TOME nt

^6 €HAPITRE V. — Tin*. SICTiOlV.

La distance parcourue par les vases supposés partir du point de rencontre sera

S =^ n.iitp -\- nen* plus la distance de raccrochage au point de rencontre,

S^^:=^n. 27r/5 — îren* plus la distance d« Forifice à cette même rencontre.

Ces équations étant complétées, quant à leur second terme, par les valeurs indiquées dans les relations (6>) et (a*) deviennent:

Mais le moment de la résistance, en un point quelconque du parcours, a pour expression la différence des produits du poids des vases et des c&bles correspondants par les bras de levier de leffort transmis aux bobines; ces bras de levier étant respectivement pour le vase plein et pour le vase vide : p-^-ne ei p — ne ,

on a

Si, après avoir substitué à 5,5i et L les valeurs trouvées ci-dessus et avoir opéré les réductions possibles , on fait passer le terme Pp du second dans le premier membre, la relation devient :

Pp étant le moment de Teffort moyen correspondant à une ascension complète, le second membre donnera, pour tous les points du parcours , la différence du moBKoi effectif sur le moment moyen ; il sera par conséquent la

BNR<K]LE»BNT DBS CABLES. H^f

messie de h variation d'effort appliqué par le moteup iuY bobines.

Le second membre de cette expression se réduit à o pour n=:Oj c'est-à-dire, à la rencontre des vases; et il «B deii èlre ainsi , puisqu'en ce point , te moment effectif JV est égal au moment moyen Pp. En outre , il devient encore nul pour deux valeurs de fi égales et de signes contraires ; valeurs qui se trouvent, en égalant à o, le ftieteur placé entre parenthèse

Cette équation , résolue par rapport & n , donne :

Ainsi , après un nombre n de révolutions des bobines endeçà et au-delà de la rencontre des vases , la valeur d« moment effectif est égale à celle du moment moye^. Et, pour des valeurs de n égales et de signes eonr traires^ le second membre prend aussi des valeurs égaler et de signes contraires ; ce qui signifie que , pour un même nombre de tours effectué en-deçà ou au-delà du point dç rencontre, le moment effectif 8*écarte également en plus ou en moins de la valeur du moment moyen.

Actuellement, pour déterminer p de telle façon que les valeurs successives de M~Pp soient resserrées dans

, (i ) En ramplaçsDt iV et iV» par leurs valeurs g-^ cl r^, ■■, ,

réquaUon déviant :

les limites les pîus étroites possibles, il faut admettre la

nullité des écarts pour des valeurs quelconques de n et

poser n = =b — , m étant plus grand que 2, puisque -x-

est la plus grande valeur de m. Le second membre de réquation {A) et, par suite, son facteur entre parenthèse, étant égalés à o, donnent alors :

Puis, comme la valeur de N change avec p , il con* vient, pour trouver exactement ce rayon moyen, de

substituer à iV sa valeur - — ; cette substitution effectuée,

on obtient :

équation bicarrée qui , résolue & la manière des équations du second degré , donne quatre racines , dont une seule , réelle et positive, est compatible avec la nature de la question , savoir :

Telle est la valeur générale de p correspondante au minimum d'écart du moment moyen pendant une ascension entière.

Pour rechercher les points de ces deux maximums , il faut observer que, si dans l'expression générale {J)

on retranche du facteur entre parenthèse

la différence des moments devient alors

itf-P/D-:37rpe«(^-n*)tt(d),

expression de l'écart en un point quelconque de la course

des vases , qui se réduit à o lorsque n = o ou que

N n s d= — , puisque , en ces trois points, Técart du mo-

ment moyen est nul. On voit aussi que, pour les valeurs

N N de n comprises entre — ^ et — -* , le second membre est

positif, et négatif entre -^ et— ; il est positif pour les

valeurs comprises entre o et —, et négatif entre o et — — •

Ainsi , à partir du commencement de Tascension , le

moment de la résistance remporte sur le moment moyen

N jusqu'au point où n =: les moments deviennent

égaux ; au-delà , le moment effectif est plus petit que le moment moyen jusqu'à la rencontre, où se trouve encore l'égalité ; plus loin le moment effectif l'emporte sur le

moment moyen jusqu'à ce que n = -j , où revient

l'égalité ; de là jusqu'à la fin du parcours , le moment effectif est plus petit que le rayon moyen.

La plus grande valeur de l'expression (rf) se déduit comme suit : Puisque le facteur STrpe* est constant, l'écart

maximum aura lieu lorsque l'autre facteur ( — • — n^jn

230 GHAPinUK V. — YIU*« SKTIQM.

N sera lui-même un maximum. Posant donc n = :i=— '

à rinstaBt du plus grand écart, ce facteur devient :

et comme , peut aussi être conBîdéré comme constant , m' "^

la plus grande valeur correspondra au maximun du faoCew

partiel ^ — . Or , ce maximum ayant lieu lorsque

n* :s= \/ 3 ( 1 ) , l'expression du plus grand écart qui

puisse avoir lieu pour une valeur quelconque de m « et

N eft admettant un écart nul pour n »= d=— , deviendra

( i ) M. Devillez , dans le but de venir en aide aux lecteurs aon fiàmiliarisës avec le calcul différentiel « emploie» pour obtenir la valeur de n*, une méthode de tâtonnement plus longue que la méthode différentielle, mais aussi concluante.

H essaye pour n* diverses valeurs k partir de i , et trouve que, en iaisant successivement n* égal à

i, 2 et 3

le fadeur devient o, ^ei^

Au-éell il décrott indéfiniment.

Pour nf égal à 2.1, 1.9, 1.8, 1.7 et 1.6

il devient j^^, ^^^ ^^, j^ et j^

Le maximum s'applique donc à une valeur comprise entre 1.6 et 1.7 ou i.7 et i.8.

Pour ni égal k 1.72, i.73 et 1.74

le facteur devient • et

Et comme il se trouve entre 1.73 et 1.74, on arrive, en continuant de la. sorte, Si 1.732 = VX

BlfaOVLEBIENT 0ES CAILES. 331

on en efibctuant les opératioQs indiquées

M—Pp — =t 4 TT pe* — ^ (e).

Cette expression est celle des maximums d'écart les plus

rapprochés du point de rencontre. Les valeurs des écarts

au commencement et é la fin de Tascension sont les

mêmes, sauf le signe; elles dérivent de l'équation (d),

N dans laquelle , faisant n «s qp -^ , on obtient

Des quatre maximums d'écart , les deux derniers sont IMI commencement et à la fin de la course des vases; les deux autres, entre la rencontre et les deux points où le moment effectif est égal au moment moyen. Deux sont positifs et les deux autres négatifs.

n ne reste plus qu'A déterminer les valeurs de m; mais, pour cela, quelques observations préliminaires sont indispemables.

L'éqmlion bicarrée qui a fourni la valeur de /> prend , kfNfés avoir effectué les opérations indiquées dans le second membre, la forme suivante :

.. Or, les seuls. termes variables étant jo «tm, il est fa* elle de voir que les valeurs croissantes de m déterminent l'accroissement des valeurs du rayon moyen et, par suite ^ celles du noyau des bobines. Ce dernier sera donc d'autant plus grand que les points , où le moment effectif et le moment moyen devront être égaux, se rapprochent davantage de la rencontre des vases d'extraction.

333 CIIAPITRB V. — VIII*. SECTION.

Les deux équations (e) et (e') peuvent, en remplaçant S* par sa valeur \— — j , prendre la forme suivante :

,tf PjO = ±

pe*V

Il résulte, de la première, que le maximum (fécart le plus rapproché du poinl de rencontre des vases croit et décroit en même temps que m. De la seconde, que la valeur du maximum pris au commencement et ù la fin d'une ascension est évidemment nulle quand m = 2

( puisque j^- ^, devient ±-, -i^» 0.) et

qu'elle augmente en même temps que m.

Ainsi , plus les points de l'égalité du moment effectif et du moment moyen se rapprochent du point de ren* contre, moins est grand l'écart maximum situé entre ces points ; mais aussi plus les écarts du commencement et de la fin de la course sont considérables. £t une valeur de m , capable de satisfaire à l'égalité des quatre plus grands écarts , ne peut être modifiée , dans le but de diminuer deux de ces écarts, sans augmenter les deux autres, en sorte que la valeur qui rend égales ces quatre quantités détermine également la condition du minimum d'écartement du moment effectif. Cette condition s'obtient en égalant les seconds membres des équations (e) (e^), c'est-à-dire en faisant

équation qui, résolue par rapport à m, donne ; 11^3 4 „!«: 3.0793.

ENROULEMEIST DES CABLES. 233

La valeur de tn réelle , posiiive et plus grande que 3 » esl égale à 2.309 (i), ainsi qu'il esl possible de s'en assurer par sa substitution dans Téquation.

Si , dans l'expression (B) de la valeur générale de /o, m est remplacé par 2.309 et tt par 3.14i5, cetle relation devient définitivement :

Le rayon ainsi déterminé, le nombre de tours dérive de la formule

et le maximun d*éeart de

Mil .... A

^ — Pp = ±2ffpe«A-»4__- = 0.196 pe'A'.» (/>)

O fil

Les valeurs du plus grand et du plus petit rayon d'enroulement du câble, ou de A et r, se déduisent des relations

( 1 ) La méthode de tâtonnement indiquée ci-dessus s*appltque également ^ la détermination de la valeur de m.

En faisant successivement m égal à 2 et à 3 le second membre devient 0 15 000

Tun trop petit et Tantre trop grand.

Pour m = Î.5 - 2.4 - 2.3

on a 5.625 — 4.224 -> 2.967 trop polit. Pour m = 2.55 — 2.34 <- 2.33 — 2.32 trop grand.

on a 3.577 — 3.453 - 5.329 — 3.207 Pour ^ 2.315 — 2.310 - 2.309.

on a 3.146 — 3.086 - 3.074.

2.309 est trop petit, mais il est exact à une fraction de millième près.

B3i CHAPITRE V. — VUl*. itCTlO!!.

qui iloMent

4 TT^ 4 TTjO

Enfin , les points des divers écarts et eeox où le moment effectif est égal au moment moyen , sont déterminé» comme suit« pour un nombre iii de révolutions de l'arbre des bobines.

Point de départ , premier maximum ' d*écart n, = 0.

Première époque de Fégalité des moments effectifs et moyens,

If N

Second maximum d'écart n4=-3- r == 0.2500 N.

* 2 win'

Rencontre des vases. Deuxième mowent moyen n|&=0.i(000 N.

Troisième maximum d'écart

2 ' mn»

Troisième époque de l'égalité des mo-

N N ments effectifs et moyens n «=-srW *= 0.9350.

Point d'arrivée. Quatrième maximum d'écart n, — = N.

Une construction géométrique peut rendre sensible & l'œil quelques-unes des phases et des conditions de l'enroulement des cAUes déduites analytiquemenl : Soit C (fig. 8 pi. LUI) un point pris sur une ligne AB, divisée en JV ^tariies égiilcs. Ces divisions seront les abaisses dune

EMROULKMEKT DES CABLES^ 39$

courbe doni les ordonnées sont les valeurs de Jf — Pfi données par Téquation (A); le point C, origine des ooor* données , correspond à la rencontre des vases » et le* abcisses exprimées par les révolutions de l'arbre, seront négatives au-dessous de C et positives au-dessus. La courbe coupe la droite JB en son point milieu , puisque n as o donne M — Pp = Oy ses deux branches symétriques seront dirigées au-dessus et au-dessous de Taxe, Tune à droite, lautre à gauche de C; enfin, chaque branche toupera Ai? en des points équidistants du point C.

— , exprimant le nombre de tours compris entre la

rencontre et les deux autres points d'interseetion de la Hxnirbè et de Taxe, les variations de m donneront lieu à un aombre infini de courbes, dont trois résument iea principales conditions de Tenroulement.

Si — = -5- , les deux pomts extrêmes a% A» de la ooarbe,

coïncident avec l'axe AB)\e& moments de la résistance à l'instant où le vase quitte l'accrochage et celui où il atteint la marge du puits, sont égaux aux moments moyens; mais les ordonnées d^cT, représentant les maximums d'écart , ne peuvent être un minimum.

N N Si, posant — < -^ ou «i > 2, les ordonnées extrêmes

a^c et Vt sont égales aux autres ordonnées d,d^ la courbe qui coupe la droite AB aux points a et 6, étant celle qui s'écarte le moins de son axe , offre le cas le plus favorable au moteur pendant l'ascension.

Enfin , si m étant encore plus grand que 2 , les écarts maximum les plus rapprochés de la rencontre sont plus petits que 1» deux autres , les intersections de la courbe

â30 CIMPITRB V. — Vlll'. SECTIOX.

let de Taxe a S se feront aux points a^,6**; les ordonnées a«df% 6^** correspondantes au commencement et à la fln de Tascension s'accroîtront avec les rayons du noyau. Cette circonstance est généralement observée en Belgique , où le rayon des bobines est rarement déterminé par le calcul. Les Anglais, qui donnent à m une grande valeur par Taccrolssement du rayon des bobines , se trouvent dans des conditions fort écartées de l'équilibre.

Ënfln, si — = 0, c'est-à-dire ^ si les trois points d*in-

tcrsection de la courbe et de la droite se confondent en un seul C, les ordonnées du commencement et de la fln de l'ascension sont les plus grandes qu'il soit possible de tracer. Ce cas rentre dans les conditions relatives à Penroulement des câbles sur des tambours cylindriques.

6i2. Déterminer les rayons d'enroulement, avec la condition dégaUté de la diffét*ence des moments au commencement et à la fin de parcours.

Si le moment effectif doit être égal au moment moyen , a l'instant du départ et de l'arrivée des vases, il suffit, de poser m =2 dans l'expression (B) indiquant la valeur générale de p pour obtenir, par suite de cette substitution ,

pour le rayon cherché dans ces nouvelles conditions.

Quant à l'expression du plus grand écart du moment moyen, il se déduit de la relation (•)

If — Po = ± 4irt»e» .,-^

dans laquelle posant m == 3 on obtient .

Les positions des vases dans le puits , à Tinstant des écarts maximum, se trouvent par les relations suivantes, indiquant , à partir de Paccrochage , les points où l'arbre des bobines aura fait un nombre de tours égal à,

J ^ =0.2H4 iV

Les valeurs de N de r et de R ont d'ailleurs les mêmes expressions que ci-dessus.

Dans ce cas spécial il est possible d'obtenir directement les valeurs de ii et de r sans passer par p. Ces expressions, fort simples , sont d'ailleurs beaucoup plus pratiques et semblent devoir donner des chiffres suffisamment exacts.

Si , conservant les mêmes désignations que ci-dessus , on recherche Féquilibre de la différence des moments au commencement et à la fin du parcours , il faudra poser :

{P + 0 + pL)r-OR^{P + Q)R-(0+pL)r.

Et (P + 2j3 + 2pZ)r = (<?+P)/l.

aw. . (gQ + P)fi (P + 2<? + 2pL)r

Comme , d'autre part , la surface comprise entre les circonférences de rayons A et r est égale au produit de la longueur du cAble par son épaisseur, ou

TO8 CHAPimi V. — VIII*. SKCTtON.

ces relations résolues, par rapport aai deux inconnues^ donnent

*" ^ ^2 ^V irp(P4-2(?-t-pi) (*")

et 1»- ^ a V.p(/> + ag + piy^'^

Le nombre total des tours de bobines^ ^ =

la valeur du maximum d'écart, M — /* /» = 0.203 pe^N*; le lieu où H se trouve ; les points où les moments effectifs deviennent égaux au moment moyen ^ sont les mêmes que ci-dessus (i).