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de charger le fer dans les constructions, d*une charge permanente qui dépassâlle quart de celle qui déterminerait la rupture, quand même on serait sûr qu^aucune addition décharge accidentelle ne peut avoir lieu.

M. Navier, s^appuyant sur Texpérience des constructions existantes, conseille de ne faire supporter aux barres de fer en général , ni une charge permanente supérieure à 1/6 ou 1/7 au plus de celle qui occasionnerait la rupture , et qu'il fixe moyennement à 40 kilogrammes par millimètre carré, ni une charge accidentelle totale supérieure à 1/5 ou 1/4 de cette dernière. M. Duleau fixe également à 6 kilogrammes par millimètre carré, la charge permanente qu'on peut faire porter avec sécurité aux barres de fer dans les constructions. Nous pensons qu'il serait imprudentde s'écarter de celte règle, dans les constructions dont la destruction pourrait offrir quelque danger pour les personnes.

Circonstances dans lesquelles il faut avoir égard aux résistances vives d'élasticité et de rupture. — Quant aux fers exposés à des chocs, à des alternatives d'efforts d'extension et de compression, il faudra évidemment avoir égard, pour déterminer leurs dimensions, à leur longueur, à leur résistance vive d'élasticité^ et même aussi, comme Hndique M. Poncelet , à leur résistance vive à la rupture; parce qu'en cas de choc, qui dépasserait même les limites de l'élasticité, le corps ne romprait point si sa résistance â la rupture était suffisante, et avertirait par sa déformation de l'imminence du danger.

C'est ainsi que quelques personnes ont cru devoir préférer , pour la construction des câbles tressés en fil de fer, dont l'emploi, comme câbles d'extraction dans les puits de mines , devient tous les jours plus fréquent, les fils de fer recuits aux fils non recuits, malgré la su|)ériorité de ces derniers sous le rapport de la résistance absolue à la rupture. Pour les câbles qui devraient servir à descendre les hommes au fond des puits, le choix ne saurait être douteux, et l'on devrait préférer les fils recuits, malgré l'excédant de dépense qui en résulterait. Maislorsque la rupture du câble ne met pas en danger la vie des hommes, l'expérience a démontré que les câbles en fil non recuit sont beaucoup plus économiques, et par conséquent préférables, bien que ces câbles soient dans une condition qui exige beaucoup de flexibilité, puisqu'ils sont alternativement déroulés et enroulés sur les tambours cylindriques des machines d'extraction .

De la résistance des solides fléchis transversalement à leur longumir.

Solide prismatique encastré par une extrémité et chargé à l'autre extrémité. — Considérons d'abord un solide prismatique ABCD, fig 4,

PI, XI I^ placé horizontalement, encastré par un bout d'une manière invariable et chargé d^un poids Q appliqué à Textrémité libre.

Les expériences directes faites sur des corps dont Textensibilité est prononcée , tels que les bois , le fer et les autres métaux doux , montrent que le solide ainsi placé sMnfléchit de manière à prendre une positio& telle que ABG'IF; qae Xh face inférieure de ce solide, que nous sapposeroDS pour un moment limité par quatre faces planes , dont deux horizontales et deux verticales , dans Télat naturel du corps, que sa face inférieure , dis-je , s^est raccourcie en devenant concave, et que la face supérieure s*est au contraire allongée en devenant convexe. Si Ton se représente le corps comme composé de fibres , ou séries de molécules infiniment dâiées parallèles à son axe , ou voit que les fibres voisines de la face concave se sont raccourcies, que celles qui sont voisines delà face convexe se sont allongées , et que par conséquent il y a quelque part dans le solide , une suite de fibres dont la longueur est demeurée invariable, et dont Tensemble forme la surface de séparation entre les fibres dilatées situées au dessus , et les fibres comprimées ou raccourcies situées au dessous.

On admet que, dans Tinflexion du solide, les fibres longitudinales n^ont point glissé les unes sur les autres^ de telle sorte que, si Ton conçoit une section plane «/, faite dans le solide avant Tinflexion, et passant par le point o d*une des fibres dont la longueur ne varie pas par Tinflexion , et une section plane aussi s't' faite normalement à Taxe du solide infléchi , et passant par le point o' à une distance io' de la section encastrée , mesurée suivant la fibre infléchie égale à la distance rectiligne io, la section «Y contiendra après Tinflexion les mêmes particules qui se trouvaient originairement dans la section st. Gela étant admis, il en résulte que la ligne qui, dans la section «Y, sépare les fibres étendues des fibres dilatées, est une (!roile horizontale, normale à Taxe du solide infléchi ou droit , et que la surface formée par Ten- * semble des fibres de longueur invariable est une surface cylindrique droite dont les génératrices sont horizontales.

Pour des flexions très-petites , auxquelles correspondent par conséquent des allongements et raccourcissements très-faibles des fibres, la résistance de celles-ci est. ainsi que nous Tavons dit en traitant des prismes étendus ou comprimés dans le sens de leur axe , proportionnelle SiWTn allongements ou raccourcissements divisés par les longueurs primitives , et égale au produit de ces variations de longueur proportionnelles , en plus ou en moins , multipliées par le coefficient d'élasticité. On suppose ordinairement, dans la théorie de la résistance des solides fléchis transversalement , que les résistances de toutes les

fibres étendues et eomprimées demeurent ainsi proportionnelles^aux variations de longueur. Nous exposerons d'abord les résultats obtenus en partant de ce principe ; mais nous devons foire observer dès à présent que , si les résistances à la compression ou à Textension des fibres sont réellement identiques pour les premières variations de longueur , cette égalité peut cesser , et paraît en effet cesser d'exister dans certains corps , pour des allongements ou des raccourcissements qui ne dépassent point encore les limites de l'élasticité et ne donnent point lieu à une déformation permanente ; tandis que pour d'autres corps , l'égalité de résistance correspondante à des allongements ou den raccourcissements des fibres égaux entre eux semble se maintenir au delà de ces limites , et même jusqu'au terme de la rupture.

Soit donc smnt la section transversale du solide considéré , fig. 4 , PL XIII ^ et mn la ligne qui sépare les^ fibres comprimées aboutissant à la partie msn des fibres dilatées ou allongées qui aboutissent à la partie mtn de cette section ; soit uv un élément longitudinal de la section mtn , compris entre deux lignes horizontales, infiniment rapprochées parallèles à mn. Toutes les fibres qui aboutissent à cette tranche auront été allongées d'une égale quantité, et si J'on désigne par i le rapport de l'allongement de la fibre étendue à sa longueur primitive , par E le module d'élasticité , par U la longueur uv , par v , la distance de la ligne mn à la tranche uv , et par conséquent par dv la largeur infiniment petite de cette tranche, Et X TJdv sera la somme des forces attractives développées par l'extension des fibres aboutissant à l'élément longitudinal Vdv, Ces forces sont toutes parallèles entre elles , puisqu'elles sont tangentes à la courbure des fibres , et par conséquent normales au plan de la section smtn. L'intégrale

/Pi r*Vi

EiVdv = E / Vidv , v^ désignant la plus grande valeur de o «/ o

l'ordonnée «?, exprime donc la somme de toutes les forces attractives développées par l'extension des fibres , et aussi leur résultante. U et t sont les fonctions de v,

Vidv exprimera la somme ou la résultante de toutes les forces de répulsion développées par la contraction des fibres, qui aboutissent à la partie inférieure de la section transversale : Vo désignant l'ordonnée maximum de cette section.

Cela posé, la partie du solide comprise entre la section quelconque 9t et son extrémité libre , considérée comme un solide de forme inva-

RËSISTANCE DES MATÉRIAUX. S09

riabe, doit élre en équilibre, sous Taction simultanée du poids Q et des forces attractives et répulsives développées par les réactions moléculaires des fibres, dans cette section.

Si nous ajoutons au point o', considéré comme appartenant à la portion rs'C'iy du solide, deux forces + 0, — Q égales et directement opposées, les conditions d'équilibre ne seront point troublées. Les forces appliquées à cette portion ff^C^ÎÏ sont alors un couple (0,-0) dont le bras de levier est égal à la projection horizontale de la courbe (/k , et une force Q verticale agissant de haut en bas, appliquée en o\ Si la flexion dn solide est petite, la direction de cette dernière force s'écartera fort peu du plan de la section t^i^^ei sera presque normale à Taxe du corps infléchi. Comme d'ailleurs nous considérons ici les deux parties dvt corps séparées par la section sU^ comme des solides de forme invariable, l'action de cette force tend à séparer la partie y/'G'D' de l'autre partie du prisme par un glissement des deux parties l'une sur l'autre, suivant le plan ^f. Son action dans le sens perpendiculaire à la section &^f' est sensiblement nulle , et partant elle ne peut influer que fort peu sur la flexion du corps , et sur l'extension et la compression des fibres qui traversent la section s't'. En se bornant donc à considérer le cas où la flexion est fort petite, il est permis de faire abstraction de la force Q appliquée en o' , et d'admettre que les forces attractives et répulsives développées par l'extension et la compression des fibres dans Ta section s^t' font simplement équilibre au couple (Q, — Q).

11 faut pour cela : !<> qiie ces forces attractives et répulsives se réduisent à un couple, ce qui exige que les sommes des forces attractives et répulsives soient égales entre elles. Cette condition est exprimée par l'équation :

\ Vtdv= I UiV

Vidv (1).

2° Il faut que le moment du couple résultant des forces attractives et répulsives soit égal au moment du couple Q^—Q , condition qui est exprimée par l'équation :

E j / Vivdv -4- / 'Hivdv | == Q X S (2).

S étant la projection horizontale de la courbe o'k, La première équation détermine la position de la droite mn dans la

Sia CHAPITRE V.

section transversale. Il suffit pour cela de déterminer les valeurs de Textensionou de la compression variable t , en fonction de Tordonnée verticale v d*une tranche U. Or si Ton conçoit une section plane transversale, normale à Taxe du solide infléchi, et infiniment voisine delà première, les plans de ces deux sections se couperont suivant une droite horizontale projetée en G ; si Ton considère seulement une section verticale du solide , parallèle à Taxe , et dans laquelle io'k sera la fibre de longueur invariable , le point de concours G , des deux droites fs' et h'si^^ intersections de la section verticale dont il s^agit par les plans normaux à Taxe infiniment rapprochés y sera le centre de courbure de la courbe io'k au point 0% et o'C le rayon de courbure de celle-ci. Désignant ce rayon par ^, on a évidemment les deux équations , ou proportions :

0^0/ Co' ' o'o'i Go'

Or, les premiers membres de ces deux équations expriment rallongement et le raccourcissement par unité de longueur^ désigné par ;, des fibres situées aux distances o7 et o'é^ de la fibre de longueur invariable ou de la droite mn, qui sépare les fibres dilatées des fibres comprimées dans la section mnst. Ces allongements ou raccourcissements des fibres sont en conséquence proportionnels à leurs distances respectives à la fibre

i nvariable, et Ton a généralement la relation t- pour toutes les fibres

étendues ou raccourcies; ^ étant constant pour tous les points d'une

même section, --devient un facteur commun à tous les éléments des

intégrales fVidv ; ce facteur peut être supprimé dans Téquation (1) qui se réduit en conséquence à la suivante :

Elle exprime que les sommes des moments des tranches infiniment minces U^t?, dont Tensemble compose les parties de la section mnta supérieure et inférieure à la droite inn^ par rapport à cette droite mfi, sont égales entr'elles , et par conséquent que la ligne mn est la droite horizontale qui passe par le centre de gravité delà section transversale, ce qui détermine tout à fait sa position.

L'équation (2) devient , eiry remplaçant i par — :