CHAPITRE V

EXAMES HISTOniOUE ET CRITIQUE DES DIVERSES THÉORIES DE L’ÉQUILIBRE DES VOUTES.

Pour bien faire comprendre en quoi les considérations que nous avons exposées dans les chapitres précédents dilTérent de la théorie qui est aujourd’hui généralement admise, il nous parait indispensable d’exposer les transformations qu’elle a subies depuis le moment où la science s’est occupée de ce problème. Cet examen historique nous fournira d'ailleurs l’occasion de signaler les points où nous avons cru devoir nous en écarter et de motiver de nouveau notre dissentiment. L’autorité des noms sur lesquels s’appuie cette théorie, nous fait un devoir non-seulement de démontrer l’exactitude de certains principes que nous proposons d’y introduire, mais de signaler en quoi nous trouvons inexacts les raisonnements sur lesquels s’appuient ceux qu’ils viennent remplacer. Ce sera, pour ainsi dire, une seconde démonstration qui nous fournira l’occasion de développer et de compléter certaines parties de l’exposé du chapitre précédent et d’amener ainsi , nous l'espérons du moins , une conviction complète dans l’esprit du lecteur.

CIIAP. V. — EXAMKN IIISTORIQIE ET CRITIQUE DES DIVERSES THÉORIES, ETC. 109

La llire parait être le premier qui se soit occupé seientifiquemenl du problème de l’équilibre des voûtes. Dans son mémoire {Histoire de f Académie des sciences, année 1712), après avoir constaté que, jusqu’à présent, les architectes n’ont trouvé aucune règle certaine pour déterminer la force que doivent avoir les pieds-droits pour soutenir la poussée des voûtes, il établit ainsi sa nouvelle théorie :

O On remarque ordinairement que lorsque les pieds-droits d’une « voûte sont trop faibles pour en soutenir la poussée, la voûte se fend « vers le milieu , entre son imposte et le milieu de sa clef ; c’est « pourquoi on peut supposer que, dans la moitié supérieure du demi- « arc, tous les voussoirs sont si bien liés les uns aux autres qu'ils ne « forment que comme une seule pierre et c’est sur cette position et sur « la solidité de la fondation où les pieds-droits sont assis que l’on « établit la démonstration de la règle que nous trouverons dans la B suite. »

C’est sur ces deux hj'pothèses inexactes que La Dire établit son calcul. La première, qui consiste à regarder le joint où la voûte se fend comme placé au milieu de l’arc, n’a pas de conséquences bien graves, parce que le moment de rupture à l’arc de 45 degrés ne diffère pas beaucoup de celui qui a lieu à 30 degrés. La seconde hypothèse, qui consiste à considérer comme une seule pierre l’ensemble des voussoirs supérieurs, serait de nature à augmenter sensiblement la stabilité , si elle n’était accompagnée d’une troisième hypothèse qui consiste à faire abstraction du frottement sur le joint de rupture, frottement dont l’énergie et l’intensité seraient certainement considérables et dont on se rendra compte à la seule inspection de la fig. 40 qui représente le renversement de la voûte sur le côté gauche, suivant la théorie 4^ La llire, et sur le côté droit, suivant la théorie actuelle. On évalue à 0,76 le coefGcient du frottement de la maçonnerie sur la maçonnerie, mais ici on remarquera que par l’etfet de la rotation de la partie inférieure, le poids de la partie supérieure portant sur un angle, augmenterait ce coefficient et qu’enfin ce frottement agirait à l’extrémité d’un très grand bras de levier ; il n’est donc pas permis

110 CIIAP. V. - KXAJIF.N IIISTOnUiLF. ET CBlTigCE DES DIVEIISES TlIKORIES. ETC.

de négliger l’effet d’une force aussi considérable. Aussi les formule.s qu’on a établies sur la théorie de La Ilire donnent-elles jxjur l’épaisseur des culées des chiffres trop considérables (*). Elles n’en ont pas moins servi de règle aux ingénieurs pendant plus de cent ans et ce n'est qu’assez récemment (**) qu’on a cessé de les prendre pour guide. Ce succès s’explique facilement, .puisqu’elles n’avaient d’autre inconvénient que d’exagérer les dépenses, ce que les constructeurs préfèrent, en général, au risque de compromettre la stabilité de leurs constructions.

On trmive dans les iMimoiret de l' Académie dei sciences de 1729 et 1730 deux mémoires de Coiqdet, auxquels il nous semble qu’on n’a pas assez rendu justice. Couplet est le premier qui, pour soumettre au calcul l’équilibre des voûtes, soit parti de l'IiypoUièse d’une simple rotation autour des arêtes de leurs voussoirs. Voici comment il expose les bases de sa nouvelle hypothèse (1730) :

« Quand je dis que je considère les voussoirs comme assez liés pour « ne pouvoir point glisser l’un sur l’autre, je ne prétends pas pour cela « les considérer dans la voûte comme ne faisant tous ensemble qu’une « seule pièce ou un seul corps, j’entends seulement par cette liaison « que les faces des voussoirs qui se toucheront, seront assez embarrassées « par l’engrènement de leurs parties pour ne point glisser les unes contre « les autres et que cette liaison ne s’opposera point à l’écartement des « voussoirs dans la rupture de la voûte, en sorte que ces voussoirs O pourront être écartés l’un de l’autre par toutes forces où il n’y aura « point de frottement de leurs faces l’une contre l’autre. »

En partant de ce principe, voici comment il résout son premier problème.

« Soit une voûte circulaire RAF {fig. 47) dont l’intrados SBE et l’ei-

(*) M. Audoy, dans un remarquable mémoire que nous citerons plus loin, a fait rassorlir ce résultat en mettant en regard les divenea épaisseurs fournies par les formules de l,4i Hire, avec celles qui résultent de sa théorie.

(,**) Le Traité de cofutrucHon de M. l'in^pectour général Sganiin (édition de 182t) contienl encore les tables calculées d'après la formule de La Uire.

CHAP. V. — EXAIIKN IIISTOItlQlE KT CRITIUUK DES DIVERSES THÉORIES, ETC. 111

« trado.s RAF soient des demi-eeroles concentriques, il s’agit de dêter- « miner la moindre épaisseur AB qu’on puisse lui donner. »

« Pour cela, je sufipose que la voûte est composée de quatre voussoirs « égaux attachés eriscmhle comme par des charnières aux points A, T, K, « et aux coussinets par des charnières F, H, etc. »

Ces citations ne me paraissent devoir laisser aucun doute sur le mérite qui doit être atü'ibué à Couplet d’avoir trouvé le véritable mode de renversement des voûtes. Il n’y a d’inexact dans sa tliéorie que la position des joints de nipture sur laquelle il adopte l’opinion, généralement reçue à cette époque, que ces joints doivent se trouver sur le milieu de l’intrados. Cette erreur, qui n’aurait peut-être pas des conséquences très-graves en ce qui concerne le plein cintre, il la généralise pour les voûtes incomplètes en plaçant toujours le point de rupture au milieu de l’arc compris entre la naissance et le sommet, de sorte que ces voûtes se divisent toujours en quatre parties, tandis que, dans la théorie nouvelle, elles ne se diviseraient qu’en deux.

Peu de temps aprè.s la publication des mémoires de Couplet, M. Danizy, de r.Académie de Mont[>ellier, Ot des expériences en ivctit qui confirmèrent la théorie de Couplet en ce qui concerne le mode de renversement des voûtes. Elles prouvèrent de plus que les fMiints de rupture ne sont pas toujours placés au milieu des reins, comme on le supposait alors. Ce fut peut-être le point de départ des recherches de Coulomb (mémoire de 1773).

On doit à ce célèbre physicien d’ax'oir parfaitement déterminé les conditions d’équilibre de chacune des portions de voûte, l’inten.sité de la poussée au sommet de la voûte et une méthode pour déterminer la position des joints de rupture. Cette méthode consiste dans un tâtonnement; on prend arbitrairement d'aliord un point de l’intrados pour charnière de la partie supérieure de la voûte, puis un point au-dessus; si la poussée calculée par rapport à ce dernier point est supérieure à celle du premier, fon sera lûr, dit Coulomb, yue f anglt de rupture de la voûte est entre la elef et le premier joint.

<12 CUAP. V. - EXAMEN HISTORIQUE ET CRITIQUE DES DIVERSES THÉORIES, ETC.

La vcritablc théorie des voûtes était enfin trouvée; cependant elle demeura stérile pour la pratique. Voici comment .M. Poncelet explique ce fait {Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 18j2).

« La généralité et le vague dans lesquels Coulomb s’était renfermé sur « ce point et celui qui concerne la position de la poussée à la clef, le dé- « faut même d'exemple ou de toute application à des cas spéciaux suffisent « pour expliquer comment les belles et utiles conceptions de cet illustre « ingénieur étaient demeurées jusque dates ces derniers temps en un comn plet oubli, malgré leur valeur scientifique et pratique. »

Qu’il nous soit permis d'ajouter qu’avant la création de l’École polytechniipie, les connaissances mathématiques n’étaient pas vulgaires. Les hommes pratiques étaient plus architectes qu’ingénieurs, la méthode de La Ilire traduite en formule satisfaisait à tous les Iwsoins, puist]u’en l’appliquant, on arrivait à construire des voûtes stables; on ne cherchait donc pas à la perfectionner.

Un ingénieur des ponts et chaussées chargé de la construction de plusieurs ponts, entre autres de celui de Nemours, M. Hoislard, crut reconnaître que les méthodes et formules en usage n’étaient pus conformes aux faits pratiques et chercha une nouvelle théorie en renouvelant les expériences de Danisy sur une plus grande échelle.

Dans son mémoire, M. Boistard, après avoir rapidement passé en revue les recherches faites sur la poussée et l’équilibre des voûtes, y compris celles de Bossut et de Proiiy dont nous n’avons pas parlé, parce que nous n’y avons vu aucun progrès sur les travaux antérieurs, M. Boistard, disonsnous, expo.se ainsi la situation de la science au moment où il entreprend ses expériences.

« Cet exposé très-rapide de ce qu’on a écrit sur la statique des voûtes « fait voir combien nos connaissances sont peu avancées sur cette partie; « loin de connaître les conditions nécessaires à l’équilibre d’une suite de « vou.s.soirs, nous n’avons pas même de formule qui renferme l’expression « exacte de la poussée contre les pieds-droits et la question si importante

CDAP. V.-F.XAMFN III.STORIOVK KT CBITIÜUE DFS DIVERSES THEORIES, ETC. m

« lie l’épaisseur des culée», d'une utilité si journalière, est restée jusipi'à « présent sans solution. »

Il résulte de cette citation que M. Boistard ne connaissait pas les travaux de Coulomb, que d’ailleurs il ne cite pas. Quoi qu’il en soit, ses expériences eurent pour résultat de confirmer cette théorie entrevue par Couplet et servirent de guide aux recherches de Gauthey et de Navier, dans lesi]uelles la théorie de La Hire e.st définitivement abandonnée.

M. .4udoy, chef de bataillon du génie, a publié en 1820 un mémoire sur la poussée des voûtes en berceau [Mémorial de F officier du génie), dans lequel il a soumis à une analyse plus simple et plus complète la véritable théorie de ces voûtes, qui était désormais établie sur des bases indiscutables. Résumant les travaux les plus récents de ses prédécesseurs, ce savant officier s’exprime ainsi :

« Les procédés que proposent M.M. Boistard, Gautliey et Navier con- « duisent à des résultats dont l’exactitude est incontestable ; cependant ils B peuvent être simplifiés, ainsi qu’on le verra tout à l’heure. »

Les calculs et les formules de M. Audoy sont plus complets que tous ceux de ses prédécesseurs; il les applique à des formes de voûte très variées; mais quoiqu’il soit parvenu à donner, pour ainsi dire, des ty pes de calcul pour la stabilité d’un grand nombre de voûtes, la question après son travail est restée compliquée. Cet ingénieur en convient lui-même à la fin de son mémoire, par un aveu qui en augmente le mérite sous tous les rapports, car il fait voir qu’il comprenait parfaitement les besoins de la pratique.

« Nous regrettons, dit-il, de n’avoir pu exprimer cet équilibre dans « chaque cas particulier par des formules plus courtes et moins compli- « quées; car, il faut l’avouer, quoique dans les applications, l’on puisse B négliger quelques portions de ces formules, à cause de la petitesse des B quantités qu’elles représentent, les calculs à faire n’en resteront pas B moins fort laborieux ; mais c’est un inconvénient qui parait inhérent à B la nature de la question. Au surplus, les ingénieurs rendront service B à la pratique, s’ils parviennent à simplifier ces formules ou à les B construire géométriquement, de manière à épargner des calculs. »

iU CHAP. V — EXAMEN HISTORIQUE ET CRITIQUE DES DIVERSES THEORIES, ETC.

Le vœu de M. Audoy a élé rempli par un iiipéiiieur des punis et chaussées, comme on le verra tout à l'heure; mais avant de parler de son travail, nous devons dire un mot d'mi trop court, mais très substantiel mémoire publié en 1823 (ÀHHa/es dtt miRr«) par MM. Lamé et Clapeyron.

Les calculs de MM. Lamé et Clapeyron, établis d’après lu formule de Coulomb, ne pmiiaient conduire à d’autres résultats que ceu.x qui ressortent du mémoire de .M. .Audoy. Celte coïncidence est signalée en ces termes par les commissaires de l’Académie chargés d’apprécier leur travail (>LM. Prony et Dupin) :

« En 1820, parut dans le n“ 4 du Mémorial de foncier du génie U un beau mémoire de M. Audoy, chef de bataillon du même corps, « dans lequel cet officier traite avec beaucoup de détails les diverses « questions relatives à la mécanique des voûtes : c’est lui qui nous parait n avoir le premier ramené la condition d'après laquelle on détermine le « point de rupture à des termes plus simples en la faisant dépendre, « non du maximum du rapport entre deux moments de force, mais du « maximum d’un des termes de la somme de ces moments, ainsi que « nous l’avons expliqué précédemment, lorsque nous avons dit que « MM. Lamé et Clapeyron avaient introduit dans leur analyse cette « même simplification, u

U On voit par ce qui précède que ces deux jeunes ingénieurs ont été « devancés dans la découverte des bases fondamentales de la théorie « exposée dans leur mémoire; nous ne devons pas en conclure cepen- » dant que le contenu de ce mémoire n’est pas tiré de leur propre U fonds. »

En analysant leur mémoire, M. Poncelet dit : « Ils sont conduits pour « la détermination des joints de rupture ou de ma.\imum de poussée à « des résultats analogues a ceux qui avaient été déjà obtenus par « M. Audoy, d’après la théorie de Coulomb; mais ils y ont joint diverses « remarques ou applications qui donnent à leurs recherches un cachet « particulier d’originalité. »

CIIAI'. V.-EXAUKN mSTORlQl’K ET CIUTIUEK DES DIVERSES THÉORIES, ETC, 115

Parmi ces remarques, qu’il nous soit permis de citer celles qui concernent la position du point de rupture , parce que , complètement conformes à notre théorie, elles ont été complètement oubliées par les savants et les ingénieurs qui se sont occupés de la question d'équilibre des voûtes et, ce qu’il y a d’étrange, par M. Lamé lui-même, ainsi qu'on le verra plus loin.

p«lut 4e rupture «e treuve à I» Ml«Mmce «outeai les ro4te«

•arlMilKséeii , deat l’erlfrUie se tremre du pelai de rupture

déicruilué peur lu rodle loCule.

Pour ces dernières voûtes, le point de rupture est ainsi déüni :

l#e peUu de rupture e«i celui peur lei|ael lu tuufeute 4 l’Iatrudos en ce point rient couper l'iiorlsoutale puecunt pur le uommet de 1» clef, un ntènie point que lu rcrtieule pu»suut pur le centre de sruvlté do lu muuce tendunt 4 se détueher.

Cette déOnition ne diffère en rien de celle que nous avons donnée dans le chapitre précédent.

M. Lamé déduit du théorème qu’il vient d’établir un procédé graphique pour la recherche des points de rupture: il consiste à construire la courbe résultant de l’intersection de la tangente en un point quelconque de la courbe intrados et de la verticale qui passe par le centre de gravité (le la .surface correspondante ; cette courl>e confiera l’horizontale qui jmu par CextrémiU supérieure de ta clef en un point; si parce point on mène une tangente à la courbe intrados, le fioint de contact sera le point de rupture.

Ce tracé est aussi celui que nous avons indiqué ; seulement il y a une correction à faire à l’énoncé de M. Lamé, en substituant à l'horizontale passant par le sommet de la voûte, celle qui passe |>ar le point d’application de la poussée, ces deux points ne se confondant que très accidentellement.

116 CIIAP. V — EXAMKN HISTORIQUE ET CRITIQUE DES DIVERSES THÉORIES, ETC.

On doit aussi à M. Lamé l’idée de la simplification qui consiste <à supposer que la rupture se fait suivant une ligne verticale, ce qui simplifie beaucoup la solution de tous les problèmes relatifs à l'équilibre des voûtes, sans altérer sensiblement les conditions d’équilibre.

Enfin .MM. Lamé et Clapeyron terminent leur mémoire en faisant obsener combien il est important de se rendre compte du rapport (|ui existe entre les pressions exercées dans les différents points d’une voûte et la résistance des matériaux ; ils font remarquer que dans la plupart des grandes voûtes la |iression que sup|»orlent 1a partie supérieure de la clef et les points de rupture est énorme et s’exerce sur une très-petite surface ; qu’en conséquence on devrait s’attacher à répartir autant que possible celte pression sur toute l’étendue des plans de joints ; ils ajoutent que la solution de celte question, la plus importante qui reste à résoudre dans la construction des voûtes, dépend d’un emploi raisonné des mortiers, de la taille des pierres et de soins minutieux à apporter dans le décintrement.

C’est là, selon nous, une erreur fondamentale que nous combattrons plus loin, l’our le moment, nous ferons observer que celle o])inion est en contradiction manifeste avec les théorèmes qui font le principal mérite du mémoire. On a démontré, en effet, que les points de rupture étaient sihiés à l’intrados ; cette démonstration s’appli()ue à toute espèce de voûte et est indépendante des mortiers,' de la taille des pierres et du décintremenl. Il n'est donc plus permis de placer ces points dans l’intérieur des voûtes et de se décharger, sur l’expérience des constructeurs e.xercés, du soin d’indiquer les méthodes les plus convenables pour résoudre le problème ; e’est faire croire qu’avec certains mortiers, certaines tailles de pierre et certains soins apportés dans le décintrement, on peut modifier le tracé de la courbe des pressions.

C’est là, selon nous, une erreur très regrettable du mémoire si remarquable de MM. Lamé et Clapeyron, d’autant plus que leur autorité a entraîné dans cette fausse voie les travaux des savants dont il nous reste à parler.

iNous croyons devoir passer sous silence ceux qui n’ont fait qu’exposer ou

ClIAP. V. -EXAMEN IIISTOIUQUE ET CRITIQIE DES DIVERSES THEORIES, E;T(;. 117

développer les principes déjà connus, quoique, sans conlredit, ils aient rendu service à la science eu la vulgarisant. Cependant nous croyons devoir nous arrêter un instant sur le cours de constructions de ,\l. Navier, |Miur expliquer comment cet éminent ingétiieiir résolvait la question difïicile dont ■MM. Lamé et Clapeyron laissaient la solution aux constructeurs exercés.

.\prcs avoir expliqué que, dans une voûte qui par ses dimensions est à l’équilibre limite, les joints de rupture se trouvent à la clef à l’extrados et aux reins à l’intrados, M. Navier ajoute {Leçons sur L application de la mécanique, 1833) ;

« Dans la réalité, les voussoirs n’étant pas des corps parfaitement durs, « on ne peut admettre que les pressions s’e.xcrccnt ainsi contre des

« arêtes Il parait nécessaire d’avoir égard à l’élasticité de la matière

« des voussoirs, pour évaluer les efforts auxquels les pierres sont exposées. « Cette question serait un cas particulier d’une question plus générale qui M consiste à déterminer les effets qui se produisent dans un corps quelconque « soumis à l’action de diversiÿ forces. La solution de ce problème ne « pouvant être donnée ici, on cherchera à déterminer les efforts dont il « s’agit d’apres des suppositions qui paraissent s’éloigner très peu des effets « naturels »

« A la clef, nous admettrons que les deux voussoirs séparés par ce joint « ne pressent point l’un contre l’autre par l’arête inférieure. »

a Au joint de rupture, on admettra également que la pression est nulle à « l’arête supérieure. »

« La pression par mètre qui résulte de cette hypothèse, est double de « celle (pi’on trouverait, en supposant l’effort uniformément réparti dans « toute la hauteur du joint. »

On voit que d'après cette méthode de calcul, lt>s dimensions des voussoirs sont aussi faciles à calculer que celles des assises d’un pilier vertical. Si l’on a une pression de 10 000 kil. à faire supporter au joint de rupture et que la pierre soit de nature à ne porter d’une manière permanente que 10 kil. par centimètre carré, on donnera au joint une surface de 2 000 centimètres carrés, tandis qu’on ne donnerait que I 000 centimètres à un pilier vertical.

m CHAP. Ÿ.-EXAMES mSTORlQlE ET CRITIQEE DES DIVERSES THÉORIES, ETC.

Rien n’est plus simple, comme on le voit, mais malheureusement rien n’est plus faux. Nous en avons donné de trop nombreuses démonstrations dans les chapitres précédents, pour avoir besoin de les rappeler ici.

Disons seulement en passant que le principe de ,M. .Xavier est encore aujourd'hui celui qu’on emploie f«ur déterminer les deux points de la courbe des pressions indispensables pour fixer son tracé. A la clef, on place un des points au tiers du joint à partir de l’exlrados; au joint dit de rupture, on place l’autre point au tiers du joint a partir de l’intrados. Quant à déterminer ces joints, on suit une règle empirique qui consiste à les placer là où on les a expérimentalement reconnus dans des constructions de même forme. La courbe de pression passant par les deux p<nnts ainsi déterminés est celle qui est supposée se réaliser et elle sert à calculer les dimensions de la voûte et de ses culées.

Avant de parler ici de la courbe des pressions, nous aurions dû faire connaître le travail où ce procédé géométrique a été indiqué pour la première fois. Nous avons déjà, dans les ehaphres précédents, eu l’occasion de dire qu’il est dû à M. Mérv', ingénieur des ponts et chaussées. Les conditions d’équilibre de chaque voussoir avaient été parfaitement déterminées par Coulomb et développées par ses successeurs, mais cette méthode semblait rendre nécessaire un calcul spécial pour chaque voussoir. C’était là une difficulté qui devait laisser du doute dans l’esprit des constructeurs, en général peu habitués aux calculs compliqués. M. Méry (*) eut l'heureuse idée de réunir par une ligne les points de passage de la résultante des pressions sur les joints de voussoirs et il obtint ainsi une courbe qui représente graphiquement l'équilibre de la voûte.

Nous n’avons pas à décrire ici les procédés de construction de la courbe,

(*) Dans son Mémoire hietorîque^ M. Poncelet dit que c'est à tort qu'on attribue rinitiativc de» recberebos sur les propriétés de la courbe des pressions à M. Méry, qui ne s'en semit occupé que quelques années après H. Mosdey. Dans sa traduction de la Théorie des voûtes de Schefller, M. Victor Fouruté établît les litres de priorité de M. Méry. Sou travail est reste maouscrit jusqu'en ISiOtmaisil avait été fait en Ui7; celui de M. Moadey n'a été publié qu’en 1S33 dans le Philosophical Mayazine.

CIIAP. V,— KXASIEN HISTOKIQLE ET CRITIQUE UES DIVERSES THEORIES, ETC. 119

ni les conséquences ([u’on peut on tirer, puisque nous l’avons fait dans le chapitre précédent. Il ne nous reste qu’a faire voir ce que la méthode a d’inexact et d’incomplet.

Le vice capital de la théorie de M. Mérv, c’est qu’elle mécuiinaU la nécessité et le rôle des points île rotation ; cet ingénieur n’hésite pas à les placer dans un [loinl quelconque de la voûte, ce qui revient à les supprimer. Ainsi, dans la figure W (9 du mémoire de M. Méry), voici comment cet ingénieur s’y prend pour résoudre à la fois le problème de la solidité et de la stabilité de la voûte. Il retranche d’alwrd à l’intrados et a l’extrados deux zones concentriques dW, üü' d’une épaisseur telleque, si la courbede pression ne fait que les toucher, la maçonnerie ne supportera qu’une certaine pression P par centimètre carré; la question de solidité se trouve ainsi résolue, (juant à la question de stabilité, elle l’est aussi, si l’on peut faire passer une courbe de pression entre les deux lignes intérieures ô'da' et BlfA'. « Si, pour plus de sécurité, dit .M. Méry, l’on rend cet intervalle un « peu plus grand, il existera une infinité de positions admissibles à priori « pour lu courbe des pressions, l’une d’elles correspondra à la moindre « poussée et l’autre à la plus grande; et ce n’est que par des considérations « plus ou moins incertaines sur les cH'cts du tassement, que l'on pourrait « prévoir quelle est celle qui doit se réaliser. »

Ainsi, on le voit, M. Méry fait une place au milieu du joint où il espère que la courbe de pression passera, parce qu’il serait avantageux qu’elle y passât, tant dans l’intérêt de la stabilité que de la solidité de la voûte. Il est réellement étrange qu’en reconnaissant que le tassement de la voûte peut déplacer la courbe de pression, il limite cette possibilité à deux cercles concentriques qui n’ont d’autre raison d’être que d’assurer la solidité de la voûte. Il semble dire à la courbe de pression : Je vous ai réservé une place sufQsante pour vos excursions, à la condition que vous n’en franchiriez pas les limites, veuillez donc les respecter. Eh bieni si l’on a suivi les démonstrations de l’article précédent, on reconnaîtra que la courbe de pression en sortira certainement dans la plus grande partie de son étendue. En effet, dans le tracé pèa de la courbe de pression de M. Méry, il n’y a

|j« CIIAP. V.-KXAMKN IIISTORIÜIE ET CltlTIQlE UES DIVEIlsES TIIEoRIES. ETC.

aucun joint de rolnliim, on traite la question comme si l’on avait à la clef une force horizontale dont on put faire varier rintensité à vcdoiité. Dans ce cas théorique, elTcctivement la courlie ftî» peut se réaliser, le point » peut même être transporté à l’extrémité de l'intrados et la voûte être renversée tout entière extcrieur<!ment. (JueKpie chose d’analopue arriverait si la voûte considérée était un arc-houtant placé contre un mur lui-incmc poussé par une autre voûte ou par des terres; mais il s'agit ici d’une voûte dont on représente la moitié et où la jMuissée ne peut être produite que par la rotation des deux parties supérieures et symétriques, s’appuyant l’une sur l’autre. S’il n’y a pas de rotation, il n’y a pas de poussée; et s’il y a rotation, il y a nécessairement des charnières placées à l’iidrados. Pour mieux faire comprendre la dill'érence entre la théorie de M. Méry et celle qui est exposée dans cet ouvrage, nous indiquons sur le côté gauche de la figure 18 la courhe de pression telle qu’elle serait donnée f>ar cette dernière et, à la seule inspection de cette figure, on reconnaîtra combien il jteut être imjajrtant pour la pratique d’adopter l’une ou l'autre théorie. Dans celle de M. Méry, point de précautions à prendre pour le joint de rupture, qui se trouve tout simplement supprimé; le danger est reporté à la nai.s.sance, où il faut augmenter démesurément l'épaisseur du joint pour (]ue le point a ne sorte pas |jar l’extrados ou ne franchisse j)as la courbe limite. Dans la nouvelle théorie, au contraire, tout le danger est concentré sur le point de rupture et, à la nai.ssance, la courbe de pression pa.«se très près de l'intrados, ce qui éloigne toute crainte de renversement à l’extérieur.

En résumé, dans la théorie de M. Méry, le champ où la courbe de pression peut venir se placer n’a d’autre» limites que celles des vousaoirs eux-mimes; dans la théorie nouvelle, il est l>eaucoup plus restreint : la condition du joint de rupture à l’intrados le réduit d’abord de moitié ; la condition du point de passage de la poussée, tatitût au-dessus, tantôt audessous de la moitié de ré|>ais.seur de la clef, selon la nature de la voûte, le réduit encore à la moitié de ce qui reste. Il en résulte qu’au-dessus du point de rupture, l’indétermination est réduite de plus des trois quarts; au-dessous, elle disparaît ]-resque entièrement.

CHAP. V.-EXAMEN HISTORIQUE ET CRITIQUE DES DIVERSES THÉORIES, ETC. lit

M. Méry attribue rindétermination, que sa construction graphique laisse à la position de la courbe de pression, au tassement de la voûte dont on ne sait pas tenir compte avec exactitude. Ce n’est, dit-il, que par des considérations plus ou moins incertaines sur les elTets du tassement que l’on pourrait prévoir quelle est celle qui doit se réaliser. Il en est effectivement ainsi ; mais il faut distinguer dans le mouvement des voûtes deux espèces de mouvement : l’un nécessaire, inévitable et indispensable, qui a pour résultat d’amener l’équilibre par la production de la poussée, c’est le mouvement virtuel de rotation qui fait que les deux parties supérieures de la voûte s’appuient l’une sur l’autre; l’autre accidentel, qui tient à la manière dont la voûte a été construite, à la dureté des mortiers, au plus ou moins de solidité des culées, etc... Celui-ci, en effet, est incertain et inaccessible au calcul, puisqu’il dépend de circonstances tout à fait fortuites; mais, comme nous l’avons vu, les résultats de ce mouvement accidentel sont renfermés dans d’étroites limites. Ainsi, par exemple, quel que soit le soin ou la négligence apporté dans la construction de la voûte de la fig. 48, jamais la courbe de pression ne pourrait y prendre une position telle que celle qu’indique .M. Méry. Nous insistons d’autant plus sur ce qui nous parait défectueux et inexact dans le mémoire de M. Méry, que le procédé géométrique dont il a enrichi la science l'a i^ndu très populaire et qu’il a passé dans la pratique générale des ingénieurs et des architectes. Nous en avons nous-méme largement usé dans le chapitre précédent; nous serions donc désolé qu’on vit dans la critique que nous en faisons l’intention d'en diminuer la valeur. L’erreur capitale que nous lui reprochons n’est d’ailleurs pas propre au système, on en trouve le germe dans le mémoire de JLM. Lamé et Clapeyron et elle est tout entière dans les leçons de M. Navier; le seul tort de M. Méry est de l’avoir laissée passer sans la corriger.

Après les travaux de cet ingénieur, nous devons parler de deux mémoires de .M. Yvon Villarceau, où les conséquences de cette erreur sont poussées à leurs dernières limites. Partant de ce principe que la pression sur l’arête d’un voussoir augmente beaucoup quand la ligne de pression se déplace même légèrement, puisque, par exemple, elle double en passant

ISt CHAP. T.-EXAMEN HISTORIQIE ET CRITIQUE DES DIVERSES THÉORIES, ETC

de la moitié au tiers de leur longueur, M. Yvon Villarceau a cherché à modifier la courbe d’intrados de manière que la courbe de pression passât exactement au milieu de la longueur des voussoirs. Appliquant à la solution de ce problème les ressources les plus compliquées de l’analyse, il fait voir que, par une très légère modification de la courbe d’intrados, on peut arriver à ee résultat de rendre possible le passage de la courbe des pressions par le milieu des joints, ce qui réduit la pression par centimètre carré à son minimum.

La théorie une fois établie, M. Yvon Villarceau refait le profil de tous ponts construits par les plus célèbres ingénieurs, en réduisant leurs épaisseurs à la clef; cela lui permet en même temps de franchir les limites d’ouverture dans lesquelles la pratique s’est maintenue jusqu’à présent. En effet, par rapport à M. Navier, qui plaçait la courbe de pression au tiers du joint de rupture, la théorie de M. Villarceau, qui la place à la moitié, correspond à une diminution de moitié dans la pression maximum et il est évident qu’elle pemiet de faire de bien plus grands ponts.

M. Yvon Villarceau était d’ailleurs logique; dès qu’on admettait qu’on pouvait placer les charnières de la voûte dans l’intérieur des joints, il était bien mieux de les mettre au milieu qu’au tieis. D’un autre eôté, il faut le dire à l'honneur du mémoire de M. Méry, cet ingénieur fait une part au mouvement de la voûte qui s’opère après le décintrement ; il convient qu’on ne peut pas trop savoir quelle est la courbe de pression qui se réalisera. M. Yvon Villarceau ne partage pas celte incertitude ; il rend sa courbe possible et il en conclut qu’elle se réalisera, sans faire attention que son procède n’a pas rendu les autres courbes impossibles et que, même dans la théorie qu’il adopte, il y a l’infini à parier contre un que sa courbe ne se réalisera pas. Il va sans dire que, d’après la théorie que nous exposons, il y a certitude qu’elle ne se réalisera pas, puisque la courbe ne louche pas l’intrados.

A part celte erreur fondamentale, les recherches de M. Yvon Villarceau nous paraissent manquer leur but par leur complication. A’ous avons fait voir qu’en appliquant la méthode de .M. .Méry, rien n’est si facile que de

CIIAP. V.-EXAMF.N IlISTOmCiUK ET CRITIQL'E DES DIVERSES THEORIES, ETa 113

faire passer la courl>c de pression par une série de points donnés, par le tracé graphique que nous avons indiqué; c’est une affaire de tâtonnement qui ne peut ciiger que fort peu de temps. Ajoutons que, pour obtenir ce résultat, M. Yvon Villarceau altère le profil de l’intrados, souvent déterminé par des convenances architecturales, et qu’il est bien plus simple d’évider l’intérieur de la voûte.

Malgré ces critiques, qui nous paraissent enlever au travail de M. Yvon Villarceau toute valeur pratique, il n’en a pas moins été, de la part de r.Académie des sciences, l’objet de rapports très élogieux. Le premier rapport fait par M. Lamé (*) contient le passage suivant :

a Un travail aussi précis, aussi complet, mérite de fixer l’attention des « ingénieurs et des architectes, nous émettons le vœu que le système de « voûte imaginé par M. Yvon Villarceau soit adopté et exécuté dans quel- « que construction importante. Il est facile de détruire ici les objections « qui accueillent d’ordinaire toute idée neuve dans l’art des constructions. Cl Sans doute la forme de voûte proposée est moins simple que la ligne « circulaire, exclusivement adoptée jusqu’ici; mais on peut s’assurer, en a regardant les tracés d’arches de M. Yvon Villarceau, que leur forme n’a (c rien de disgracieux et qu’ils semblent même être à la fois pjus hardis et cc plus sûrs que tout autre tracé. »

« Sans doute lors du décintrement et du chargement des matériaux, la ce compressibilité des voussoirs et des mortiers produira une déformation « et amènera une nouvelle distribution des pressions sur les surfaces de « joint; mais d’abord les altérations de forme peuvent être prévues et rec- « tifiées comme à l’ordinaire et, quant au poini de la résultante des preste sions sur chaque joint rectangulaire, il ne pourra s’écarter que très peu « du milieu de ce joint, tandis que dans les voûtes circulaires, ce point, « déjà très près de l’uitrados ou de I extrados pour certains joints, s’en « rapproche encore plus après le décintrement, en sorte que les voussoirs a voisins se trouvent soumis à une compression énorme sur une petite

n Le9 autres eotnmi&Rairrs étaient MM. Poncelet et Pîobert.

lïi CHAP. V.— EXAMEN HISTORIQUE ET CRITIQUE DES DIVERSES THÉORIES, ETC.

« étendue de leurs surfaces contiguës. Or, cette différence d'effet, toute à « l’avantage du système proposé, constitue en quelque sorte son système « et son but »

a En résumé, le travail de M. Yvon Villarceau est remarquable sur plus « d'un point. Outre les vues neuves qui concernent la théorie des voûtes, « il offre un exemple curieux de l'utilité des transcendantes elliptiques; les « calculs et surtout les méthodes d'approximation y sont maniés avec une « dextérité peu ordinaire. »

Nous n’avons voulu oter à la théorie que nous combattons aucun des appuis qu’elle a rencontrés chez les savants les plus compétents, pour que les lecteurs puissent juger en parfaite connaissance de cause la question qui nous divise ; mais il nous est impossible de ne pas faire observer qu’il est réellement étrange de voir le même savant qui avait démontré yue U point de rupture était situé à f intrados a» point où lu tangente rient couper f horizontale passant par le sommet de la clef, au même point que la verticale passant par le centre de gravité de la masse tendant à se détacher, que ce même savant couvre d'éloges un mémoire qui met à néant ce principe et qui n'est, pour ainsi dire, que la négation complète de son propre mémoire sur la même question, sans même faire le moindre effort pour expliquer cette contradiction.

Le second mémoire de M. Yvon Villarceau ne soulève aucun point de doctrine nouveau; ce n’est qu’une simplification des calculs que sa mé- Üiode rend nécessaires; nous ne nous y arrêterons donc pas. Nous ferons seulement observer que ce nouveau travail a été l'objet, à l'Académie des sciences, d’un rapport de M. Poncelet dont voici les conclusions :

« Quelle que soit, au surplus, l’opinion que l’on puisse se former i « priori du contenu de cette seconde partie du mémoire de M. ^'von Vil- « larceau, on ne peut méconnaître que le résultat des discussions et des n calculs approfondis auxquels il s'est livré, ne fournisse d’utiles indica- « lions pour l'établissement ultérieur des projets où l'on se proposerait de « construire des ponts dont ja portée excéderait la limite de ceux qu’on « doit jusqu'ici aux plus habiles ingénieurs ; et à ce point de vue ces addi-

CHAP. V.-EXAMEN HISTOniQUE ET CRITIQUE DES DIVERSES TDÉORIES, ETC. IM

« lions nous paraissent, ainsi que les tables, les dessins numériques et des- « sins d'arches de pont qui les accompagnent, mériter de paraître dans U les Mémoires des samnls étrangers, à lu suite de la première partie « dont l'impression a déjà été ordonnée. »

Nous ne saurions trop engager les constructeurs i|ui voudraient sortir des limites actuelles en fait d’arches de pont à se défier de ces conclusions, car elles seraient de natui'c à leur inspirer une sécurité dangereuse. Il est impossible que, dans un pont construit avec les méthodes ordinaires, la courbe des pressions passe par le milieu des joints ; si les calculs de .M. Yvon Villarceau arrivent à ce résultat, c’est qu'ils supposent à lu poussée une intensité qu’elle ne peut spontanément atteindre, comme nous l’avons démontré,

Quoique le mémoire de M. Carvallo sur la stabilité des voûtes ait obtenu un accueil aussi favorable de l’.Ycadémie des sciences, nous ne |)ouvuns en admettre davantage ni les principes ni les conclusions. En ell'cl, cet ingénieur part de l'hypothèse de M. N’avier, que lu courbe des pressions pas.se, à la clef, au tiers du joint à partir de l’extrados et, au joint de rupture, au tiers du joint à partir de l’intrados. Les courbes de pression qu’il considère sont donc, comme celles de M. Yvon Villarceau, des courlies dont la réalisation est impossible. Noirs devons d'ailleurs reconnaitre que les formules de .M. Carvallo sont beaucoup jdus simples et qu'il a bien su tirer parti de l'hypothèse dos joints verticaux. Les erreurs que nous lui reprochons ne lui appartiennent [>as, du reste; il les a trouvées dans les travaux de ses devanciers.

Il nous reste à parler d'un mémoire assez curieux du docteur Schefller, de Brunswick, que M. Poncelet a fait connaître en substance dans son Histoire critigue de la théorie des voûtes, histoire dont cet académicien a cru devoir faire précéder ses rapports sur les mémoires de M.M. Yvon Villarceau et Carvallo. Ainsi le travail de M. Schefller est antérieur aux études de ces ingénieurs; mais nous avons cru devoir n’en parler qu’après, parce qu'il appartient à un tout autre ordre d'idées que ceux de MM. Navier et .Méry dont M.M. Yvon Villarceau et Carvallo ne sont que les continua-

«26 CHAP. V — EXAUKN HISTOBIQtE ET CRITIQUE DES DIVERSES THÉORIES. ETC.

leurs; on va du reste en juger. Voici connnetil M. Poncelet expose la théorie du docteur Scheffler :

« Ces nouvelles recherches concernent plutôt le point de vue théorique H et ahstrail de la question des voûtes que ses applications pratiques à l'art o de l'ingénieur ; il s’agit, en un mot. de généraliser, en les rectifiant et a complétant en quelques points, les principes qui ont servi de Itase aux « théories existantes, en considérant que dans l'état d'équilibre d'une voûte, « la résultante des pressions sur le joint vertical île la clef doit satisfaire à « lu condition du minimum, d'apres un principe mis en avant par .M. Mo- « seley {l’hihsophical Magazine, «x'tobre 1833), sous le nom de principe n de moindre rétislanre, et dont M. Scheffler a ensuite étendu et mis en « son jour la véritable signification dans un précédent mémoire. »

« Ce principe, dont l'énoncé, assez évident en lui-même, pourrait être « généralisé encore, ne dilTcre pas, quant au fond, de celui dont Coulomb (*) a a oITerl, dans son mémoire de 1783, de si belles applications aux théories « de la résistance des solides, de la poussée des terres et des voûtes; toute « la difficulté étant seulement d’en tirer, sans trop de tâtonnement et de « calcul, des conséipences relatives à la forme et à la fxisilion de la ligne « de pression, en dehors du cas où elle est- supposée devoir passer par « certains points donnes à priori, ainsi que l’avaient fait auparavant « .>LM. Moseley et .Méry, en se plaçant franchement dans les conditions de « l’équilibre strict envisagées par Coulomb, comme de simples limites à la « stabilité des voûtes. Or, c’est là précisément ce que se propose de faire « M. Sebeffler, tout en rentrant dans l’hypothèse de l’incompressibilité n parfaite des voussoirs, et sans rien emprunter à l’expérience, non plus a qu’aux données antérieurement acquises sur les différents modes de

« rupture des voûtes

(*) L« tradiictf'urdcM. Scb('ffl(>rdit B ce « Nous n'aTons pu découvrir aucun mémoire « de Coulomb portant la date de f7i^3; si, comme il eé\ probable, il s'agit ici du mémoire « de 1773, nous devons dircqu'il nous a été impossible de trouver trace de l’emploi du principe « de moindre rêsislaoce. • Nous ne pouvons qu'adhérer à cette observation.

r.HAP. V. - EXAMEN IIISTOBIQLE ET CRITIQUE DES DIVERSES THÉORIES, ETC, 127

« Celle délcrmination, loule géomélrique à nos yeux, le (joinl capilal du CI mémoire exigcanl, pour ainsi dire, un nombre illimilé de conslruelions, « rend la mélliode à peu près illusoire dans ses applicalions à la pra- II tique. »

Cette critique de .M. Poncelet ne nous parait pas fondée. Voici d’ailleurs comme l’autew y répond dans son édition de 1837 (traduction de M. Victor Fournié) :

a M. Poncelet dit que ma méthode graphique pour la détermination de B la courbe des pressions, laquelle à ses yeux est la partie capitale de mon Il mémoire, rend presque illusoire l’application pratique de ma théorie Il parce qu’elle exige une infinité de constructions ou de tâtonnements. Je a dois croire que le sens vrai du mémoire lui a échappé à une lecture trop a rapide. Les nombreux exemples développés plus haut, même pour les Il formes et les charges les plus compliquées, montrent clairement que qui- II conque a une teinture des mathématiques peut appliquer celle théorie Il sans peine et avec la plus grande rapidité; qu’ainsi cette méthode est B pratiquement la plus simple de toutes. »

Si l’on veut se reporter à ce que nous avons dit dans les chapitres précédents, ou rcconnaitra que le tracé de la courbe de pression de moindre poussée n’ofl're aucune difficulté. M. .Méry, dans son mémoire, avait déjà indiqué comment on pouvait l’obtenir. Dans la plupart des cas, il n’y a pas besoin même de tâtonnement, car il est évident que la courbe de moindre poussée doit passer par le sommet de la clef quand elle ne coupe pas l’extrados, ce qui arrive presque toujours pour les voûtes surbaissées comme celles des ponts. Quand l’extrados est coupé, il est facile, en baissant ce point, de la rendre tangente. Il n’y a donc rien de fondé dans la critique de •M. Poncelet; d'ailleurs, là n’est pas la question, surtout au point de vue scientifique; la courbe de pression de moindre poussée est-elle, parmi le nombre infini de courbes possibles, celle qui se réalise? S’il en est ainsi, il faut bien l’accepter, dût son tracé présenter plus ou moins de difficultés. Or, d’après le commencement de la citation que nous avons faite plus haut, il nous semble que le savant académicien, non-seulement ne fait aucune

liü CHAP. V. -EXAMEN HISTORIQUE ET CRITIQUE DES DIVERSES THEORIES, ETC.

objection an principe de moindre résistance, mais qu’il le trouve évident (*) et susceptible d'être généralisé encore.

Or, s'il en est ainsi, comment [>eut-on admettre, comme le fait M. Poncelet, les travaux deM.M. Yvon Villarccau et (>arvallo qui non seulement laissent ce principe de côté, mais en sont la négation, puisque la courbe de pression cherchée doit s'éloigner autant que [lo.ssible de l'intrados et de l’extrados, tandis que M. Schcirier prétend qu’elle a au moins trois points de contact avec les courbes limites de la voûte? Il y a là une contradiction évidente que nous nous bornons à signaler en laissant au lecteur le soin d'en chercher une explication satisfaisante.

Quant à nous, arrivant au fond de la question, nous n'hésitons pas à dire que nous regardons le princijic de 1a moindre poussé-e comme complètement inexact. .Annoncé d’abord comme un principe métaphysique en vertu duquel la nature, quand un lui en laissait le choix, s'arrangeait toujours de manière à maintenir l’équilibre avec le moindre effort possible, on a cherché depuis à lui trouver une démonstration moins surnaturelle. Nous ne croyons pas que M. Scheffler ait réussi à l’établir. La nature de cet ouvrage ne nous permet pas une réfutation littérale de celle que M. Schefllcr a placée en tète de son ouvrage, mais nous croyons pouvoir la renverser en montrant quelques-unes de ses conséquences.

Considérons une voûte incomplète et très surbaissée {fig. 49). Dans ces circonstances, il est évident que la courbe de pression et de moindre poussée passe au sommet de la clef et aux naissances. D’après la théorie de M. Schefller, cest toujours cette courl)e qui doit se réaliser; or, pourjieu qu’on examine les conséijuences de la position qui lui est assignée, on reconnaîtra qu’elle ne peut le faire que dans des circonstances très exceptionnelles.

Kn effet, si la courbe passe au sommet de la clef, il n’y a de contact dans

(*) Le jeune ingénieur piein de mérite qui «'esl donné l> peine de traduire le docteur Sclicffler« dit k ce sujet dans une note -

* M. Poncelet trouve lo principe as&ez évidenL Noua craignons bien que le lecteur français

• ue le trouve encore un peu trop mélaphyaiquc* malgré les explications données au corn*

• raenremeot de cet ouvrage. *

UIAP. V.— EXAMEN IIISTUIIIQL'E ET CIUTIQI-E DES DIVKR.SES TMÉOIIIES, ETC. lîSI

le joint que tout prés de ce point, et ce joint est ouvert à l'intrados. IVun autre côté, il est certain que le décinlreinent amétie un petit abaissement de la voûte et, si nous supposons (jue les |ioints d'ajipui de la voûte sont fixes, ce (pii peut arriver dans certains cas, nous serons obligé d’admettre que la voûte qui avait la forme indiquée par les lignes pleines avant le décintrement, a, après cette opération, la forme indiquée par les lignes ponctuées. Le sommet de la clef A est dew^endu en a, l’intrados de la clef est descendu en s'ouvrant suivant 6‘b", puistpie la courlie de pression nlJR passe par le sommet a. 0i-, il est (Ximplétement inadmissible que le point B, que le mouvement de rotation autour du point D aurait naturellement porté à droite de la verticale .\0, vienne au contraire à gauclie, sans (praucunc force l'y contraigne. En elTet, l’arc primitif DBÜ' se rectifiant ou s’aplatissant en venant occuper la position DéD', devient plus court, par conséquent sc comprime; rouvertui;e t/t' non-seulement n’a aucune raison de se produire, maison doit admettre qu’il y a compression en 6. Or, s’il y a compression en b, la résultante des pressions ne peut passer en ILst-ce adiré qu’il est impossible qu’elle prenne celle piosition dans aucun cas? évidemment non; il est clair que si les points Del D' re(.-ulenl, soit par le glissement de l’assise a laquelle ils appartiennent, soit par le rcnverseineut de lu culée, le joint de la clef s’ouvrira suffisamment à sa fiarlie inférieure pour que le centre de pression remonte successivement justpi’en .\; d’où il résulte que le pa.ssage de la courbe de pression sur le joint de la clef dépend du mode de construction de la voûte que rien ne peut faire prévoir. Un peut imaginer, par exemple, que la voûte ait été fermée, comme nous l’indiquons dans la fig. oO, par une clef trop épaisse à l'intrados; il est évident que ce vice de construction aura pour résultat de faire passer la courbe des pressions par l’intrados dans une position tout opposée à celle qu’indique la théorie du docteur Schefller.

Voyons maintenant comment se comporte la théorie de cet auteur à l’égard des voûtes oii la courbe de moindre poussée ne passe plus par le sommet de la voûte, ou du moins n’y peut passer qu’en la renversant.

Considérons la voûte surélevée de la /fÿ. i» 1 et traçons la courbe de pres-

UO r.llAP. V.— EXAMEN niSTOmOl'E ET CRITIQUE DES DIVERSES THViORIES, ETC.

sion par les points \ et D; cette courbe étant extérieure à l’extrados dans la partie At, M. Scheffler la rejette et considère comme la \Taic courbe de pression la courbe imD, parce que de toutes celles qui sont compatibles avec l’équilibre, c’est celle qui donne la moindre poussrie. On concevrait ce raisonnement s’il était appliqué à une voûte constniite et qui se trouverait en équilibre; il est évident qu’alors on ne pourrait admettre d’autre courbe que celle qui serait compatible avec cet étal ; mais lorsqu’il s’agit d’une voûte à construire, on ne peut pas dire: telle courbe ne se réalisera pas, parce que si elle se réalisait, la voûte serait renversée, car il y a des voûtes qui se renversent; par conséquent, il arrive quebjucfois que des courbes incompatibles avec l’équilibre se réalisent. Remarquons qu’un léger renflement de l’extrados suffirait pour rendre la courbe A/D compatible avec l’équilibre, de sorte qu’alors le point d’application de la poussée devrait remonter de i en A. On voit que cette théorie ne lient aucun compte du mouvement de la voûte après le décintreraent et, en particulier, de la rotation de la partie supérieure autour du point m, rotation qui a pour effet de faire descendre le centre de pression vers B et de provoquer une ouverture en A. Certes, on ne peut [las dire que la courbe AmD est impossible, mais pour qu’elle se réalisât, il faudrait que dans le joint AB ou dans un joint voisin, il y eût un vice de construction qui amenât le contact en i; tel serait, par exemple, une taille défectueuse ou un gravier dur déterminant le contact en ce point ; mais si aucun vice de construction n’existe, le centre de pression descendra vers B.

On doit remarquer que la première objection qui se présente à l’esprit contre la théorie de la moindre poussée, c’est qu'elle enlève au mode de construction toute influence sur le passage de la courbe de pression. Bien ou mal construite, la voûte se comporte toujours de la meme manière et la courbe de pression est toujours semblablement placée. Dans la théorie que nous avons exposée, au contraire, une part est faite au mode de construction et celle part consiste, en général, dans la position du centre de pression a la clef. On remarquera, du reste, que le vice de construction n’a pas pour eOet nécessaire d’augmenter la poussée. Ainsi, dans le cas de la voûte surbaissée

CIIAP. V.-KXAMKN MISTOniyi’E ET CRITIOrE DES DIVERSES THÉORIES, ETC. 131

de la /fÿ. 49, l’écartement des culées fait remonter le centre de pression vers le sommet de l’intrados et diminue la poussée. En résumé, cette théorie de la moindre poussée est complètement inadmissible.

Nous ne voulons pas dire par là que le mémoire de M. Scheffler soit sans mérite, il a eu celui de sortir do la fausse voie où on était, depuis le mémoire de .M. Mérj’, de placer la courbe de pression au milieu du profil des voûtes, c’est-à-dire, dans une position impossible. Quoique partant d’un faux principe, M. Scheffler est arrivé à trouver qu’un des points de passage de la courbe des pressions était sur l’intrados, de sorte qu’il a substitué une courbe possible à une courbe qui ne l’était fias; son erreur de fait se réduit à avoü' complètement supprimé l’indétermination qui doit rester dans le tracé de la courbe de pression en lui imposant une condition à laquelle elle n’est pas assujettie.

Notre examen historique et critique de la théorie de l’équilibre des voûtes se trouverait terminé, si un article récent des AmioUs det ponts et chaussées (premier semestre, 1865) sur le même sujet, ne nous paraissait devoir être mentionné, parce qu’il renferme un point de vue njuveau qui pourrait d’aubmt plus égarer les csfirits, que les doctrines qui y sont exposées sont censées avoir reçu l’approbation de la commission d’ingénieurs qui préside à la rédaction de ce recueil officiel.

L’indéterminafion que lais.se subsister la théorie actuelle des voûtes sur le tracé de la courbe de pression est réellement fâcheuse pour la pratique, car on ne sait comment calculer les dimensions de la voûte qu’on projette et principalement la longueur des joints. D’un autre côté, il est bien évident que parmi l’infinité de courbes possibles, une seule se réalise; il y a donc là un problème à résoudre, une inconnue à dégager de l’obscurité où on l’a laissée jusiju’ici. M. Drouets s’est dit : parmi toutes les solutions possibles, quelle est donc celle que la nature choisit? Et pour la trouver, il est parti de ce principe :

O La nature ne développe les forces moléculaires de résistance que dans « la mesure rigoureusement nécessaii-e pour faire équilibre aux forces O extérieures agissant sur les molécules; si donc un système de résistances

IH ClUP. V.— KXAMF.N HISTORIQUE ET CRITIQl’K RES DIVERSES THÉORIES, ETC.

« est tel «juc les plus grandes de loul ce système soient plus petites que les « plus grandes dans tout autre système également en équilibre, c’est ce H système qui se réalisera dans les conditions du problème ; car tout autre « exigerait, de la part des forces de résistance, des ctTorls supérieurs et n par suite inutiles. »

A l'époipie où l'on voulait deviner les secrets de la nature pour s’épargner lu peine de les chercher, les anciens physiciens disaient : nnlura liorrel raeiitim; M. Urouets dit aujourd’hui: naliira liorret inutitr. L’un n’est pas plus vrai que l'autre. !,a nature n’a aucune des passions qu’on lui suppose, elle est soumise à des lois inflexibles et invariables et tout ce qui arrive en est une conséquence nécessaire. Pour démontrer la fausseté du principe invoipié sur un exemple plus simple que celui des voûtes, considérons une poutre du jMiids de lifMI kilogrammes reposant sur trois jaiints d’appui équidistants et demandons nous quelle e.st la pre.ssion sur chacun des |Kiints d’appui. I,a stati<|ue élémentaire considère le problème comme indéterminé et donnera janir chaque point d’appui une. infinité de solutions, comme elle donne une intinilé de courbes de pressions pour une voûte d'un profil déterminé; mais si l’on adopte le principe de M. Drouets, on dira que la pression sur chacun des points d'appui sera de 2fXI kilogrammes, car toute autre répartition de la pression exigerait, de la part des forces de rcsislauce, des efforts supérieurs et par suite inutiles. Dr, tout le monde sait qu'en tenant compte de l’élasticité de la poutre et des points d’appui, ce n'est pas la solution qui se réalise. Le princi|)e est donc faux et les espérances ipie manifeste M. Drouets, gu il sera un jour démontré d’une manière générale et rigoureuse, ou admis comme fmtulalum ou comme axiome, ne se réaliseront certainement jamais. On ne peut s’empêcher de reconnaître combien il est facile de s’égarer dans cette voie où l’on prend pour guide rimagination au lieu du raisonnement. I,es uns disent : la nature résiste avec la moindre poussée, ce qui, par parenthèse, donne la pression la plus grande sur les joints; les autres disent: la nature résiste avec la moindre pre-ssion par centimèfre carré. Pourquoi ne pas dire aussi ipie la nature, qui a le choix des courbes de pression, réalise celle