FONTE DE COED-TALON N» 2 AU VENT CHAUD

Barreaux de 3centim.^54 d^équarrissage posés sur des appuis distants

de On» ,762 et chargés au milieu.

degrés oenligr.

. 28 8/9 de 56 2/3 à 58 8/9 de 85 5/9 à 862/3 de 87 7/9 à 91 1/9

Rouge dans l'obscurité.

Coefficient d'élasticité.

oids

qui

déterminent

la

rupture.

hii.

Flèches

au moment

de la

mit.

Milieu dans lequel

la rupture s'est

opérée

et

observations.

En plein air. par un

froid Irès-vir.

En pein air.

Dans la neige fondante.

Jd.

Id.

Dans Teau chaude.

Id.

En plein air.

FONTE DE COED-TALON No 3 AU VENT CHAUD.

Barreaux de 2ccntim.,54 d'équarrissage posés sur des appuis

distants de 0m,6858 et chargés au milieu.

Températures.

degrés centigr.

Coefficient d'élasticité.

Poids

qui

déterminent

la

rupture

kil.

Flèches

au moment

de la rupture.

Milieu dans lequel

la rupture s'est

opérée

et

observations.

Dans l'eau bouillante Dans un bain de plomb fondant

Id.

Ces essais indiqueraient encore une augmentation de ténacité de la fonte, depuis la température de Teau bouillante jusqu'à cell^:» la fusion du plomb.

D*après l^ensemble des résultats rapportés ci-dessus, il paraîtrait 1» que, pour des températures inférieures à celle de la glace fondante, la résistance à la rupture serait plus faible qu'à cette dernière température , et irait en diminuant avec rabaissement de la température ;

^o Que la résistance à la rupture serait à son maximum vers la température de degré, et décroîtrait sensiblement depuis ce point jusqu'à la température de Peau bouillante;

3° Qu'au delà de ce terme, elle augmenterait de nouveau avec la température, de façon qu'elle serait plus grande à 315^ centigrades qu'à lOOo;

4o Qu'enfin elle serait diminuée de 12 à 13 p. 0/0 à la température correspondante au rouge sombre.

Il serait à désirer que des expériences plus nombreuses ftissent entreprises à ce sujet; les conclusions précédentes ne pouvant pas encore, il s'en faut bien, être tenues pour certaines. Nous nous bornerons à remarquer qu'il serait fbrt extraordinaire que la résistance à la rupture ne fût diminuée que de 12 à 13 p. 0/0 à la chaleur rouge sombre , tandis que cette diminution est beaucoup plus considérale pour le fer forgé.

De la forme des solides d'égale résistance à la flexion transversale.

NOUS avons vu que, pour un solide prismatique encastré par une extrémité et chargé d'un poids Q à l'extrémité libre , on avait l'équation :

en négligeant le poids du solide lui-même.

Le rayon de courbure, qui est insensiblement égal à </^, est donc

dx^

pour le point dont Vabcisse est a?, égal à y

La plus grande Araction de la longueur primitive dont les fibres se soient allongées, dans la section transversale correspondante à l'abcisse ar , est :

Si, au lieu de donner au solide la forme prismatique, on fait varier la section transversale avec Tabcisse x^ de façon que le rapport

^ JT^^ soit constant pour toutes les valeurs de a?, il est clair que la M

plus grande variation de longueur des fibres , rapportée à Tunité de longueur , sera la même dans toutes les sections transversales du solide; que les fibres extrêmes seront , dans toute leur étendue, raccourcies ou allongées de la même fraction de la longueur primitive ^ éprouveront par conséquent des tensions ou compressions égales, et

qu'ainsi laforme déterminée par la condition que T^ — - égale une

quantité constante , quel que soit or, caractérisera le solide qu*on peut appeler d^égale résistance. On peut satisfaire à cette condition d'une infinité de manières difiFérentes. Ainsi , si Ton considère d*abord un prisme à base rectangulaire , dont la base ait une largeur a dans le sens horizontal , et une hauteur h dans le sens vertical, on peut laisser la largeur a constante dans toute la longueur du solide , et faire varier la hauteur verticale h avec la distance a; à la section encastrée.

Une section faite à la distance x sera toujours un rectangle ayant pour base la largeur constante a, et pour hauteur la variable h. Le

moment d'élasticité sera, pour cette section, exprimé par-r^j-. La

plus grande distance? des fibres étendues ou comprimées à Taxe neutre

sera ^ . On aura don :

b ~Eû6»

Ea6»

L'équation à laquelle il faudra satisfaire sera donc :

où C désigne une quantité constante.

De là on tire :

Ea xC

l — X est la distance variable d*une section transversale à Textrémité libre , et chargée du solide. On voit que la hauteur b , qui est nulle à cette extrémité , doit croître jusqu'à la section encastrée, comme l'ordonnée d'une parabole dont le paramètre serait égal à =-Tr. La cons-

tante G exprime d'ailleurs la fraction de leur longueur primitive dont se sont allongées ou raccourcies les fibres les plus écartées de l'axe neutre, divisée parla chaire Q.

Par exemple, supposons qu'un solide en fer forgé, encastré par un bout, doive supposer un poids de Q kilogrammes à l'extrémité libre, et qu'on veuille limiter à 0,0003 de la longueur primitive la plus grande

variation de longueur des fibres, on aura la constante C=:-^^ — 9

et la valeur de la hauteur b^ de la section sera donnée en fonction de la distance à l'extrémité libre du solide , que j'appellerai x , au lieu de l —x^ par l'équation :

ô« = ^2<f ou 6«= ^><^ E X a X OjCOOS 1.000.000a

en prenant £ =3 20.000.000.000.

Si, au lieu de faire varier la hauteur b' on voulait laisser celle-ci constante et faire varier la largeur a du solide , celle-ci serait déterminée en fonction de x par la relation générale :■

Eô'XC E«&'

:r désignant la distance à l'extrémité libre du solide, « la plus grande variation de longueur que Ton veuille faire supporter aux fibres , b la hauteur constante , et Q la charge. La projection horizontale du solide serait donc alors un triangle isocèle dont le sommet serait à l'extrémité libre, et la base à la section d'encastrement; le demi-angle au sommet de ce triangle aurait pour tangente trlgonométrique :

jo 30

Si la charge était uniformément répartie sur la longueur du solide , au lieu d'être fixée à son extrémité libre , on aurait , en désignant par p la charge par unité de longueur, Téquation :

RËSISTANCE DES HATËRIAUX. 351

On devrait donc avoir, pour que le plus grand allongement ou raccourcissement des fibres fût le même à une distance quelconque x de la section encastrée , Téquation :

ce étant la plus grande variation de longueur des fibres que Ton se donne, diaprés la nature du corps. Remplaçant l — x par x , il vient :

où X représente la distance d*une section quelconque à Textrémité libre. Si la section est un rectangle dont la base soit constante et égale à a, et dont la hauteur h varie avec la distance or, on a :

Ea5' b

et par suite :

f'Xp ^P . « /"

g^^=«,d'oùô«==-^a;«etô=a;Y/ ■

La section verticale du solide, par un plan longitudinal , peut être alors un triangle rectangle dont un des sommets est à Textrémité libre du solide , et dont Tangle contigu à ce sommet a pour tangente trigonométrique :

X y Ea« '

ou mieux un triangle isocèle dont le demi-angle au sommet a pour tangente :

552 CHAPÏTRE V.

2a; 2 y Ea« *

Si on supposait, au contraire , la hauteur h uniforme et la largeur variable avec la distance à rexlrémité libre, on aurait entre a et â? la relation :

La projection horizontale du solide serait alors limitée par deux arcs paraboliques , /2gr. 8, PL Xm, AB, AC, se touchant par leurs sommets à l'extrémité libre A du solide , tournant leur convexité l'un ver» l'autre, et pour chacun desquels on aurait l'ordonnée m = în, correspondante à l'abscisse At , comptée , à partir du point A , égale à 155 — E^2« ^ A/2.

Formes d'un solide d'égale résistance^ posé sur deu3B appui*, ^ Les formes d'égale résistance d'un solide posé sur deux appuis et chargé au milieu , ou chargé uniformément sur toute sa longueur, se déduisent sans difficulté de celles du solide encastré par une extrémité. Dans le cas où la charge est placée au milieu , et où la largeur demeure constante , la section du solide par un plan longitudinal et vertical , peut être formée de quatre arcs égaux de parabole, qui viennent se couper deux à deux au milieu de la dislance des appuis , où la hauteur du solide est la plus grande. Si, au contraire , la hauteur est constante, la projection horizontale du solide est formée de deux triangles isocèles égaux appuyés sur une même base , qui est la largeur du solide au milieu. Le demi-angle, au sommet, aurait pour tangente trî-

gonométrique=^, éUnt la moiUé du poids placé au milieu du

solide.

Si le solide est chargé de poids uniformément répartis sur sa longueur , l'équation de la courbe qu'affecte chaque moitié du solide comprise entre le milieu cl l'un des appuis sera :

/ désignant la demi-distance des appuis , et ^ la distance au milieu du solide. On conclut de là , en désignant par Y la plus grande distance des fibres au centre de gravité de la section transversale :

dx^ jîr

ou, en remplaçant / — ^ par j?^ qui représentera alors la distance d*une section transversale quelconque à Tappui le plus voisin de celte section :

Supposant que toutes les sections transversales soient rectangulaires, b étant la hauteur, et a la base d*une section quelconque, on a :

et réqualion précédente devient :

si on suppose h constant,

La projection horizontale d« la moitié du solide peut être alors formée par deux arcs de parabole égaux se coupant au point d*appui G, fig, 7 , PL XIII i tournant leur concavité Tun versTautre, et dont les équations sont, en prenant Taxe GC du solide pour axe des ar, et Torigine au point G :

-+- 3 / ar2\

•^-^I^es^v^'^-^t;»

TOHB I. 33

la largeurvariaMe a du solide étant égale alors à 3/, ou à ;

-g^(pto-^).

Il est facile de voir que ces deux arcs paraboliques ont leurs sommets en A et B, à une distance x du point G, égale à la demi-distance / des appuis, de sorte qu'en les prolongeant de l'autre côté de la ligne AB, ils viendront se couper de nouveau en G' sur le second point d'appui ^ Le contour de la projection horizontale est donc alors formé par deux arcs de parabole qui viennent se couper aux extrémités ou sur les deux appuis, et ont leurs sommets au milieu de la longueur du solide.

Si on suppose la largeur a constante, on a :

Cette équation montre que la section verticale du solide, par un plan longitudinal, peut être une demi -ellipse dont le grand axe est égal à la distance des appuis, et le demi -petit axe est égal à

De la flexion transversale des solides lors de la mise en charge et sousVaction d'un choc.

Flexion lors de la mise en charge. — Soit un solide prismatique posé sur deux appuis, / la demi-distance des appuis. Si un poids 2Q est placé au milieu de la distance entre les appuis , la pièce fléchira sous l'action de ce poids jusqu'à ce que le travail moteur dû à la chute du poids soit égal au travail résistant développé par l'élasticité des fibres pendant la flexion du prisme. Appelons /la flèche totale correspondante à la fin de la descente du poids ^ ; âQ/" sera le travail moteur dû à la cbute du poidà. Si nous désignons par f la valeur variable de la flèche pendant la descente du poids Q, et si nous supposons que la courbe affectée par le solide, pendant la durée de la flexion, soit constamment celle qu'afiPecte le solide chargé d'un poids placé au milieu de la distance des appuis, la résistance du solide, dans le sens vertical,

sera égale, pendant la durée de la flexion, à -j^ , car le solide

AËSISTâNGE des matériaux. 555

dont la déflexion est égale à f ferait équilibre à Taction d*un poids posé au milieu de la distance des appuis et égal à r ^ ■-, en négligeant

d'ailleurs Tinfluence du poids du solide infléchi. Le travail résistant élémentaire développé par Télasticité du solide, pendant que f augmente de df est donc égal à j /^^ , et l'intégrale de ce travail,

prise depuis une flèche nulle jusqu'à une flèche égale à /"est — t^— . On a donc, pour déterminer/; Téquation :

-iT—^r^ d'où /=3-ii-.

Cette flèche est double de celle du solide en équilibre sous Taction du poids 2Q. Quand le solide a fléchi jusqu'à cette limite, ilse relève jusqu'à ce que le travail moteur développé par l'élasticité de la pièce soit détruit par le travail résistant dû au relèvement du poids 2Q, ce qui arrivera évidemment quand la flèche sera nulle , et le prisme continuerait ainsi à vibrer , à exécuter une série indéfinie d'oscillations transversales autour de la position d'équilibre , si le mouvement ne s'éteignait bientôt par les résistances passives et la propagation de ce mouvement dans les supports elle milieu ambiant.

La durée de chaque oscillation est facile à déterminer. On a ,en effet, en négligeant toujours la masse du solide infléchi :

iS^ =20- ^^>=^^y

g dt /3 •

Multiplant par df les deux membres de cette équation, et intégrant, il vient :

La constante est nulle si, pour f = 0, on a -^ = o,. De là on tire î

2 QP et, par Tintégration prise à partir def = jusqu'à j» =/ = -=- -j^^

.on a pour la durée de roscillaUon complète :

Ces résultats sont analogues à ceux que nous avons obtenus sur l'allongement ou le raccourcissement des prismes tirés ou pressés 'suivant leur axe , lors de la mise en charge ; il ne faut pas d'ailleurs perdre de vue qu'ils ne sont approchés qu'autant que la masse du solide est réellement fort petite par rapport à celle du poids 2Q, placé au milieu de la distance des appuis, et qu'ils supposent que l'action exercée sur le milieu de la pièce se transmet instantanément jusqu^à ses extrémités.

Flexion produite par un choc, — Si on suppose maintenant qu^un corps dont le poids soit égal à sQ tombe d'une hauteur H sur le milieu d'un prisme qu'il frappera avec une vitesse égale par conséquent à l/2^H, et si l'on suppose que le poids Q demeure après le choc attaché au prisme, on déterminera la flexion maximum sous l'action de ce choc , en négligeant toujours l'influence de la masse du prisme, par rapport à celle du poids Q, par l'équation :

Si la flèche /est négligeable par rapporta la hauteur if, l'équation se réduit à:

Si on désigne par fi la flèche la plus grande que puisse prendre le solide , sans que l'élasticité soit altérée, par 0|, la pression statique capable de produire celte flèche, on a la relation :

et en multipliant les deux membres par /• :

nr.

En supposant f=zfi dans Téqualion ( a), et remplaçant ^2 par la valeur ci-dessus , on a pour la plus grande valeur de 2QH que le solide puisse supporter sans altération de Félasticité :

Ainsi, un choc transversal mesuré par un produit 2QH , suffît pour altérer Télasticité , lorsqu'il est égal à la moitié du produit du poids dont raction statique altérerait cette élasticité par la flèche correspondante à ce poids. S'il était permis d'admettre que la résistance des fibres à la tension ou à la compression demeure constante jusqu'au moment de la rupture , ce qui n'est pas , les conséquences précédentes s'appliqueraient à la rupture d'un solide par un choc transversal, et l'on pourrait dire que la résistance du solide à la rupture est proportionnelle au produit du poids capable de rompre le solide par son action statique , multiplié par la flexion du solide qui a lieu au moment de la rupture. C'est , en eflFet, ainsi que les auteurs anglais évaluent la résistance des solides à un choc transversal. M. Eaton Hodgkinson a communiqué à l'Association britannique des résultats d'expériences directes sur des solides en fonte, frappés par un boulet de fonte qu'il laissait tomber de différentes hauteurs sur le prisme placé verticalement; et il paraît qu'en effet, la résistance de ces solides à la rupture par le choc a été trouvée proportionnelle au produit du poids capable de rompre le solide par son action statique , et de la flèche au moment de la rupture ( Foyez le vol. II des Transacifonê de l'Association , contenant le compte rendu de la réunion qui eut lieu à Cambridge , en 1853).

Les résultats précédents seront de quelque utilité dans la pratique ,. toutes les fois que le poids ou la masse choquante seront considérable» par rapport à la masse du solide considéré , ce qui est en effet le cas le plus ordinaire. La solution complète de la question ^ en ayant égard à la masse et aux vitesses des particules du solide , dépend de l'analyse aux différences partielles , et nous ne pouvons l'exposer ici. Tîous renverrons les lecteurs désireux de l'approfondir , au second volume du Traité de Mécanique àe M. Poisson; à l'ouvrage de M. Navier, sur les ponts suspendus , et à la Mécanique industrielle de M. Poncelet»

dans laquelle ce savanl professeur a présenté sous une forme élémentaire, avec la clarté qui distingue tous ses ouvrages , les propriétés des solides prismatiques sollicités par des forces agissant suivant Taxe de ces solides.

Nous nous hâtons de terminer cette digression , qui a pris , presque malgré nous , une étendue considérable , pour laquelle Timportance du sujet nous servira d*excuse , par quelques notions sur les solides prismatiques encastrés par leurs extrémités, ou fléchis transversalement par des forces parallèles à Taxe, et sur la résistance des solides à la torsion.

Solide prismatique encastré par ses deux extrémités. — Soit un solide prismatique encastré par ses deux extrémités A et B, /î^. 6, PI. XIII, et chargé en son milieu d'un poids Q, rencastrement a pour résultat de rendre horizontales les tangentes en A et B , à la courbe qu'affecte Taxe AMB du solide. Gomme la Ungente à cette courbe , au point qui se trouve à égale distance des deux sections encastrées , doit être évidemment aussi horizontale , on voit déjà que chaque moitié de la courbe AMB aura un point d'inflexion entre le point M et son extrémité^ et à cause de la symétrie des deux moitiés MA, MB de cette courbe, les deux points d'inflexion seront situés sur une même ligne horizontale ik , que je prolonge jusqu'en m et w, où elle rencontre les plans verticaux des sections encastrées. De plus* ^es deux parties At et t'M de la moitié AtH de la courbe doivent être égales entre elles , de sorte que l'abaissement bU du point H au-dessous de la ligne Mifcn est précisément égal à l'élévation km du point A au-dessus de la même ligne. En efiFet , concevons que le solide prismatique ASLB ait une longueur indéfinie au delà du point A et du point B, et que les prolongements indéfinis du prisme soient posés sur des appuis situés sur les prolongements de la ligne AB , à des distances toutes égales à AB. Supposons en outre que les points A et B du prisme ainsi prolongé soient aussi posés sur des appuis au lieu d'être encastrés , il est évident que si on place au même instant des poids tous égaux à Q sur le prisme, dans les milieux des intervalles de tous les appuis consécutifs, les portions du prisme fléchiront également entre les points d'appui , suivant des courbes égales entre elles , et que les points du prisme posés sur les appuis avant la charge resteront encore sur ces mêmes points , après la charge , sans s'avancer ni d'an côté ni de l'autre. De plus , les tangentes à la courbe ondulée qu'afléctera le solide seront toutes horizontales aux points situés sur les appuis. Enfin , ohaque partie du solide comprise entre deux appuis cousécutifs sera exactement dans le même cas que si elle était encas-

Crée par ses extrémités, et son axe sera précisément fléchi suivant une courbe égale à AMB. Or, dans le cas du prisme indéfini, il est évident que chaque point d^appui supporte une pression verticale égale à un des points Q, et qu'en conséquence , la résistance de chacun de ces points d*appui peut-être remplacée par Taction d^me force verticale égale à Q , et agissant de bas en haut. Le prisme indéfini a donc la même forme que $*il était entièrement libre et sollicité par une série de forces verticales égales à Q , appliquées à des distances égales à la demi-distance des sections encastrées A et B , et agissant alternativement de haut en bas et de bas en haut. Une force Q , agissant de haut en bas, serait appliquée en M ; deux forces Q , agissant de bas en haul^ seraient appliquées en A et B. Or, les forces qui remplacent les résistances des appuis étant égales en grandeur aux forces appliquées au milieu des intervalles qui les séparent, il est clair que la partie Ai de la courbe AtH doit être égale à la partie iUL , et que la première doit être placée par rapport à la verticale AX dirigée de haut en bas, comme la seconde Test par rapport à la verticale Ha dirigée de bas en haut. Donc A{=:]llt; donc aussi, km=Mb^ib=tni,

et {k=^bi=:-^ AB. La distance des deux points d*inflexion t et k

est égale à la demi-distance des sections encastrées.

Remarquons maintenant qu'aux points d'inflexion t et A; , le sens de la courbure de Taxe du solide change , la partie At tend à se relever, tandis que la partie Mt' tend à s'abaisser en dessous de Thorizontale mn.

Si le solide rompait en ce point , les deux sections transversales en contact se sépareraient en glissant l'une sur l'autre. Il résulte de là que l'adhérence de ces sections contigues équivaut à un point d'appui fixe sur lequel reposerait l'extrémité i de la partie Ht du solide , et sous lequel serait engagée l'extrémité i de la partie At*. La portion tMA: du solide est donc dans les mêmes circonstances que si elle était entièrement isolée du reste du prisme , et si elle était simplement posée par ses extrémités £ et k sur deux appuis. La courbe iMk est donc celle qu'affèctuerait l'axe d'un prisme posé librement sur deux appuis dont la distance serait égale à la moitié de la distance AB des sections encastrées , et chargée au milieu d'un poids Q.

La flèche 6M de la courbe est donc égale à 1/8 de la flèche que prendrait le solide , si, au lieu d'être encastré en A et B , il était simplement posé sur deux appuis ; car la flèche est , toutes choses égales d'ailleurs, proportionnelle au cube de la distance des appuis; le plus grand allongement ou raccourcissement des fibres du prisme dans la

section tranversale passant par le point H, est la moitié de rallongement ou raccourcissement maximum des fibres du prisme , dans le cas où il serait posé sur deux appuis, au lieu d'être encastré. En effet , le raccourcissement ou allongement maximum est, pour un prisme donné, proportionnel à la flèche et en raison inverse du carré de fa distance des appuis. Ici la flèche est 1/8, tandis que la distance des appuis est la fraction 1/â de la distance AB, fraction dont le carré est 1/4. Or, f /8 : l/4=::1/2. Le prisme encastré peut donc supporter^ pour une même dilatation ou compression des fibres^ un poids double de celui que supporterait le prisme de même longueur, posé sur deux appuis.

Enfin, on remarquera que la flèche Vb est la moitié seulement de rabaissement du milieu du solide au-dessous de Thorizontale passant par les points A et B, et que , Te rayon de courbure étant le même au point H et aux deux points A et B , le solide tend à rompre en fun quelconque de ces trois points.

Ces résultats sont conformes à ceux que donne M. Navier , dans le résumé de ses leçons sur la résistance des matériaux. La démonstration précédente est analogue à celle qui se trouve dans VEsmi théorique et expérimental sur la résistance du fer forgé , par M. Duleau.

Des pièces prismatiques chargées verticalement.

Prisme encastré par son extrémité inférieure, — Soit un prisme MN, /îgr.y, PL XIII ^ érigé verticalement, et encastré par son extrémité inférieure dans un plan horizontal AX. S'il est chargé d'un poids sufiisant, à son extrémité supérieure , et que cette extrémité soit tout à fait libre, le prisme fléchira si la longueur est un peu considérable , ainsi que l'expérience le démontre. Supposons que le point N vienne en N' , que Wk soit la verticale suivant laquelle agît le poids. Il s'agit de trouver l'équation de la courbe MN' qu'affecte Taxe du prisme fléchi et en équilibre sous une charge donnée Q.

Si nous posons a6 =^, 6m«=7 , l'origine des axes des coordonnées étant au point A , et M étant le moment d'élasticité du prisme infléchi , nous aurons , en désignant par p le rayon de courbure de la . courbe au point m , l'équation d'équilibre :

II est essentiel de remarquer que ceci ne peut s*appliquer qu^au cas Où la charge Q est assez petite pour qu'il soit permis de négliger Tinfluence du raccourcissement des fibres , qui serait occasionné par cette charge , dans le cas où le prisme chargé ne pourrait pas fléchir. En effet, en remplaçant la force Q , qui est appliquée en N' par une force égale et parallèle appliquée en m , et par le couple dont le moment est égal à Qx^ ainsi que nous rayons fait, dans le cas du solide prismatique encastré et situé dans une position horizontale , on ?oit que la direction de la force transportée en M est ici sensiblement parallèle à Taxe du prisme lorsque la flexion est très-petite , ce qui est Thypothèse admise. On ne peut donc négliger Tinfluence de cette force sur la variation de longueur des fibres , qu'autant qu'elle est réellement fort petite par rapport à celle qui serait capable non-seulement d'écraser , mais encore d'altérer l'élasticité du prisme par un effbrt direct de compression.

En supposant la flexion très-petite , on a :

(Il faut prendre ici le signe —devant ^ , pour que l'expression i

soit positive ; car l'origine des coordonnées étant prise au point A ,

dr et les X positifs comptés dans le sens AN' , ;^ , qui est nul pour

^ = , prend une valeur négative croissante numériquement , à me-

sure que x augmente, de sorte que -j^ est une quantité négative).

Substituant cette valeur dCT, on a, pour l'équation difi^éren-

tielle de la courbe :

dx2

Multipliant par djr , et intégrant , on a :

Pour ;F=(?, on a/:=AM «= la flèche de la courbe que nous appellerons

dy f^ et ^ = 9 condition qui détermine la constante C , qui est égale

à Q^. L*intégrale première de Téquation est donc :

d*où:

et:

as^l^^

x^=\/ ~{ arc sin y^+CJ-

La constante se détermine en observant que , pour x = Oy y = f'^ réquation deyient en conséquence :

Si / est la longueur totale du solide , longueur qui diffère très-peu de Tabscisse verticale AN' , lorsque la flexion est très-petite , ainsi qu*on le suppose, on doit avoir en même temps a; = /,/»=:= o , d*où :

£1 par conséquent :

Y/ff'+5""""'

ou :

m désignant un nombre entier quelconque.

La plus petite valeur de qui puisse maintenir la pièce fléchie s'obtiendra en faisant dans l'équation précédente : w= 1. Elle est en conséquence :

Toute cbarge plus faible serait incapable de faire fléchir la pièce. L'équation de la courbe, quand on fait m = 1 , est :

Si Ton prenait m = 2 , il viendrait pour déterminer Q :

et réquation de la courbe serait :

r=/'sin^2^ar + yy

Celte courbe coupe l'axe des a? à son extrémité supérieure où x=l. elle vient encore le couper à une distance de son extrémité inférieure

égale au tiers de / : car , pour a? = -^ , on a ;

"ai ^ + Y= ». el sm [-^ + y j = 0.

Enfin , on a 7=/" pour a? =0, et/ = — ^ pour :

mi CHAPITRE V.

L*axe du solide coupe donc une seconde fois la verlicalc passant par son extrémité supérieure, et a la forme N'N|N6Ar^. Le plus petit poids qui puisse faire fléchir le solide de cette manière est égal à neuf fois celui qui suffirait pour le fléchir suivant la forme MmN'.

On déterminera de même les formes des courbes correspondantes aux hypothèses im=3,4, etc., et les limites inférieures des charges capables de fléchir le solide suivant ces courbes.

Prisme dont les extrémités sont assujetties à demeurer sur la même verticale, pendant la flexion. — Si on suppose les extrémités du prisme assujetties à demeurer sur une même verticale , Téqualion difiPérentielle de la courbe sera la même que dans le cas précédent. En prenant pour axe des x la verticale AB fig, 10, PL XIII, et Torigine

en A , rintégration donne, en observant que pour/;=/'ona^'= 0,

et que Ton a^=0pour4?=0 :

La condition quea?=/pourj^=0 donne ensuite :

la forme AB , fig, 10, convient au cas où m = 1. L'équation est :

« . mic

X = f^WL'-j'X.

Le poids le plus petit capable de maintenir la pièce fléchie est :

La forme ACB ,fig,U, composée de deux parties égales, convient au cas où m <:= 2. L^équalion de la courbe est :

X = fsin-j^x,

iiC poids le plus petit capable de produire une flexion de ce genre est M X -n > quadruple du précédent.

La forme ÂGDB ^fig, 12, qui coupe la ligne AB en quatre points , correspond à m == 3 , etc.

On voit que pour faire fléchir une pièce dont les deux extrémités sont assujetties à demeurer sur la même verticale , il faut une charge quadruple de celle qui suffît pour fléchir une pièce dont Textrémité supérieure est libre , et qui est encastrée par son extrémité inférieure.

On remarquera qu'une pièce chargée verticalement doit être rompue au bout de peu de temps sous une charge capable de la faire fléchir; car réquilibre d'une pièce ainsi infléchie n'est point un équilibre stable, mais un équilibre indifférent. En effet, la même charge qui est capable de maintenir la pièce sous une flexion quelconque, peut aussi la maintenir sous une flexion plus grande ou plus petite, parce que le moment de la charge , par rapport à la section où le rayon de courbure est le plus petit, croit précisément proportionnellement à la flèche, la charge demeurant constante.

Les pièces chargées verticalement sont ordinairement de forme cylindrique ou carrée. On emploie principalement de cette manière la fonte de fer, sous forme de colonnes creuses, et les bois équarris ou simplement écorcés. G*est ainsi qu^on les emploie dans les mines. Le sens de la flexion de la pièce est déterminé, ou par un défaut de solidKé dans quelque partie de la pièce, tel que les nœuds dans les bois , des vices de moulage dans la fonte , ou bien par le fait que la charge, au lieu d'agir suivant l'axe du solide, agit latéralement à cet axe, ce qui diminue beaucoup la résistance de la pièce. Les poteaux ou étais de bois isolés que l'on emploie si fréquemment dans les excavations souterraines , sont principalement dans ce cas.

Résultats d'expériences sur la flexion des prismes chargées ver* ticalement. — Suivant M. Navier , qui se fonde principalement sur des expériences faites par Rondelet sur le bois , et par G. Rennie sur la fonte, les formules précédentes donnent un résultat trop faible pour les bois, lorsque la longueur n'est pas plus grande que vingt fois l'épaisseur , les prismes cédant alors plutôt par écrasement que par flexion transversale. En évaluant à 3 kilogrammes par millimètre carré le poids capable d'écraser un prisme de bois dont la longueur est égale à une ou deux fois l'épaisseur , le poids capable d'écraser un prisme dont la longueur sera égale à douze fois l'épaisseur , sera les 5/6 du précédent , ou 2 kilogrammes 1/25 , et il suffira d'un poids de 1 kilogramme 1/2 pour écraser le prisme , si sa longueur est égale à vingt-quatre fois l'épaisseur.

Pour le fer fondu , la résistance à Técrasement étant évaluée à 100 kilogrammes par millimètre carré pour le cube , serait réduite aux 2/3 ou à 66 kilogrammes, pour un prisme d'une longueur égale à quatre fOis répaisseur, à moitié, ou 50 kilogrammes pour un prisme d*une longueur égale à huit fois Tépaisseur, et au quinzième ou 7 kilogrammes environ , quand fa longueur est égale à trente-six fois l'épaisseur.

M. Navier conseille d'ailleurs de réduire , dans les applications , la charge réelle à 1/10 de celle qui a été calculée par les règles précéden. tes ou par les formules pour les bois , et à 1/4 ou 1/5 pour la fonte de fer.

De la résistance des solides à la torsion.

Principes d'après lesquels on calcule la résistance à ta torston^ -» Si un solide prismatique encastré par une extrémité, est soumis à l'action d'un système de forces agissant dans un plan normal à l'axe du solide et qui tendent à le tordre, les fibres du solide se contournent autour de la fibre qui occupe l'axe du corps , et qui demeure invariable. Si la section extrême dans le plan de laquelle sont appliquées les forces, a tourné d'un angle fini a, par rapport à la section encastrée qui est demeurée fixe , cet angle a, qu'on appelle l'angle de torsion 9 sera uniformément réparti sur la longueur entière du solide , de sorte que le déplacement relatif de deux sections transversales infiniment voisines du solide, sera proportionnel à l'angle a et en raison inverse de la longueur totale que j'appellerai /. Gomme la résistance à la torsion doit être identique dans toutes les sections du solide , et doit faire équilibre au système des forces qui tendent à produire la torsion, il suit de là que l'angle de torsion est, toutes choses égales d'ailleurs , proportionnel à la longueur du solide prismatique homogène , ce qui est confirmé par l'expérience. Elle apprend en outre , que pour des torsions qui ne dépassent pas les limites d'élasticité du solide , l'aogle de torsion croit proportionnellement au moment des forces appliquées, par rapport à l'axe du solide , ce qui montre que la résistance à la torsion est proportionnelle au déplacement angulaire relatif de deux sec-» tions infiniment voisines. Or , les particules des fibres parallèles à l'axe du corps et qui étaient primitivement en ligne droite , subissent des déplacements relatifs proportionnels à leurs distances à l'axe du solide , et il est naturel d'admettre que la résistance de cfa9ique fibre est proportionnelle à sa section transversale et à la déviation relative de

SM particules , dans le sens du mouvement produit par la torsion. Si donc ou désigne par i un coefficient numérique constant pour chaque corps, paréfœ la section transversale infiniment petite d'une fibre, par r la distance de cette fibre à Taxe du solide tordu , a désignant d'ailleurs Tangle de torsion correspondant à une longueur / du solide , la déviation relative des particules de la fibre considérée , dans deux

sections infiniment voisines sera évidemment proportionnelle ^ ~r "> ^^ la résistance de cette fibre sera exprimée par t -j d«. Le moment de cette résistance par rapport à Taxe sera égal à

t . — d», et l'intégrale / i,.~^d», étendue à tous les éléments superficiels d'une même section transversale du solide , exprimera la somme des moments des résistances des fibres à la torsion. PR désignant la somme des moments des forces qui produisent la torsion , l'équation d'équilibre sera :

PR = r^ r2dci == y /^r2 dot.

en faisant sortir du signe /'les quantités invariables # , a et /.

Tige cxUndrique à hase circulaire. — Soit par exemple un cylindre à base circulaire, dont le rayon soit égal à ri. La section trans versale sera le cercle de rayon rx ; en décomposant ce cercle en une infinité de zones annulaires, limitées par des circonférences de cercle concentriques, infiniment rapprochées, toutes les fibres aboutissant à une même zone seront équidistantes de l'axe. Si r est la distance variable d'une zone à l'axe , dr la largeur de cette zone dans le sens du rayon , ^rdr sera la surface infiniment petite de cette zone , el la somme des sections de toutes les fibres qui y aboutissent et pour lesquelles la vlaeur

de r est la même ; on aura donc : -?" / f2 cf» =-2. / 2cr8c/r ,

Tintégrade devant être étendue jusqu'à la circonférence limite du corps

dont le royon est ri. L'intégration donne : y X -V^ , et l'équation

ta ^ «r,« d'équilibre est : PR = -7 X -g-.

Formule applicable à un prUme à base quiconque, — Pour un prisme dont la section transversale serait une surface limitée par une courbe quelconque dont Téquation polaire serait r -» / (f) , on a : d^ =s rdrd^ , et Tintégrale fi^ot étendue à la surface entière , devient:

dff J rUr^-jJ [rmdf.

Prisme à hase carrée. — Pour un prisme à base carrée dont le côté sera égal à &, on considérera séparément les huit triangles égaux fermés par les deux diagonales , et les deux perpendiculaires aux côtés du carré , et ces côtés. Le moment de la résistance à la torsion pour le prisme , sera évidemment huit fois le moment de la résistance d*un seul triangle. Considérant un des triangles BOI par exemple , fig, 18 ,

b PL Jir///, l'équation polaire du côté BI est r »— , en comptant

Tanglef à partir de la perpendiculaire 01 abaissée du point sur le côté

ÂB,etranglefdevant varier depuis ojusqu^à + 'T'. Le moment de la

résistance à la torsion d*un des triangles est donc :

1 ta p^ ^

4 /y ^ 16cos> ''^^

et le moment de la résistance du prisme est :

car on a :

/ / 8 cos« ff ^ 6/ '

cos' y 3 le moment de la résistance à la rupture du cylindre inscrit dans le

barreau à section carrée, serait : — — — . Le rapport des moments des résistances à la torsion , dans le barreau prismatique à base carrée et

le cylindre inscrit , est donc celui de 1 à —,

Expériences de Duleau, Valeur du coefficient t. Fer forgé. —

Des expériences de M. Duleau sur des fers ronds et carrés de diverses

provenances, principalement des départements de la Dordogne et de

TArriège , on conclut que la valeur moyenne du coefiicient t serait de :