partie de voûte située en avant du fioint de l’intrados dont l’abscisse est x et cette

(') Od peut arriver à celte équation par la coDsidèration du maximum de l'exprcaaion du momeDt p remarquant qu'avec des voussoirs verticaux, on a

(x — par l'équation

Substituant ensuite pour sa valeur tirée de Téqualion de la courbe, on retombe sur l oqualion (3).

»i CHAP. IV. — RKCHERCHK DK UA POSITION DES JOINTS DK HUPTKRK, ETC.

absois,se, et ensuite la valeur de * tirée de ré(jualion de la eourlic d'intrados.

Cherchons d'aliord lu valeur de £. Si nous rcpresenton.s par l’ordonnée de la courbe d’intrados, celle de la pmirlie d’extrados sera

ÿ = Y + A+ Ba:-j- Cx’ + etc

On aura donc pour le centre de gravité de la portion de voûte limitée à *

soit

ou

( (\x + Bx' H- Cx' ) dx

J (A 4 - Bx -(- Cr’ ) ilx

i Ax 4- ^ Bx‘ + i Cx’

A 4- ^ Bx 4- I Cx’

2 B te

La fraction l'ompxise entre parenthèses diffère peu de l’unité qu’elle dépasse li'-gèremeiit toutes les fois que B n’est pas nul; c’est le cas général. On peut tlonc supposer, pour les valeurs de x voisines de celles qui correspondent au joint de rupture,

£ = nx,

n étant un peu plus grand que-. On ne pourrait avoir que pour des

voûtes extradossées de manières bizarres et inadmissibles. Ln mettant dans l’équation (3) celte valeur de 5 et ensuite celle de x en y, on obtient

CHAI’. IV. — RECHKKCHE DE l,A l’OSlIlON UES JOINTS DK Hl'I'TEKE, ETC. 85

d’üii l’on tire

On doit remarquer que la valeur de y est iiidé|iciulanle de l’ouverture n de la voûte, e’est-ù-dire, qu’elle est la même (mur le jilein cintre que (mur une ellifisc quelconque de même montée.

La quantité n(l — »), pour des valeurs de » voisines de est égale à

En effet, si l’on différenlie l’expression

u = » (1 — fil,

on a

du = dn{i — 2n),

qui fait voir que, quand >»=^> est nul. L’expression ci-dessus peut donc se mettre sous la forme

Si l’on fait \ = 0,90, il vient A

n étant plus grand que 0,30 et plus petit que on voit que y ne différera pas beaucoup de 0,30^.

Ce n’est là au reste qu’une approximation qui cesse d’être vraie quand le rapport ^ diffère très-peu de l’unité, c’est-à-dire, quand l’épaisseur à la

ïn

*i; CIIAP. IV. — UI'XIIEHUIE DE L\ IO,->ITIOS DES JOINTS DE lUlHTUUÎ, ETC.

clef est très-petite. On voit alor.s (jue la valeur du radical diiniiiiie de plus

en plus et que y s'appn)che de —, ce qui pourrait avoir lieu, par exemple,

{mur une voiite construite en inati'-riaux mctulliqiic.s ; alors le joint de rupture pourrait .se rapprocher Iveaucoiip de la clef; mais si l’on se lient dans les cas pratiques des voûtes ordinaires en maçonnerie, on peut dire que, dans les voûtes complètes en plein cintre ou elliptiques, le joint de rupture se trouve à peu près an milieu de la montée.

On peut donner de cette propriété remanpiahle une démonstration purement géométrique, qui nous parait de nature à la mieux fixer dans l’esprit.

Sur .\0 = ^ comme montée (fig. 3i), traçons trois intrados : un plein cintre et deux ellipses, l’une surélevée, l’autre surbaissée. Sur le milieu de .40, menons une horizontale nl)l>l) et, par ses points de rencontre avec l’intrados, menons trois tangentes DT ; elles se rencontreront nu même point T sur l’axe; de plus, on aura .\ï = .\0=è; ce sont des propriétés connues du cercle et des courbes elliptiques démontrées dans les traités de géométrie élcnienlaire.

.Appelons x, les ahscis.ses des |)oinls Ü considérés comme des joints de rupture,

5, les longueurs des parties de l'horizontale kggg menée par le point A- d’application de la poussée, nb, la hauteur du point k au-dessus de l’inlrados.

Il est clair qu’en vertu des triangles semblables T»U, 1kg, on aura

J : 5 : : Tn : TA ou

x:\:: i.soxè : (i — «)*;

d’où

ClUP IV. — KKCHCHCUK UE l.A POSITION UES JOINTS 1)E HLPTI KE, ETC. HT

Dans ime voûle ordinaire, 5 > ^ aiiquel cas, pour que réqiialion cidessus soit possible, il faut (pi’on ait

Or, c’est préciséinent ce ipii a lieu eu général, Téfaisseur à la clef elle-

inèine n’alteignant jamais le | de la montée de la voûte. Cette condition

étant remplie , J prend nécessairement une valeur comprise entre 0,50* et 0,07*. Nous venons de voir que dans les voûtes ordinaires, cette dernière limite ne |M»uvait être atteinte; si noies posons {=0,f*0*, nous aurons a = 0,10; c’est une proportion qu’on rencoutie dans lieaucoup de voûtes. D’ailleurs en e.vaminani l’équation qui donne la valeur de $, on reconnaît (|ue de légères variations de a sont à peu prés sans influence sur celle quantité; ainsi en faisant a= 0, 15, J devient 0,57*. On est donc en droit de conclure que le vrai point de rupture ne peut guère s’écarter du point qui se trouve au milieu de la montée.

Nous ne donnons pas celle détermination du point de rupture comme exacte et précise, mais comme une approximation très-utile dans la pratique, en ce qu’elle suffit pour les cas ordinaires. En réalité, étant donné l’intrados d’une voûte complète, un point quelconque peut devenir le point de rupture en chargeant convenablement l’extrados. Il sufÜI jaïur cela de mener lu tangente en ce point jusqu’à la rencontre avec riiorizuntaie menée par le point d’application de la poussée; puis, disposer de l’extrados de manière que ce dernier point ait la même abscisse que le centre de gravité de la partie de voûte comprise entre la clef et le joint de rupture, ce qui est toujours po.ssible si l’intrados n’a pas une tangente verticale au point de rupture; mais ce sont là des cas particuliers que nous ne signalons que dans l’intérét de la vérité mathématique.

«« CIIAP. IV. — RKCHKBnlK DE L.V DOSmo.N DES JOINTS DE 11111‘TIIRE, ETC.

Kn rosumé, qiianil la voûte est formée pur une ellipse, loiil tùlonriemenl [Miiir la reehcrehc du joint de rupture devient inutile, on obtient une approvimation siinisante en le plaeant au milieu de la montée. Si rdlipsc est ineompléto, on l’aehévcra .sur le dessin et l'on prendra le milieu de l’axe vertical, si ce point est au-dessus des naissances, et ces naissances, s’il est au-dessous. < >n déduit de là que, quand la voûte est formée d’un arc de cercle plus |iclil que 1 20°, les joints de rupture s<jnt toujours aux naissance::.

Nous répétons d’ailleurs qu’il n’y a là ((u’une approximation, car il est bien évitlcnt (juc si le [>oint de rupture, dans une voûte l•onlplèle, était connu d’une manière absolue, la courir de pression étant lanpente à l’intrados en ce point, ce <pii équivaut aux deux conditions néces.saires pour la tracer, cette courlve serait entièrement déterminée; en d’autres termes, la verticale mcnt'*e |iar le centre de gravité de la partie de voûte supérieure au point de niplure ren«-ontrant la direction connue de la résultante du poids et de la pous.sée, en achevant le parallélogramme des forces, on aurait la grandeur et le point de pa.ssage de la poussée à la clef.

Avant d’aller plus loin, qu’il nous soit permis de faire voir que, de la connaissance de celte propriété des joints de nqdurc, résulte un moyen simple et facile de se rendre compte de la stabilité de la plupart des voûtes, sans autre tracé graphique que celui que tout ingénieur |>eul faire à la main.

IVenons pour exemple la voûte qui sert de base aux calculs de MM. I,amé et Clapeyron. dont nous parlerons dans le chapitre suivant, et qui est représentée par la fig. 3ü. Pour y tracer la courlie de pression, nous indiquerons à l’intrados la (Msition du joint de rupture, correspondant à la demi-hauteur du rayon, puis nous mènerons la tangente T êS. Celte tangente sortant de la paroi extérieure du pied-droit au point S, indique que si le pied-droit se terminait en S, ou si, à partir de ce point, le pied-droit était élargi de manière à contenir cette tangente, tout le massif serait en équilibre. Sans doute cette addition dépasserait ce qu’exige l’équilibre; mais comme, dan« la pratique, il faut nécessairement que les constructions

ClIAP. IV. — RECHF.RCHK DK I.A PO.SITION DE.S JOINTS DF, RUPTl'RF,. F,TC. 89

îïoient stables, on pourrait fæut-être se contenter de ces simples indications. Si l’on voulait leur donner plus de précision, il suflirail de déterminer la pous,sée en construisant le parallélogramme des forces au point S, dans lequel gp représentera le poids de la partie C5 de la voûte. On en conclurait que la poussée est représentée par gq. Cherchant ensuite l’abscisse 4C1 du centre de gravité du massif, menant Gl* profwrtionnel au piiids du massif, prenant Gg'=gg, on aura, en achevant le parallélogramme, le fxjint U par le prolongement de sa diagonale. On pourra donc construire complètement la courbe *5U. Celle courbe, qui donne une approximation suflisanle pour la pratique, démontre que le ma.ssif n’est pas en équilibre et elle permettra de moilifier le profd d’une manière convenable. On remarquera que, dans cet exemple, on n’a eu besoin de déterminer un point de la courbe de pression que parce que les pieds-droits sont très élevés; dans la plupart des cas, la connaissance île la position du |M)iul de rupture permet de tracer la courbe des pressions à main levée.

tjuoi qu’il en soit, le tracé sommaire que nous venons d’indiquer résout le problème d'une manière suffisamment exacte pour la pratique. D’abord parce que, comme nous le verrons tout à l'heure, un tracé plus étudié n’a pas beaucoup plus de chances d’être plus exact, et ensuite parce ijue le probli'me à résoudre présente une grande latitude. S’il s’agissait de déterminer une voûte qui n’eût que strictement les dimensions nécessaires pour l’équilibre, il resterait en elTet bien des craintes d.ans l’esprit au sujet de la solution admise ; mais c’est là un problème tout théorique ; dans la pratique, il faut que les constructions présentent un grand excès de solidité pour résister aux charges accidentelles, aux chocs, aux dégradations, etc. Dr, il est évident que cet excès, qui est une mesure de prudence, ne peut être soumis an calcul, c’est une affaire d’expérience et d’usage; d’où il suit que la recherche de conditions d’équilibre plus exactes peut ne pas modifier les dimensions basées sur un calcul approximatif. D’ailleurs, quoique la solidité des constructions en soit la condition la plus essentielle, elle n’est cependant pas la seule et l’on peut être déterminé par d’autres convenances; enfin, quoique nous ayons resserré lés limites de l’indétermination en ce qui

90 tUAP. IV. — IlECIIERCUE DE LA POSITION UES lOl.VTS ilK IllPTlRE, ETC.

concerne la courbe des pressions, elles restent cependant encore assez étendues pour qu’il soit lé|{itiineinenl |>ernns de se servir de méthodes appro.ximativcs.

En eüét, pour que la courbe fût rigoureusement déterminée, il ne suflirait (las d'en connaître deux (xtints comme on le dit ordinairement; il faïulrail encore connaître la manière dont ta surcharge des reins pèse sur la voûte, c’est-à-dire, le poids de la voûte correspondant à chaque joint, car riiy[iothése qui consiste à considérer celte surcharge comme produite par des prismes vtirlicaux ne peut être considérée que comme une approximation. En négligeant la légère variation que pourrait amener, dans le tracé de la courbe, la connaissance exacte de la ré(iartilion de la charge, l’incertitude dans noire théorie ne repose plus que sur la position exacte d’un point qui se trouve entre le milieu et le s<immet de la clef {*), En ell'et, si la voûte est incomplète, la naissance est un point de la courbe de pression et si la flèche de la voûte est plus grande ipie la moitié de l’axe vertical, la courbe de |iression est tangente à l'intrados, condition ipii équivaut à la détermination d’un |wint.

Considérons un exemple de ces deux cas.

Soit la voûte incoinplcle (fig. 30) formée d’un arc de cercle fll) et d'un pied-droit l)T. .Nous prendrons [Kuir point d’application de lu poussée le point K, situé au milieu de répai.s.senr à la clef. \ l’aide des points K et 1(, on déterminera la courbe des pressions correspondant a l'extrados de la voûte après le décintrement, c'esl-à-<lire, extrados.sée par lu courbe AFC, et dans rhy|)olhèse de la voûte chargée jusipi'à la ligne AU.

Ces deux courbes seront hlJlt et hitit', par exemple, et il faudra qu’elles soient toutes les deux contenues dans le profil de la maçonnerie. Celle condition suflira pour l’ésjuilibre , car, quoique la position exacte du point K soit inconnue, comme elle ne peut être (jue supérieure a celle que nous lui avons assignée, il s’ensuit que le point It sera certainement plus

ed by Googl^

Nuufi n«* parlons pas ici des Tofit's sur^leiéef», dan» losquclU's la résultante de la poussée peut passer au>dc<>»ous du milieu de la clef.

ClUI*. IV. — KECIIERCIIE l>E L\ POSITION DES JOINTS DE BUPTI BE, ETC 91

cloignii de S dans le fait ij'ie <l«ns l’hypothèse admise. On remarquera d’ailleurs que la charge de la" voûte aura ftour n'-siillat de la consolider, attendu (pie le point R' s’éloigne de S. Cela lient à ce que la charge addilionncllc a pour effet de rapprocher le centre de gravité du pied-droit. Il est essentiel de se rendre compte de la ligne séparative de la région où une masse additionnelle contribue à ré(|nilibre. Nous empruntons donc au mémoire de MM. Lamé et Clapeyron la démonstration suivante. Supposons qu’on place en M sur les reins une mas.se p; soient

t, l'abscisse du {loint >I par rapfairt à l’axe .AP, d, l’abscisse du point 1),

.\, l’abscisse du point R,

II, l’ordonnée du [loint d’application de la poussée, h, l’ordonnée de la naissance,

cherchons à déterminer t de manière ipic la courbe de pression fosse par R. .Nous aurons, en égalant les moments,

mais comme la courbe passe par le point D, nous auron.s aussi jji((< — e) = (/ iH — A),

d’où

X — E H rf — e^H — A’

ce qui fait voù" que les points M , D, R sont en ligne droite (*). Donc, si l’on mène une ligne par les points R et I), elle déterminera un point .Al sur la ligne K.M, tel qu’en menant une verticale par ce point, celle-ci limitera

n On se rend facüemenl compte de ce résultat en remarquant que la Kv^ullante du poids et de la poussée correspondante doit passer par D et R.

*2 CHAI'. IV. — RECIIERrHE RE U POSITION DES JOINTS DE RllMlRE, ETC.

la parlie de voûte sur la(|iielle lu charge conirilnie à la stabilité. Ainsi tout poids ajouté à gauche de M a pour efTet de rendre l’équilibre plus stable eu éloignant le point K du point S; c’est ce qui fait ([ue le remplissage des reins, au-dessus de .AFC, a porté la courbe de pres.sion de KDH en KÜH', parce (|ue le centre de gravité du solide ajouté se trouve à gauche de AI. Un ell'et tout opposé aurait lieu si l’on chargeait la parlie KM, surtout vers le point A; le point H atteindrait le point S et une fois qu'il l’aurait dépassé, la culée se renverserait en tournant autour de ce l'oint, tandis que la voûte, tournant autour du point D, tomberait a l’intérieur.

Il y a donc , pour le constructeur, deux moyens de s’opposer à l’effet de la poussée : c’est d’augmenter l’épaisseur de la culée ou la charge des reins. Si l’on voulait, par exemple, amener la courbe de )ircssion en Jt" milieu de ST, on tirerait la ligne lUD.M ' et l’on augmenterait la charge au delà de la verticale menée par M", Nous reviendrons plus lard sur ce résultat.

Considérons maintenant une voûte complète comme celle de la fg. 37. l’oiir déterminer la courbe de pression, nous prendrons toujours le point K, milieu du joint à la clef, pour point d’application de la poussée et pour point de rupture le point «, situé sur l’intrados au milieu de la montée, et nous mènerons «ü tangente à la courbe d’intrados. Pour vérifier si le [siinl a appartient réellement à la courbe des pressions, nous mènerons le joint 8F et chercherons l’abscisse du centre de gravité de la parlie de voûte Allai’; si cette abscisse est égale à KG, le pioint à est réellement le point de rupture. Si la projection du centre de gravité cherché tond» en g’ ou en g", il y aura une correction à faire suivant le procédé de tâtonnement indi(]ué plus haut. SiqqKtsons ce point trouvé, on a en K et en 8 deux tangentes à la courbe des pressions qui serviront à la déterminer dans toute l’étendue du ma.«sif de la voûte. On pourra d’ailleurs obtenir autant de points ([ii’on voudra par la méthode que nous avons déjà indiquée.

La surcharge de la voûte, suivant une ligne telle que UV, aurait pour eflèt <le faire descendre le point de i-uplure de 8 en 8'. Ce dernier jaiint se

r.llAl*. IV. — RFXIIEHCIIE DE LA POSITION DES JOINTS DK Rll'TERE, ETC. 93

troiiwra facilemeiil par lâlonncmenl au moyen de la condition de faire passer la tangente par tu projection du centre de gravité de la partie supi'rieiire tie la voûte sur la direction de la poussée. Ou obtiendra ainsi une courbe telle que K5'K'. Si l’on voulait déterminer la limite verticale des charges qui contribuent a la stabilité de la voûte, on ferait passer une ligne par U'5’, prolongée juiapi'à l'horizonlale Kü, et en menant une verticale par le point de rencontre .M, on aurait la limite cherchée (*). jS’oiLS négligeons la correction due au changement de position du joint de rupture par suite de la surcharge. Ixs voûtes elliptiques complètes n'ofVrent donc pas plus de difüculté que les voûtes incomplètes quant au tracé de la courbe des pressions.

Considérons maintenanl une voûte en ogive, ftg. 38, c’est-à-dire, dont l'intrados est fonné de deux imcs se coupant L la clef, suivant un angle plus ou moins ouvert. Nous avons vu que, dans ces voûtes, le [aiint d’application de la poussée se rapprochait plus de l'intrados que de l’extrados; mais comme il est indéterminé, nous prendrons d’abord une position moyenne en k sur le milieu du joint et nous tracerons la courlie de pression dans cette liypothèse. Pour cela nous diviserons la voûte en parties de volume égal, quatre i>ar exeinjtle. Cette division facilitera beaucoup la recherche des centres de gravité des portions de voûte supérieures à un joint donné. En efl’et, en projetant les centres de gravité sur l’horizontale *C, on n’aura plus à composer que des forces égales entre elles, ou ayant des ra|iporLs simples et déterminés; ainsi, pour les deux premiers voussoirs, on prendra le milieu de l’intervalle entre les deux centres de gravité, pour le troisième, on en prendra le tiers, pour le quatrième, le quart, etc. Supposons tous ces centres de gravité numérotés sur l’horizontale k(î, d’après le numéro du voussoir auquel ils correspondent ; en faisant rouler une règle tangente à l’intrados et lisant les numéros que sou prolongement atleitit sur l'ho-

(•) Il Ckt bon df faire observer que d.in.» cel exemple cl le précédent, on ne doit pas tenir compte dus chargus (|ui sc trouvent au deU du joint de rupture, si ce n‘est pour la rùsUlancp de la partie inft'riuure.

91 CHAI'. IV. — IIKCIICIICIIK IlE I.A POSITIO.N UES JOINTS UE HI I'TI UK, ETC.

rizonlale , on arriveni facileinciil à ce rcsiiilal inio le niimi'ro sur la coiirlM! soit le iiiènie «iiie sur l'horizontale. Ainsi, [Kiur la fir/. .18, celle l'oincidence avant lieu pour le joint n” 3, nous en conclurons «pie la courbe île [iression est tangente en ce point, ipii se trouve ilelerininer le joint (le rupture, .\oiis avons ainsi ileiiv tangentes à la courbe cberchi'-e; on jieut ibi reste ilélerininer son point de passage sur cbaqiie joint et avoir un tracé aussi complet ipi’on pourra le désii-er.

On reinaripiera racileinent que la coiirlje des pressions de celle nature de voûte vient percer le plan îles naissances tout près de l'intrados, ce qui indique qu’il y a peu de tendance à un renversement extérieur. .-\ii reste, pour s'assurer que ce rcnversi?inenl est réellement im|KissibIe, on pourra mener une nouvelle coiirlie de pression par le |ioinl H. ou seiilemeiit mener la tangente au joint de riipliire rclalir à ce ]>oint , ajirès avoir descendu sur l'horizoutale en U les numéros des centres de gravité ; on reconnaitra facilement que le nouveau joint de nipture 3 est situé un peu au-<lessus du premier et que la tangente en ce point ilifTère Iri'.s-peu de celle menée au jioini 3.

Celte vérification qui , dans l'exemple choisi , est pour ainsi dire superflue, une fois faite, il convient de s'assurer de la stabilité de la partie supérieure de la voûte par rapport au renversement extérieur. Si le point k était réellement le point d'a[iplication de la poussée, le tracé de la courbe de pression donnerait toute sécurité à cet égard , mais il peut très-bien se faire que par le mode de construction de la voûte, ce point d'application remonte vers A; ainsi, si le joint de la clef était ouvert à l’intrados pur construction et que le décinireinent ne l’eût pas complètement ferme (comme l'inditpie la fg. 38 bis), le point d’ap|>lication pourrait passer tout près de .A. Or, la courbe de pression qui a son sommet en ce point, s(jrtant de l’extrados (tracé ponctué .Al), la partie supérieure de la voûte se renverserait à l’extérieur, ce qui fiermeltrail à la partie inférieure de tomlicr en dedans. .Ainsi, cpioique la voûte de lu fig. 38 soit sUtble, car, si sa construction ne présente rien de particulier, la [toussée passera plutôt au-dessous <|u’au-dessus de A-, cependant

CHAP. IV. — nKCUpnCHE DE I..A POSITION DES JOINTS DE lU'PTl TIE, ETC. !(5

elle |Htiirra Imnlier au tléoialremeiU, si un vice Je conslriii-limi a pour résullal de remonter le point d'application de la poussw vers son sommet, l’uuf prévenir cet accident, il faudrait ou augmenter l'épaisseur de la voûte à partir du joint î, ou, ce ipii serait plus hardi, couper le sommet sur la ligne kii, ou, ce ipii reviendrait au même, refouiller le joint depuis le sommet jus<]u'au point k, fig. 38 lir. Nous reviendrons plus loin sur le parti qu'on peut tirer de ce système |>our la stabilité des voûtes.

Si la voûte portait une surcharge, les conditions d'éipiilibre ne seraient pas plus difficiles à trouver.

Nous ferons observer que, en général, quand la surcharge s'élève à une grande hauteur et que les culées ont une é|iaisscur pour ainsi dire indéfinie, la voûte, quelle qu'elle soit, est nécessairement stable, car elle ne peut tomber ni à l'e.vtérieiir à cause de la résistance de la culée, ni à l'intérieur, jaikpie chaque portion de voûte e.st plus large à l'extrados qu'à l'intrados. Dans ces circonstances, la recherche de 1a courbe des pressions ne peut avoir d'autre but (|ue de s’assurer que la pression ne dépasse pas la résistance <lont les matériau.v sont susceptibles. Cette observation s’appli(jue <lu reste à toute espèce de voûter Si nous considérons par exemple la voûte de la fig. 3.'i, qui, avec ses pieds-ilroits isolés, n’est pus en écpiilibre, ainsi que l’indique lu courbe des pressions et (jue nous supposions que le pieil-droit s'appuie

contre une maçonnerie indéfinie, il est évident que le renversement ne pourra pas avoir lieu, parce que le pied-diuit poussé à l'extérieur fera naître une pression qui maintiendra l’équilibre; la courbe dus pressions ne {Mjurra donc sortir de la paroi extérieure et arrivera au point It. D'un autre côté, elle ne pourra s’avancer davantage vers l'intérieur, car ce serait admettre que le mur pousse le |)ietl-droit , lundis qu'il ne s’agit que d'une réaction qui ne [leul dépasser certaines limites, (à; n'est que par lu réaction du mur <pie la courbe «les pressions rentre dans le profil de la voûte et ipiand cette «’ourbe pas.se par le pied du mur, la réaction ne peut plus augmenter, car l'équilibre étant établi ,

«6 cri\i>. IV. — REcni'itcnE de la poshiom des joints de Rmi'nE. etc.

le mur cesse de se renverser. De celle observalion péncrale, il rcsiille que (juanil les voûles .sonl enlourccs de maçonnerie, les courhes de pression ne peuveni sorlir de leur paroi et sont tangentes à ces parois, si les voûtes et leurs pieds-droits considérés comme isolés ne sont pas en équilibre. Xous supposons que la maçonnerie extérieure est ellemême en équilibre et quelle ne pres.se la voûte que parce qu’elle eu est elle-même pressiie. 0"<md la voûte se trouve eiivironnce d'uii niasif i)ui, ti’ébinl pas en éipûlibre, exerce des pressions sur la paroi extérieure de lu voûte, la courlte des pressions de la voûte ne peut plus se déterminer que par la connaissance de ces pressions extérieures.

Ainsi, dans la fg. 35, si, à gaiiclie du pied-droit RY, il y avait, au lieu d’une maçonnerie en équilibre, un rendilai en terre exerçant une [Muissée, la courbe des pressions pourrait prendre, au lien de la position WR, la position &'ÿ«R' ipii amènerait le renversement du pieddroit à l’intérieur. Nous ne faisons cette obserA'ation que pour aller au-iievant d’objections cpii pourraient se présenter à l'esprit du lecteur; [Miur le moment, nous ne considérons que des voûtes soumises à des charges verticales.

Il nous reste à examiner le cas des voûtes en plate-bande, c’est-à-dire, de celles dont l'intrados est une horizontale. Il est clair tpie |K>ur ces voûles comme pour les voûtes incomplètes, le joint de nipture se trouve aux naissances, puisi]ue c’est évidemment en ce point <pie se trouve le maximum du moment de renversement. Donc si K est le point d’application de la poussée à la clef, fig. dit, au moincut du déciniremeni, la courbe dynamique passe pur les [aiiiits K et I), et se confond avec la courlie sialique quand l'équilibre est établi. (Juanl à la position du point K, elle est toujours indéterminée, mais moins que dans les autres voûtes. lÀii etTel, il est évident <pie le jaiint R de.scendra au décintrement d’une petite quantité, l’intrados devenant une ligne brisée plus longue ipie la ligne droite primitive; le joint doit donc s’ouvrir en R et, par constàpicnt, la pression y sera nulle, d’où il suit que .\k est égal tout au plus au tiers de .\R. Du devra donc dans le calcul de la [wussee