CHAPITRE II

DE LA STAIIIUTÉ DES .MASSIFS EN AUÇO.NNERIB.

Avant de chercher les condiliuns de stabilité des voûtes ou des arches de jamt, il est bon d’expliquer, sur des solides de formes plus simples, la théorie ipii sert de hase à la métIuHie géométrique aujourd'hui en usage pour résoudre ce problème.

l'n massif de maçonnerie ]>ouvunt, ainsi que nous l’avons vu dans le l'hapilre précédent, se diviser facilement suivant certaines surfaces, il ne siifiit pas pour qu’il soit en équilibre, que, en le considérant comme monolithe, les forces qui lui sont appliquées aient une résultante nulle; il faut encore ipi’elles n’en puissent détacher ou écraser une partie quelconque. Dans sa généralité, le |iroblcme semble donc exiger des recherches et des calculs tré.s-nombreux pour s’assurer de l’équililire de chacun dos petits solides dont le m<Lssif est composé ; cependant , en réalité, ce problème se simplifie beaucoup à cause de la position, de la forme peu dilTérenle de (chacun de ces solides ipii donnent la faculté de leur appliquer des méthiales de recherche communes et même de les lier entre elles par des formules et des courlies qui [«rmettent de ne s’occuper spécialement que de (pielques-uns d’entre eux et d’étendre aux autres les résultats trouvés, sans aucun travail nouveau.

, CUAJ>. II. — DK LA STABIUTI. DES MASSIFS EN MAÇON.NKRIE. 53

Faisons observer «l’ulKinl (|iie, dans la .solution de cette ([ueslion, il n’est pas toujours permis de compo.ser les forces entre elles suivant les lois de la statùpie. On ne peut avoir recours à cette simplification que pour se rendre compte du mouvement possible de fout ou partie du massif comme monolithe; il peut alors cire considéré comme inaltérable et incompressible et si les forces i[ui afrissent sur lui, combinées d'après les lois de la statique, ont une résultante nulle, on peut en conclure qu’il sera en équilibre; mais lorsqu’il s’agit d’apprécier la déformation du massif, il faut calculer l’effet de chacune des forces suivant son point d’application .^ur les éléments dont le massif est com|vosé et bien se garder de .substituer l’effet de la résultante à l’effet dos composantes. Deux forces égales et agissant en sens contraire suivant une ligne droite ont une résullante'nulle et ne peuvent troubler l’équilibre du massif auquel elles sont appliquées, considéré comme monolithe, mais elles peuvent parfaitement en opérer l’écrasement ou la dislocation.

Cette observation s’appli«|ue à la résistance de toute espèce de matériaux; ainsi une poutre supportée sur deux appuis fléchit d’une manière différente sous l’action de poids uniformément répartis sur sa longueur ou sous celle de leur résultante appliquée à son milieu. Elle peut rompre dans ce dernier cas sous une charge bien inférieure à celle qu’elle supporterait dans l’autre.

Cherchons maintenant les conditions d’équilibre du massif ABDC {jig. 9).

Soumis seulement à l’action de la pesanteur, considéré comme monolithe, il est en équilibre sur le plan CD, si la perpendiculaire abaissée de son centre de gravité passe entre les points C et D; mais il est possible qu’il se divise suivant la ligne Mî\, si la tangente de l’inclinaison de ce joint dépassé le rapport du frottement à la pression. En eflél, la force qui tend à faire glisser la partie supérieure sur la partie inférieure est V sin ? (*) et la fon;e (jui tend à la retenir est fp cos ç, donc il y aura dislocation si

(*j rfoua faisonii^ ici abstracUon de la cohesioo, pour simplifier la question.

Si CIIAP. U. — DK LA STABILITI- DES MASSIFS MAÇONNERIE.

lanp ç > /■;

et comme lang f atteint son maximum dans lu direction LM^, il est clair i|ue si r<'H]iiilil)rc existe dans ce système de division, il existera dans tous les autres. Ccficndant le mmie de construction [leut avoir une grande intlnen<'e dans la question. En eli'et, si la ma(;onnerie a été construite |.iar joints inclines, la valeur de f, qui sera moindre dans celle direction que dans toutes les autres, |>cul déterminer une rupture dans la direction des joints. Si, par exem[de, on imagine le massif formé [>ar des assises inclinées, comme dans la ji<j. 10, il est évident que la direction de ces assises déterminera la rupture et qu'il suflira de s’assurer de l’équililire dans rhyprdhésc de la division <lu massif |)ar des plans laissant ]iar les joints. En général, la résistance à l’exlension d’un massif de ma<;onnerie étant lieancoup plus petite dans les joints que partout ailleurs, l’art du consinicleur consiste à en déterminer la direction, de manière que, <lans l’étendue de leur surface, les molécules du mortier ne soient soumises (|u’à nue compression. Ainsi dans le cas fort simple (|ue nous considérons, le problème serait résolu avec des assises horizontales {fig. 1 1). Les lits de maçonnerie étant disposés dans ce système, une nipture transversale ne peut avoir lieu suivant un plan incliné, sans que les matériaux dont la maçonnerie est composée soient eux-mêmes rompus, suivant une ligne brisee déterminée par les joints verticaux et sans amener des frottements très-considérables. I.a résistance à la rupture ou au glissement dépasse ainsi la force qui pourrait la produire.

Les exemples très -simples font déjà comprendre (|ue, comme nous le disions tout à l'heure, la recherche des conditions d’équilibre d’un massif de maçonnerie se simplifie beaucoup dans la pratique ; car il est |ires<|iie toujours facile de reconnaître quels .sont les plans de division qui présentent le moins de résistance à la rupture ou .sont soumis aux plus grands efforts et on peut se contenter de s’assurer de l’équilibre des parties où il est le plus difficile.

Considérons maintenant (fig. 12) un massif AllDC, dont l’assise

CHAI'. II. — DE l-A ST.VBII.ITK DBS ».ASSIFS KN MAÇONNERIE.

supérieure est soumise à une foree horizontale O. Si nous siip|>nson.s ee solide décomposé en assises horizontales, il est facile de déterminer pour tous les solides supérieurs à un joint donné la ilirection et l'intensité de la résultante, eu coni|iosant le poids de ce solide avec la force horizontale;

011 trouve ainsi que ces résultantes seront .successivement mr„ mr, »iK,

pas-sant toutes par le ftoint m, reni’onlre de la direction de la force (J avec la verticale nienee par le centre de ;;ravit(‘ de la parlie du solide supérieur au joint con.sidéré. Les points r,, r, H sont tous situés sur une verti-

cale pR dite ligne de pression. Dans ce cas particulier, la ligne de pression est droite, mais, dans beaucoup de cas, les points déterminés par la rencontre de 1a résultante et de chacun des plans de joint sont en ligne courbe. I..a détermination de cette ligne facilite beaucoup la recherche des conditions d'éipiilibre tles massifs de maçonnerie, lin ciïet, pour (ju'im solide soit en équilibre sur un plan, il faut que la résultante des forces qui lui sont appliquées pas.se dans l'intcrieiir de la surface de contact de ce siilide avec le plan, car il est évident <pie la résultante des réactions de ce plan se trouvant nécessairement comprise ilans cette surface, ne pourrait faire équilibre à la résultante des forces extérieures, si elle passait en dehors. D’où il suit que l'équilibre n'est possible qu'à la condition que la courbe de pression nu passe pas en dehors du solide. Déterminer la coiirlie de pression, c’est donc vérifier si celle cun<litioii d’éipiilibre est satisfaite pour tous les plans de joint, et on doit comprendre combien la loi de continuité qui lie entre eux les points de cette courbe, facilite cette recherche, car il suflit prcs(|ue toujours d’en ilelerminer quelques points pour en avoir le tracé complet.

Ainsi, en ce qui concerne le massif .ABDC (yîÿ. 12), il est très-facile de reconnaître à priori que la ligne de pression est pR cl que cette ligne ne sortant |»as de la surface des assises, il ne saurait y avoir renversement d’aucune partie du massif; mais cela ne suflit pas pour l'équilibre ; en efl'el, en vertu de 1a composante (J, une partie <lii massif pourrait glisser sur l’autre ; or il est facile de voir ijiie si ce mouv enient s’opère, ce sera sur la première assise, car tandis ipie la poussée horizontale est constante,

CIIAI>. 11. — UE I.A STABILITE UES MASSIFS ES HAa:OS.S|'.IUE

la rùslslaiice au cruil du haut eu bas, puisi]u'clle serait exprimée

par un terme de la forme fp-^yl, en appelant :

f, le eoefficient de froltemenl,

P, le ptdd.s de la niaeonnerie supé'rieure au joint considéré, le eoeffieieni de la cohésion,

/, la surface de l’assise.

donc si l’on a pour l’assise supérieure /p + f / > U. d n’y aura gli.s.sement nulle part.

Il resterait encore à examiner la ipicstion de réerasemenl. Ici, il est évident ipie c’est dans les assi.ses inférieures ipie ecl effet pourrait se produire, parce ([iie la ligne des pnwsions test partout a égale distance de la paroi. Ainsi, on aurait à voir si en appelant F le poids «lu massif et d

la distance de la résultante à la paroi, on aurait Tj^ plus petit «pie lu

résistance de la maçonnerie à la compression.

Même en admettant toutes ces conditions remplies, il ne faudrait pas encore en conclure <pie le massif se maintiendra en é<]uilihre, parce i|ue, par suite du peu de distance de la ligne des pressions à la paroi AG, la pression se répartit inégalement sur la surface des assis<js, ce qui tend à dishapier le massif.

.\insi, d’apres la Üiéorie que nous avons exposi’e plus haut, si, a droite de p\{, nous menons une verticale p'i{'{fig. 13), telle que Ap'=3.\p, nous aurons une ligne ipii séparera dans chaque assise la partie pressée de celle qui ne l’est pas. \ droite de pH', les Joints tendraient à s’ouvrir, comme nous l’indiipions dans la fig. 13, en exagérant les résultats pour les rendre appréciables à l’aul. Si le ma.ssif était composé de pierres de taille, les assises pourraient rester dans la position indi«iuée dans la fig. 1 2, surtout si, une fois l’effet produit, on avait le soin de garnir les joints; mais si le massif est com|iosé de maçonnerie ordinaire, les portions d’assises soulevées telles que aslb ne pourront se soutenir, car elles sont dans la position de poutres encastrées, et un grand elfort à l'extension ‘s’exercera prés de

tUAP, II. — DE LA STAmi.lTit nES MASSIFS EX MAÇOXNKniE. J7

l’encaslrcmenl. c’est-à-dire, dans la verticale ns, de sorte ipie la maçonnerie cédera, et une disjonction s’opérera suivant une liji;ne telle que fhH'. Celle disjoni’lion étant opérée, il est clair que le massif résistant n’est plus que AIt//iR'C, et qu’il va lien de déterminer les nouvelles eondilions d’équililire relatives à ce massif. Or, il arriverait certainenienl que dans l'hvpothèse ailmise pour l’intensité de la force Q cl {H>iir le poids de la maçonnerie, la ligne des pressions sortirait du massif, ce qui en occasionnerait le renvensemenl. Nous ne pousserons pas plus loin l’examen des conditions de slaliilité de l’exemple ipie nous avons choisi; nous n’avons voulu que faire voir comment, sous l'action de forces extérieures et par suite du défaut de cohésion de scs parties, un massif de maçonnerie pouvait se trouver dislmpié et dexenir par là incapable de résister soit au renversement, soit au glissement. Nous aurons d’ailleurs l’occasion de revenir p'us lard sur celle observation qui a une très-grande importance pratique.

Nous avons supposé le massif composé d’a.ssises horizontales; nonseulement cette condition n’est pas nécessaire [Kuir l’équilibre qui peut exister avec une infinité de systèmes d’assises, mais la direction à donner aux joints est une des inconnues du pndilème que le constructeur doit résoudre cl il est .essentiel de se rendre compte comment celle direction fait varier la ligne de pression. Considérons maintenant le massif comme coinpoaé d’assises parallèles, mais inclinées {fig. 11). Pour rendre la comparaison plus facile, nous supposerons le massif divisé par ces plans inclinés en un même nombre de |iarties égales entre elles, de sorte que lu résidlaute sur chaque assise sera la meme que dans le cas precedent pour rinlciisité et la direction, il n’y aura de changé que son point d'application. .Ainsi pour l’assise n" d. la résultante sera égalé et parallèle à mr, de la pg. 12; pour trouver le point de la courbe sur le joint A I {pg. 1 1), il suffira de chercher le centre de gravité g, du triangle .ARI , de le projeter en ni' et de mener par m' une parallèle à mr, ; r sera le premier point de la courbe cherchée. Pour avoir le point situé sur le joint 2, on cherchera le centre de gravité <?, de la |iartie du massif

ClIAP, U. — DE LA STAIIILITK PES MASSIFS EX MAÇOXXKHIE.

ïs

supérieiirp .iu (*), on le projetlerii sur lu lipne AH e( on mènera une parallèle à rnr,. En continuant «le la inctne manière, on aura le trace «le la nouvelle coiirhc «les pressiims Hr/... r,...R, n’ayant avec la vertiiMle /«H i|ue le point H commun. Il est eviilent «pie «les assises de plus en plus in«din«;e.s <lonner«int des coiirlies i|ui s’inclinenint vers la li(,'uc HD, «le sorte «jue le centre de pression se rap|)roche du milieu «lu ma.ssif pour les assises supérieures. Si nous supposons le niassir coupé par des assises verticales, nous aurons la limite extrême vers liiifuellt* peut s'incliner la courbe des pressions, ( a! mode de division «iflie d’ailleurs une circonstance parliculi«'re «pi'il e.st essentiel de signaler.

Suppos«)ns don«r le massif divisé en un nombre égal «le parties verticales (/îÿ. I il). Projetons le centre «le gravité de la |ll•e^niè^e partie sur la «lireclion «le la force (J et jiar le point de rencontre, menons une ligne parallèle à mr, (/!ff. li), elle ibHerminera sur le joint ir 1 le premier point de la courbe. Piaijetons ensuite le «•entre «le gravité «les deux premières parties sur la dire«'tioti «le la f«ir«'e tj, menons 'jMir le point de rencontre une parallèle à mr, et nous aurons un [second p«iinl de la courbe sur le joint n' 2, ainsi «le suite. •

La courbe ainsi «iblenuc dans le cas considéré d'un massif vertical -serait une jiaralsile. Il est évident, en effet, «pi’en renversant la figure et snp[Misant cba«]ue assise sus|»en«lue à un câble tiré b«iriz«ttitalenienl |iar la force (J, les tensions en cbu«|ue p««int «le «’e «■àble seraieid égales aui réstdtantes sur les assises, «-ar on les «ditieinlrait par la meme c«)nstruction. Dans ce cas partiodier, les résidUintes sont tangentes à la ligne des pressions, ce «jiii n’a pas lieu «piand les joints sont in«‘linés par rapport à la verticale. .Ainsi «laits la fy. 12, où les joints sont horizontaux, les résultantes <«r,, mr, «ill, partent toutes «lu point m et

coupent filas ou moins «ibli«|iiemenl la ligne de pressi«)n pR.

(•) Celte opèratiun est rendue plu» facile quand on a le massif en élémeoU êganx»

i*ar ayant dèleriiiirié le rentre de graviti'i de charuii de ces èlêmi'iiU. on obtient Irèft-aiséniont le contre de gravilti d’un nombre quelconque de cea mi'mea élémenla, puisqu'il ne a agit plus que de composer dea forces Cgale>

CIIAP. II. — liK I..V ST.AmUTK DKS MASSIFS KM MAÇO.NNERIK. ti

L’cqualioii générale de la courhe des pressions va d’ailleurs donner une démonstration analytique de eelte propriété du sjstérae de joints verticaux.

Prenons pour axes des coordonnées le.s lignes 0.\ et 0'^’ {fg. tC) passant par le (joint d'a|>plication de lu force y.

Nommons : *, y, les coordonnées du (joint m de la courbe de pression, (jar rapfHjrt aux axes ü.\ et OY passant par son sommet;

P, le (lüids de la partie du massif su(jéricure au joint qui (jasse (jar n»; ou plus généralement la résultante verticale des forces siqjérieures au joint considéré ;

Ç, l’abscisse du centre de gravité de cette partie; y, la force horizontale agissant en 0;

réi(uation de la résultante, qui (jasse par le point dont rabscissc est ^ et dont l’inclinaison a (jour tangente -, est :

(I) ÿ = ^ (-ri- 5),

l’équationjdujjüintjsera

(2' y = ax + /’(a),

car cette droite est soumise à un système de génération quelconque c(ui établit une relation entre son inclinaison et le point où elle cou(>e l’axe des y; .son équation ne doit donc contenir qu’un ctiefficient indéterminé. p, fioids de la somme^des a.ssises jus<(u’aii joint, et 5, abscisse du centre de gravité, sont des fonctions de a.

.Maintenant si on renqilaçait p et î dans l'équation (I) par leurs valeurs en a, puis la quantité a (lar sa valeur en * et y tirée de l’équation (2), on

30 CIIAP. Il, — UK LA STABILITÉ DES MASSIFS EN MAÇONNERIE.

aurail l'équalion de la courbe des prcsîioiis. En considérant donc p cl ï comme des fondions de x, on jiciit sc .servir de réquation (1) comme de celle de la courlic des pressions (*). En la diflërenliani jK.iir avoir l’inclinaison de la tanpcnle, un oldienl :

représentant

la direction de la résultante , celle-ci ne peut devenir

tangente, à moins qu’on n’ait :

ou

-dp dl .

dp dipl) ^dx~ dx ■

Or quand le joint est vertical, paroi inferieure du massif.

a, en appelant y' l’ordonnée de la

( y'xdx

l’équation (i) est donc satisfaite. Elle l’est, du reste, toutes les fois que l’ab.sci.sse du centre de gravité de l’assise est la même que celle de la ligne de pression. En effet, lorsrju’on passe d’un joint à un autre, Ç augmente do dl et P de dp; si l’abscisse du point m est la meme que celle ibi centre

(*} On pourrait étaMir r4'qnaliivn (1 pur la con^-id^ralion des moinenU pris par rapport au point dont les coordoonieit sont x, t/. Cq a en efiel pour un pointquelconqu» de !a courbe des pressions :

Qy = p(x — t).

Clive. II. — DK I..V STVmi.lIÉ des mvssifs en m.vçonnf.rie. .ii

de gravite de l'élément dp, on trouvera évidemment l’abscisse du centre de gravité du solide p + dp fiar la proportion

dl: dp :i X — l:p + dp,

(la 17 représente cette composition de forces parallèles appliquées aux extrémités de la droite nm dont la longueur est x — 5).

De la proportion précédente, on tire, en négligeant riiiliniraent petit du second ordre dp d\

(5) lx—\)dp = pd\.

Ainsi lu condition géométrique nécessaire pour que la résultante des forces qui agissent au-dessus du joint siiit tangente à la courbe des pressions, c’est que celle courbe et le centre de gravité de chaque élément du massif aient la même abscksc, condition évidemment .satisfaite quand le joint est vertical. Dans ces circonstances, la courbe des pressions est une chaînette, en étendant celte dénomination aux courbes données par une chaîne flexible et pesante, quelle que soit la relation entre le poids et la longueur. (Juainl les deux abscisses ne se confondent pas, la résultante du poids et de la pou.s.sée et la tangente à la courbe des pressions font entre elles un angle, m.iis très-petit. En effet, supposons que l'abscisse de la courbe et celle du centre de gravité^difTèrent de i, c’està-dire, qu’on ait :

à l’aide de l’équation (5), l’équation (3) se réduit à : dx Q\ P dxj

Si E est petit, ce qui a lieu lorsque le jointjest vertical ou presque ver-

3J ClIAP. II. — DK I.A STABII.ITÉ DES MAS.SIFS EX MACON.XEIUE.

tical, si P e.-4| grand par rapport à dp, ce «pii a lieu pour les assises les plu»

basses, ^ ne diffère ps beaucoup de^. Il j a donc une grande analogie

entre une cliainelle et la coiirlie des pressions et, dans beaucoup de circonstances. rn.ssiinilation de ces deux conrlies facilite la recherche des conditions d’équilibre des massifs de maçonnerie, r.’est à ce |Hiiiit de nie que nous nous sommes arrêté sur ces propriétés de la courbe des pressions, car la condition que la résultante soit tangente à cette courfie n’a |tas d’importance pratiipie. Ce que le constructeur doit plutôt rechercher, c’est que la direction du joint .soit normale à la courlic des pressions. [jarre qu'alors tout glissement du massif sur le plan de joint devient impossible. Or celte condition est facile à remplir.

Un elTet, la direction de la résultante sur un joint ne ilépend que ilu volume de la partie supérieure du massif, elle [leul donc être déleraiiiu-e d’avance. Ainsi, [>ar exemple, siqiposant le massif de la fig. 12 divisé en huit parties égales, le» directions mr,, mr„ mr„ etc., de la ré.sultante ap|iarliennent à tous les systèmes de division qui [lartagent le massif en huit parties égale». Donc si l’on mène une [lerpendicidaire àuir,, on aura la direction du premier joint et il suffira de cherclier, parmi les parallèles, celle qui a la jjropriété de séparer le huitième du massif; c’est un problème de géométrie toujours facile à résoudre. Nous nous bornerons à faire oliserver que, pour le cas simple du massif de la fig. 12, on abliendrait facilement les joints intermédiaires en menant les perpendiculaires aux directions des résultantes par le milieu des joints horizontaux. Une fois lé solide divisé en un certain nombre de volumes égaux, on déterminera le centre de gravité de la partie du massif située au-dessus de chaijue joint, oti le [jrojettera sur l’horizontale île la force tj et par ce point on mènera la résultante qui déterminera le (joint de la i-ourhe sur le joint, lin procédant de la même manière [ajiir un certain nombre de joints, on tracera facilement la courbe des pressions corres|>ondant aux joints normaux à la résultante des forces qui agissent sur le joint (fi9- l«}-