j / X^tHv-^ f " Ut?'c/p j = 4- S
La droite mit, à partir de laquelle se comptent les ordonnées, v étatil connue de position, ainsi que la forme du solide , U sera unefonc-
lions de t? ; les deux intégrales / UcVr , / X^xNLv pourront se
calculer exactement ou par approximation \ la quantité
£ / Up2c/t7 -|- / MfMo I est donc une quantité que Ton pourra
déterminer dans chaque cas , et que nous désignerons par la lettre M. Cest ce que M. Navier et les auteurs qui ont écrit sur la résistance des maiériaux ont généralement appelé le moment d*élasticité du solide, inéquation précédente se réduit alors à :
et permet de déterminer Téquation de la courbe qu'afPectent les fibres qui, dans l'inflexion, ont conservé leur longueur; courbe dont ^ désigne le rayon de courbure.
Si :r et^ désignent les coordonnées courantes de cette courbe , par rapport à deux axes , Tun horizontal , Tautre vertical , qui se coupent au point i de la courbe io^k , dans la section encastrée , Texpression
analytique du rayon de courbure est , comme on sait, -^ —
et réquation différentielle de la courbe sera :
- = OXS.
Lorsque la flexion demeure extrêmement petite , la longueur de la fibre courbée ne diffère pas sensiblement de sa projection sur Taxe des a? , et les tangentes de cette courbe sont toutes extrêmement peu in-
clinées sur Taxe des r. ^--^ demeure donc toujours trës-pelit par rapport à Tunité, et la longueur S est sensiblement égale hl — s^l désignant la longueur totale du solide.
L'équation précédente , en y remplaçant s par /— jr, et en négligeant
-j-T par rapport à l\iuité se réduit à *.
qui y intégrée une première fois , donne :
et par une seconde intégration :
Les constantes introduites par Tintégration sont nulles toutes deux^
parce qu'on a à la fois pour a?= o, 7=0, puisque la courbe passe par
dr Torigine des coordonnées, et -j^ = 0, parce que la tangente à 1»
courbe à Torigine est nécessairement horizontale, par suite de Tencastrement invariable de la section extrême du corps.
Nous rappellerons que, des observations faites antérieurement, il résulte que l'équation précédente ne peut représenter la courbure moyenne du solide près de l'extrémité libre chargée du poids Q, mais qu'elle doit représenter avec une exactitude très-suffisante la courbe du solide, surtout près de la section d'encastrement, et jusqu'à une distance assez grande de cette section, si la longueur du prisme est considérable par rapport aux dimensions verticales de la section transversale.
En supposant l'équation D tout à fait exacte , on trouvera l'abaissement de l'extrémité libre, ou la flèche maximum du prisme, en faisant dans cette équation o; = /. La valeur de^ correspondante sera celle de la flèche. Désignant celle-ci par F, on a :
Les aUongemeotsou raccourcissements proportionnels d*une fibre
quelconque dans le solide infléchi, dépendent de la distance de cette
fibre à la ligne des fibres demeurées de longueur invariable, et sont
exprimés par :
pourdes distances t? égales entre elles^ dans les diverses sections transversales. Cette variation de longueur est la plus grande possible pour ^ = 0, et par conséquent dans la section même contigue à la section encastrée. Dans cette section, le maximum de variation de longueur correspond à la plus grande valeur de i?, c'est-à-dire à la plus grande des deux valeurs ro et ri, qui sont les limites supérieures des intégrales.
Pour que réiasticité du corps ne soit pas altérée par la flexion, il est nécessaire que cette variation de longueur maximum ne dépasse pas une limite t\^ dépendant de la nature du corps mis en expérience, et qui peut être déterminée par l'observation directe de rallongement et du raccourcissement des solides prismatiques tirés ou pressés dans le sens de leur longueur.
On a fait, comme nous Tavons vu , de très-nombreuses expériences sur les allongements des fibres du fer et même du bois sous des charges directes, et déterminé la limite des allongements au delà de laquelle l'élasticité est altérée. Cette limite seraH moyennement pour le fer égale à 0,0006, pour le bois de sapin blanc, d'après l'expérience de M. Ardant, à 0,00117, tandis que d'après les auteurs 'anglais, elle irait jusqu'à O^OOâ. On n'a guère fait d'expériences directes sur le raccourcissement des prismes chargés directement, expériences beaucoup moins faciles que les premières, et l'on suppose en général que la limite passé laquelle l'élasticité est altérée par le raccourcissement est la même que pour l'allongement. Cela paraît être ainsi pour certains corps, mais non pour tous, ainsi que nous l'expliquerons un peu plus loin. Pour les corps où les deux limites sont égales, le poids le plus grand dont on puisse charger un solide encastré par une extrémité, sans altérer son élasticité, se déduira sans difficulté de l'équation ;
dans laquelle V sera la plus grande distance du contour du corps à la ligne des fibres invariables, soit en desjsus soit en dessous de cette fibre,
et « le maximum de variation de longueur raiipoi'tée à Tunité de longueur primitive , que les fibres puissent supporter , sans que leur élasticité soit altérée.
Delà on tire:
La valeur de F, correspondante à cette charge maximum, est :
La plus grande variation proportionnelle de longueur des fibres csl exprimée en fonction de la flèche^ par la relation :
3VF
Dans tout ce qui précède, nous avons négligé Tinfluence du poids de la matière du prisme. S*il était nécessaire d*en tenir compte, cela ne présenterait aucune difficulté. Le poids de la partie du prisme de longueur /~^, située au delà de la section quelconque mnst^ seraégaf à p (/—or), p étant le poids de Tunité de longueur du prisme. Lemoment de ce poids, par rapport à la ligne des fibres invariables tracée dans
la section mtns , sera p — 5-^ , et l'équation d'équilibre sera , en
conséquence :
d'où , en intégrant :
Mr=o (-1— ë-)H-f j-2— ^H-j^j
pour x=^lon a:
„ 1 / ^ 3pl\l'
La grandeur de la flèche est augmentée, comme elle le serait si les f du poibs du prisme étaient ajoutés à la charge Q.
Quant à la plus grande variation de longueur des fibres qui correspond toujours à a?=o, elle est :
Ainsi , rinfluence du poids du prisme sur cette variation maxima est
la même que si la moitié de son poids total p -^ était ajoutée au poids
, et agissait à Textrémité libre.
Calcul du tnoment d'élasticité. Section rectangulaire, — Nous calculerons les valeurs du moment d'élasticité M pour quelques-unes des formes régulières usitées dans Jes constructions. Si la section du prisme est un rectangle posé de façon à avoir deux faces horizontales ^t deux faces verticales, dont la largeur , dans le sens horizontal, soit égale à a , et la hauteur verticale soit égale à 6 , la ligne des fibres invariables, appelée aussi Taxe neutre, divisera la hauteur b du rectangle en deux parties égales « et Ton aura U =: a , quelle que soit la hauteur de Tordonnée verticale. En conséquence :
r r av2dv-^ jT av^dv 1 =2Ey av^dv^EX^-
Le plus grand poids dont on puisse charger le solide , sans altérer son élasticité, sera :
^%4x« Ea^.< = -
Ce poids est donc proportionnel , pour des corps de même nature, à la largeur , au carré de la hauteur , et en raison inverse de la longueur du prisme.
La flèche ou rabaissement de Textrémité libre est égale à :
Elle est donc proportionnelle au poids Q et au cube de la longueur , et en raison inverse de la largeur horizonUle et du cube de la hauteur verticale du prisme.
Si l'on remplace Q parla limite de poids au delà de laquelle 1 élasUcité serait altérée, on trouve pour la valeur de la flèche correspondante à cette limite :
4 Ea5'« fi -^j.^.
/'=ô- l E«ft' 5 ^*
Celte flèche est donc proporUonnelle au nombre « et au carré de la longueur du-prisme , et en raison inverse de sa dimension verticale.
Moment d'éUuticUé pour une section triangulaire. ~ Pour un prisme à base triangulaire isoscèle abc , placé de manière que la face ab soit horizontale et en dessous, ftg. 5, PI. XIII, Vaxe mn est parallèle à la base àb et situé à une distance de ab égale au tiers de la hauteur. On a donc , en désignant par a la base et par h la hauteur du triangle :
Dans la première intégrale ;
dans la seconde intégrale :
AÉSISTA^XE DES MATÉRIAUX. 3t7
Ainsi :
Le plus grand poids dont on puisse charger le prisme à base triangulaire , sans altérer son élasticité , est :
Mae Ea^Sjo EaA'c
0«Tf-
la flèche correspondante à ce poids, est :
. /»__Eafev 56 /» 1/v '~" M 3~~ 24/ ^EaA» 3 "^21 •
Les résultats seraient identiquement les mêmes, si le prisme était retourné comme dans la fig. 5 his^ PL XIII ^ de manière que le sommet du triangle fût en bas , puisque les résistances élastiques dues à la compression et à Textension , sont supposées égales , pour des variations de longueur égale.
Moment d'élasticité pour une section carrée. — Pour le prisme à base carrée, placé de façon que deux faces soient horizontales et les deux autres verticales, les valeurs de M, Q et/*, correspondantes à la limite au delà de laquelle Télasticité serait altérée , sont :
a étant le côté du carré.
Si ce même prisme est placé de façon que les deux diagonales du carré soient. Tune horizontale , Tautre verticale , on trouvera sans difficulté que les valeurs de M, Q et /*, sont :
Ainsi, les moments d'élasticité pour le prisme à base carrée fléchi perpendiculairement à deux de ses faces , ou perpendiculairement à une diagonale . sont égaux entre eux ; mais les poids dont on peut charger le prisme , dans ces deux positions respectives, et les flèches maxima quMl peut prendre , sans altération de l'élasticité , sont entre elles respectivement comme |/~â : 1.
Moment d'élasticité pour une section circulaire. — Pour le cylindre à base circulaire de rayon r , on a :
M==2E / UrV/r = 4E / i/T^^I^' v^dv =^' t/ t/ 4
Le poids minimum capable d'altérer rélaslicilé , est : ^~ 4/ '
la flèche correspondante à ce poids :
' or
Pour un tuyau creux, cylindrique, dont les rayons intérieur et extérieur sont respectivement égaux à r^ et r" , on a :
M^Ex'^'-"^-''">
4r"/ IF'
Solide prismatique posé sur deux appuis. — Quand un solide prismatique est posé librement , dans une position horizontale, sur
deux appuis, et chargé dans son milieu d*un poids Q , la pression sur chacun des points d*appui peut être considérée comme agissant dans
le sens vertical, et comme étant égale à -~ , pourvu que la flexion du
solide soit fort petite. Si donc on imagine qu*une des moitiés du corps infléchi soit transformée en un solide mathématique de forme rigoureusement invariable, Fautre moitié du prisme sera évidemment dans les mêmes conditions que si elle était encastrée invariablement par son extrémité, qui sera maintenant le milieu de la pièce, et sollicitée à son extrémité libre par une force verticale agissant de bas en haut, et égale à la moitié du poids posé au milieu. Par conséquent les équations relatives à un prisme encastré par une extrémité et chargé d*un poids à Textrémité libre, s^appliquent à chaque moitié d*un solide prismatique posé sur deux appuis, et chargé dans son milieu, en remplaçant dans les premières la longueur / du solide par la moitié de la distance horizontale des appuis , et la charge Q par la moitié de la charge placée sur le milieu du solide.
Il résulte de là que la charge capable d^altérer Télasticité d'une pièce posée horizontalement sur deux appuis et chargée dans son milieu, est égale au double de celle qu'il faudrait pour altérer Télastieité d'^un solide de longueur égale à la demi-distance des appuis , encastré par une extrémité et chargé à Tautre extrémité , ou bien au quadruple de celle qu'il faudrait pour altérer Télasticité d'un prisme de longueur égale à la distance des appuis , encastré par un bout et chargé à l'autre ; que la flèche de la pièce est égale à la moitié de la flèche que prendrait un solide de longueur égale à la demi-distance des appuis, et chargé du même poids à son extrémité libre , ou au seizième de celle que prendrait le solide de longueur égale à la dislance des appuis , s'il était encastré par une extrémité et chargé à l'autre.
Quand on veut avoir égard au poids du prisme, il faut considérer que la pression de chaque point d'appui sur le solide , est augmentée du poids de la moitié du prisme , ce qui fait qu'en désignant par q la demi-charge placée au milieu et par / la demi-longueur de la pièce que nous supposons égale à la distance des appuis , la pression de chacun des appuis est égale à ^ +P^- ^" même temps , les poids des éléments du prisme sont autant de forces verticales agissant de haut en bas y et dont le moment doit par conséquent se retrancher du moment de la force q + pl^ laquelle agit de bas en haut. Il résulte de là , que l'équation difi'érenlielle de la courbequ'aifecte chaque moitié du prisme, est :
En intégrant deux fois et faisant a? = /, pour avoir la grandeur de la
flèche , on trouve :
La flèche est donc augmentée comme si les |- du poids du prisme étaient sgoutés à la charge placée au milieu.
Quanta la plus grande variation de longueur des fibres, elle est égale à la plus grande ordonnée V de la section transversale comptée
à partir de Taxe neutre , multipliée par la valeur de t^ correspondante à ar = , qui est : ^ I ^ -+- ^^ /. Cette variation maximum
est donc — ^ — •
Elle est augmentée , comme si la moitié du poids du prisme s'ajoutait à la charge placée sur son milieu , ce qui est le résultat auquel on est déjà arrivé pour le prisme encastré par une extrémité.
Détermination du coefficient d'élasticité par la mesure des flexions de solides prismatiques, — On peut au moyen d'expériences précises faites sur la flexion des solides prismatiques, déterminer le coefficient d'élasticité de ces solides : E désignant ce coefficient , le moment d'élasticité M est égal à AE , A étant un facteur numérique à déterminer d'après les dimensions de la section transversale du solide. Si donc, on observe la flèche/* d'un solide prismatique posé sur deux appuis et chargé au milieu, on aura, en conservant toutes les notations précédentes, et remplaçant seulement M par AE :
On peut même se dispenser de tenir compte du poids du solide , en observant l'accroissement de la flèche correspondant à un accroissement déterminé de la charge placée au milieu. En efl'et, si q' et ^"
d'où
sont les moitiés de deux cliarges différentes, et/*, f* les flèches correspondantes, on a :
d'où
Les valeurs du coefficient E ont été déterminées par des expériences de ce genre pour le fér forgé et fendu , et diverses essences de bois.
Coefficient d'éUuUcité du fer forgé. — Pour le fer forgé , les nombreuses expériences de M. Duleau conduisent à une valeur moyenne du coefficient E , égale à 20«000.000.000 kilogrammes, qui ne diffère pas sensiblement de la valeur déduite des nombreuses expériences faites sur l*allongement des prismes, sous un effort direct de traction , et que nous avons rapportées en leur lieu.
Coefficient d'élasticité de la fonte. — Pour le fer fondu , les valeurs du coefficient E seraient, d'après les expériences de Rondelet :
