LONGUEURS

IlfCLlIlAISORS

DIREGTlOnS

des

OBSERVATIONS

stations.

mètres.

degrés.

L*origine de la première station est le, pointAdu|)lan...,extrémitédela station..; du levé du....

Généralement le levé se compose d'une série de lignes droites comprenant entre elles des angles très-obtus. Il est inuUle de dire qu'aux croisements des galeries , aux carrefouri , plusieurs stations se rat-

408 GiAnni XII.

CacheroDt à l*extréBiUé d\nie même distance f km mira alors den «m plusieurs séries de distances désignées par les mêmes numéros, 911 feront suite à ceux de la galerie aboutissant au carrefour , et <int seront distinguées par une lettre ajoutée an numéro , o« par des mentions écrites dans la colonne des observations.

Les précautions à prendre dans le leré des plans à la boussole sus'l>endiie ccmsistent simplement à tendre assez fortement les eerdeaux, à tenir écartés de la boussole les outils , lampes et autres objets en for qui agiraient sur Taiguille aimantée, tes angles d'iDelitioison sont lus facilement sur le demi-cercle. Quant aux angles de. direction, leur lecture exige une assez grande habitude: il faut d*abord attendre que TaigUille aimantée ait cessé d*oscfller, ou plutôt qu'elle fasse des oscillations régulières d*une très-petite amplitude. L^angle est alors celui qui occupe le milieu de Tare embrassé par une oscillation. Il faut prendre garde ^jue Taiguillene fcf4l& contre le fond de la boite, ou oonlre la glace qui la courre. £ntin il faut avoir soin de tenir Toeil perpendiculairement au dessus et dans le plan de Taiguille. Apiiès chaque observation ^ avanld^enlever la boussole, ftour la remettre dans son étui , on fixe Taiguille , en soulevant au moyen d^une vis dont la télé est au dessous de la boité, lin petit disque central qui porte le pivot, de manière à ce que la iliappe vîèfine appuyer contre la ghvce supérieure.

Tr€fcé des plans levés à fa boussole suspendue. -^ Le tracé du plan relevé à la boussole peut être exécuté graphiquement , point par point, suivant Tordre qui a été suivi dans la mine; ou bien on peut calculer les distances des points à trois plans coordonnés rectangulaires, savoir uta plan horizontal fixe, le plan du méridien magnétique et un autre plan vertical perpendiculaire à celui du méridien magnétique.

Tracé graphique, — Pour le tracé graphique , il faut d'abord calculer Irigonométriquement , ou déterminer graphiquement au moyen d'un rapporteur , les projections horizontales et verticales des longueurs que Ton a mesurées dans la mine. Prenons Tobservation fictive inscrite sous le no 1 dans le modèle de carnet. La longueur mesurée est de \A°^.h^\ les deux angles d'inclinaison ascendante sont 8^ 1/4 et 9<i 3/4, dont la moyenne arithmétique est 9^. La projection horizontale de la longueur sera donc égale à 14*».55 X cos. ^, et la projection verticale à 14,55 X sin 9<i, les cosinus et sinus étant pris dans le cercle qui a pour rayon Tunité. En se servant des tables de logarithmes ordinaires , on prend le logarithme de 14.66 qme Ton ajoute successivement aux logarithmes du cosinus et du sinus de 9».

On reCrinbiie 10 de la càractérisli^e. tes rétultaU sont les logarithmes des projections horizontales et verticales ; ainsi :

Log. 14,55 1,10S»6

Log. COS. 9 0,99409

Log. projection borizonlale 1,15748

ProjecUon horizontale 14™,37

Log. 14,55 1,16286

Log. sin. 0,194%

>U>9« projection yerticale 0,35719

.Projection verlicale. . . ^ . . . â«,28

Si les ifietinafsons observées étaient en sens inverse Tune de Tautre, Il ^udrait; pour avoir rindinaison moyenne, retrancher le plus petit angle ohservé du pins grand , prendre la moitié de la différence, et considérer cette inclinaison moyenne comme étant dans le sens du plus grand angle observé.

Les projections horizontales étant toutes calculées, pour tracer le pliin , onemploleia même boussoledont on a fait usage dansla mine, on la détache du système de suspension , et on enchâsse la boite circulaire dans une plaque métallique rectangulaire percée dans «on milieu d'une ouverture destinée ô recevoir la boite, /îj'. 2, PI. LXIV, On tourne celle-ci de manière à ce que la ligne NS tracée sar le fend de la boite soit parallèle aux &t\xt. longs côtés de la plaque rectangulaire dite le rapporteur, A cet effet, deux repères tracés Tan sur le bord de la botte, Tautre sur le bord de Touverture centrale du HafN porteur , sont amenés Tun vis-à-vis de l'autre. La feuille de papier sur laquelle le plan doit être tracé, étant collée ou fixée sur une table, on pose dessus le rapporteur , on tourne la table , afin d'orienter la feuille de papier de la manière la plus commode pour le dessinateur. Quand elle est une fois en place, on tourne le rapporteur jusqu'à ce que Taxe de l'aiguille aimantée soit dans le plan de la ligne NS, l'extrémité nord correspondant au delà division. On trace avec un crayon appuyé sur le long côté du rectangle une droite qui est située dans le plan du méridien magnétique. On choisit le point de départ , l'origine des stations , de manière à ce que la feuille de papier puisse contenir le plan. Tenant alors le long côté du rapporteur appuyé à ce point, on le fait tourner , jusqu'à ce que le pôle nord de l'aiguille marque l'angle de direction observé dans la première sta-

41â CHAPITRE Xll.

On copiera dans tes colonnes 1 et 9 du tableau , lesnolnbires écrit!» sur le carnet d'observations.

Dans la colonne 3, on écrira en degrés et minutes, la moyenne des deux angles d'inclinaisons qui se rapportent à une même station, en ayant soin d'ajouter la lettre m ou la lettre i/ , ou bien un signe -tou — ,pour indiquer le sens de Pinclinaison.

Dans la colonne 4 on écrira les angles de direction , tels qu'on les trouvera sur le carnet.

Dans la colonne 5 , les logarithmes de toutes les longueurs / inscrites dans la colonne 2.

Dans les colonnes 6 et 7, les logarithmes des cosinus et sinus de tous les angles d'inclinaison inscrits dans \^ colonne 3.

On fera ensuite les additions indiquées pour calculer les logarithmes des projections horizontales et verticales , qu'on inscriva dans lescolonnesS et9.

On cherchera dans les tables , les nombres correspondants à ces derniers logarithmes qu'on inscrira dans les colonnes 10 et 11 jcn ayant soin d'afiPecterdu signe+ou— les projections verticales, suivant qu'elles se rapporteront à des inclinaisons ascendantes ou descendantes; enfin, on fera la somme algébrique de toutes les projections verticales précédentes , que l'on inscrira dans la colonne 12 ; cette somme affectée du signe -i~ oi^ — sera l'altitude ou la dépression des extrémités de la station correspondante par rapp<!U't à l'origine de la première station.

On copiera dans la colonne 15, les observations écrites sur le carnet.

Ces tableaux seront des annexes indispensables des plans, et serviront au besoin à les refaire , dans le cas où ils viendraient à se perdre.

Inconvénients du tracé graphique, — Le tracé graphique a cet inconvénient que les erreurs commises , en rapportant les stations précédentes, se cumulent toutes sur la dernière. Ces erreurs peuvent être, les unes dans un sens, les autres en sens contraire j et il peut s'établir une compensation entre elles; mais c'est là une circonstance accidentelle sur laquelle on ne peut compter. Il est donc bien préférable de se rendre tout à fait indépendant des erreurs du tracé graphique , en déterminant les distances de tous les points au plan méridien et au plan vertical perpendiculaire au méridien magnétique , par un calcul semblable à celui que l'on a fait , pour avoir les projections horizontales et verticales et les cotes de hauteur de chaque point.

Calcul des distances des stations au plan méridien et au plan

pûrpenéieuMre. •— Voici comment on procédera, la projection iiorizontale de chaque station est Thypothénuse d*un triangle rectangle dont les deux côtés sont, Tun la distance sTu pkun méridien passant par Porîgine de la station , Tautre , la distance à un plan verlical perpendiculaire au méridien. On aura donc les distances respectives de Textrémité de chaque station au méridien magnétique , et au plan vertical perpendiculaire qui se croisent à son origine , en multipliant la projection horizontale de sa longueur par le sinus et le cosinus de Tangle compris entre le plan vertical où elle est située , et le plan da méridien magnétiqne, angle qui a été observé dans la mine. Ces distances seront tes longitudes et les latitudes do Textré* raité de chaque station par rapport à son origine ; elles seront positives ou négatives, suivant que Vextrémité sera à Test ou à Pouest du plan mériâien , au nord ou au sud du plan perpendiculaire au plan méridien passant par Torigine. Les sommes algébriques de toutes les longitudes et latitudes partielles précédentes , seront la longitude et la latitude d'un point par rapport à Torigine des stations. Ces longitudes et latitudes se calculeront donc comme les altitudes et les projections horizontales , en prenant toutefois, au lieu des longueurs des stations leurs projections horizontales, et au lieu des angles dMnclinaisons, les angles de direction observés. Ceux-ci varient , comme nous Tavons vu , de à SÔOo , et Ton ne trouve dans les tables , que les logarithmes des angles inférieurs à 90 degrés. Quant aux angles de direction compris entre et 90 degrés, il n*y aura aucune difficulté, on trouvera les logarithmes des sinus et cosinus dans les tables , et les deux distances , la longitude et la latitude partielle , seront affectées du signe -{-, Pour les angles supérieurs à 90 degrés, il faudra se souvenir que tout angle compris entre 90 et 180 degrés conduite une longitude positive et à une latitude négative. Les lignes trigonométriques sont d'ailleurs les mêmes en grandeur pour un angle et pour son supplément. On a généralement :

sin. o, = sin.(180o — a) et COS. a = — COS. (tSO» — a).

On retranchera donc les angles dont il s'agit , de 180 degrés. Les différences seront plus petites que 90 degrés et l'on trouvera , dana les tables , leurs sinus et cosinus. La longitude partielle correspondante sera, comme le sinus, affectée du signe + , etla latitude sera, comme le cosinus , ati^ctée du signe — .

Tout angle compris entre 180 et 2l70 degrés conduU à une Jongi-

4M GH4PITRE Xll.

Utde et à une latitude négatives. Ses lignes trigonométriqnes sont d^ailleurs égales en grandeur et de signes contraires à celles du même angle, diminué de 180 degrés.

sin. a = — sin. (a — WO») Gos.a =r — COS. (a — ISO»),

On retranchera donc des angles dont il s'agit , 180 degrés; le« différences seront plus petites que 00 degrés. On trouvera les logarithmes des sinus et cosinus dans les tables , et Ton affectera la longitude partielle, ainsi que la latitude , du signe — .

Enfin les angles compris entre 370 degrés et 560 degrés , conduisent à une longitude partielle négative, et à une latitude positive. Leurs lignes trigonomélriques sont d'ailleurs égales en grandeur à celles des différences de ces angles à 360 degrés :

sin. a = — sin. (3(0» — a) COS. a = COS. (300® — a).

On retranchera donc ces angles de 360 degrés^ Les différences seront plus petites que 00 degrés.On trouvera dans les tables les logarithmes de leurs sinus et cosinus, et Ton aura soin d'affecter la longitude partielle du signe — comme le sinus, et la latitude partielle du signe 4- comme le cosinus.

Quand on aura calculé ainsi les coordonnées de tousles points par rapport à trois plans rectangulaires qui se croisent à l'origine des stations, on tracera le plan horizontal de la minesur un papier rayé , divisé en carreaux dont chacun aura un centimètre de côlé.Lesdeux rangées de lignes parallèles qui forment les carrés étant numérotées, on prendra les unes pour des parallèles , les autres pour des perpendiculaires au méridien magnétique , et l'on placera successivement , d'après la latitude et la longitude , chaque point dans le carré où il doit élre, sans avoir à s'occuper des points qui le précèdent. La projection verticale sur les deux plans coordonnés rectangulaires sera également tracée en plaçant chaque point dans le carré où il doit être , suivant sa hauteur ou sa dépression par rapport au plan horizontal fiie. 11 est bien entendu qu*on devra conserver tous les calculs que Ton aura fait dans un registre à ce destiné, au moyen duquel on pourrait refaire à volonté les plans égarés ou détériorés; on devra même, comme nous le verrons, se servir uniquement de ce registre, sans avoir recours au plan, pourlesopéralionsde percement souterrain ,

ou autres opérations délicates, que le direileurd^une mine a souvent à foire.

Disons auparavant, quels sont les inconvénients de la boussole , comme instrument de géométrie ou d'arpentage.

Nécessité d'avoir égard à la déclinaison de Vaiguille aimantée, — Tout le monde sait que la direction de Taiguille aimantée n*est pas exactement du nord au sud , et qu'elle s*écarte du méridien vrai d'un angle qu'on appelle la déclinaison de l'aiguille. Or la déclinai* son varie d'un lieu à un autre du globe (erresire, et dans le même lieu elle est sujette à des variations séculaires, annuelles et diurnes. Les variations diurnes ont peu d'amplitude ; elles donnent lieu à des erreurs, inévitables d'ailleurs, qui sont à peu près du même ordre queles erreurs d'observation. Mais les variations annuelles et les variations séculaires sont assez grandes pour qu'il soit indispensable d'y avoir égard, pour mettre en rapport un plan et sa continuation, ou bien deux plans de gites voisins qui auraient été levés à la boussole à deux ou trois mois, ou deux au trois ans de distance. Il y a là une correction qui sera facile à faire, si l'on connaît les déclinaisons de l'aiguille aimantée dans le lieu de l'observation au^deux époques où les plans ont été levés. Ce qui vaudrait mieux, serait de rapporter les positions des points au méridien vrai, au lieu de les rapporter au méridien magnétique, comme on le fait ordinairement. 11 suffirait pour cela d'avoir tracé une ligne méridienne dans le lieu de l'observation, et de déterminer la déclinaison de l'aiguille par une observalion directe, toutes les fois qu'on aurait un plan à lever. A cet effet, on suspendrait la boussole à un cordeau tendu dans le plan de la ligne méridienne. Supposons que l'on trouve que le plan méridien forme un angle de 20 degrés avec le vertical de l'aiguille aimantée ou le méridien magnétique. II est évident que tous les angles observés devront être diminués de 20 degrés, si l'on veut que le plan soit rapportéau méridien vrai, au lieu d'être rapportéau méridien magnétique. On détenninerait donc ainsi , chaque fois que l'on ferait un levé, la correction constante à faire subir aux angles observés, pour ramener les observations au méridien vrai. Tous lesplans levés à diverses éjioques, pour lesquelles on aurait déterminé chaque fois, par l'observation directe, la correction correspondante seraient alors orientés de la même manière, et ne seraient plus affectés que des erreurs provenant des légères variations de déclinaison qui auraient eu lieu pendant la durée d'une même opération.

Il est flair qu'il n'est pas nécessaire de rapporter les plans au méridien vrai. On pourrait an^si bien les rapporter aune direction

416 CHAMTRE XU.

fixecptelcoïKfoc, pourvu ^u*eUefÙtla même à toutes les époques; mais il est préférable de les rapporter au plan méridien, parce que les plans levés dans diverses localités seront ainsi orientés par rapport aux points cardinaux du globe, et comparables entre eux.

Je me dispense de présenter ici un modèle du registre qui serait affecté aux calculs des levés rapportés à trois plans coordonnés rectangulaires. Ce tableau ne différerait du tableau A, qu^en ce qu^il aurait un plus grand nombre de colonnes, les calculs des longitudes et des latitudes exigeant chacun autant de colonnes que celui des altitudes qui figurent seules dans le tableau A.

Levés à la boussole carrée, — On peut , dans les mines dont les galeries sont larges et élevées , se servir avec avantage de la boussole carrée au lieu de la boussole suspendue. La boussole carrée pose sur un supporta trois jambes. L^aiguille^ mobile au centre du limbe divisé , est placée dans une boite carrée ou rectangulaire dont deux côtés sont parallèles à la ligne NS, dont les extrémités correspondent aux divisions et 180 du limbe. Contre Tun de ces côtés est appliquée une lunette ou visières à pinnules , mobile dans un plan perpendiculaire à celui du limbe et parallèle à la ligne NS. Si Ton veut niveler avec cet instrument, la lunette ou visière doit se mouvoir sur un limbe divisé. La boussole étant installée sur son pied dans la verticale d*un point déterminé , on place le limbe horizontalement, et Ton fait tourner ce limbe autour de son centre , en même temps qu*on incline la lunette de manière à viser une lumière placée en un autre point de la mine, et qui sera posée sur un pied semblable à celui de la boussole. On lit Tanglede direction sur le limbe horizontal, Tangle d'inclinaison sur le limbe latéral parcouru par la lunette qui peut, si Ton veut, être munie d*un vernier; enfin on mesure la distance.Transportant ensuite la boussole sur le pied où était la lumière visée d'abord , el reportant celle-ci plus loin, sur le premier pied on fait les observations relatives à la seconde station, et ainsi de suite.

Le tracé graphique des plans levés à la boussole carrée se fait, après qu'on a calculé les projections horizontales des distances, comme celui des plans levés à la boussole suspendue. La lunette peut être séparée delà boite contenant l'aiguille aimantée, etcommecette boite est carrée , elle sert elle-même de rapporteur. Je ne m'arrêterai donc pas plus longtemps sur les levés et les tracés de plans à la boussole carrée.

La [i^. 1 , PL LXIV^ représente la boussole suspendue à un cordeau , et disposée pour l'observation dans une mine. La fig, 2 repré-

sente la méffle boussole enchâssée dans son rapporteur. La fig. S

représente le demi-cercle suspendu.

Comment on détermine^ d'après un plan Iwè à la boussole^ l'axe d'une galerie à exécuter entre deux points. — Lorsqu*on a calculé les coordonnées des points d*un levé à la boussole par rapport à trois plans coordonnés, c^est aux coordonnées des points et non au tracé graphique fait sur le papier à carreaux quMl faut avoir recours pour toutes les opérations qui exigent de la précision. L*une des plus ordinaires consiste à déterminer la direction de Taxe d*une galerie joignant deux points donnés. Pour indiquer aux ouvriers la direction à suivre dans un percement semblable , il faut connaître son inclinaison, et sa direclion c*est-à-dire Tangle que forme son axe avec le méridien magnétique le jour de Tobservation : enfin il est inutile de connaître d^avance la longueur. Ce problème consiste à déterminer Tangle que forme une ligne, menée entre deux pointsdon. nés parleurs coordonnées, avec sa projection sur le plan horizontal, étrangle de cette projection avec Tun des plans verticaux coordonnés. Yoicila marche à suivre : soienta, 6, c,raltitude, la longitude et la latitude du point de départ A: a',&', c% les coordonnées homologues du point Bvers lequel doit être dirigé Taxe de la galerie à faire. Je suppose que le plan du méridien vrai soit Tun des plans coordonnés et que Ton ait en conséquence une méridienne tracée à la surface.

La longueur de la galerie demandée sera égale à :

L'inclinaison de Taxe de la galerie sur le plan horizontal aura pour

sinus :

Cet angle , toujours plus petit que 90 degrés , sera positif ou négatif, c'est-à-dire que la galerie ira en montant, ou en descendant de A vers B , suivant que a' sera plus grand ou plus petit quea. Dans les deux cas, la valeur numérique de Texpression (2) sera celle du sinus de Tangle cherché.

Enfin , la direction de Taxe de la galerie , c'est-à-dire l'angle compris entre le plan vertical passant par cet axe, et le plan méridien coordonné, aura pour tangente :