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DécUffliison magnétique, 21^30*.
La première colonne contient la direction de la ligne înscflle ^ui* le came*t. ttàns la secondé , )e^ trh^ , rapjpél^ès t>ai ibéridien magnét!tiae , s»)nl réduite k fine ^- )feà^ phiè )^ettte V|i]e deïï3t droits. Dan^ la ^roSsHMne , téor valeur est plus petite que 90^. Dans les deux dernières , les angles , rapportés au méridien vrai , sont successivement plus petHs que 180® et que 90\
«ALCCLS PAÉLmiliAtRBS. 467
190^ RMpporter w méridim h$ an^ azimur tam rdevés avec un ^raphomètre au un^ loMMofe dfmt taigum^ a été comidérée wmme hmêUa de rejApê.
Ia g^aphoositere ^qujb^ itaonédiateiHen^ l'wgle compris entre deux -disumea» conséeaUve» ; mail h double lecture fajà^ «vr la boussole ne peul servir qu'après vfoig subi pyMiib|eni»m une peUte opéra^on arithmétique eonsisitint ^ v^ilranc^er le plus petit aro observé di| plus grand. Aincv (fig. f9, pK LXVI) la partie nord de l'aiguille (étant Mippoeée çoioeidef avee la ligne NS , ai l'opérateur foft Iravner la boussole de droite à gauche jusqu'à ce que l'aUdade Yismie sueeessivement se confondre aveo les dew lignes eu e( e6, î| lira la valeur des ares dg et dgef^ dont la différense donnera l'angle acb compris par les deux direeiion9«
Cett^ quaulité angu|ai|e se rapportant , suivant les. cir- «onUaoce^ , à l'asile aigu ou à l'angle obtua, \l est nécesr awe de reoonnaHre cehiî des deuy qui dpit é^re choîÂ* flQUr cela , w wra eu le soip d'mdiquer dans lie qa^epin, P9r un s^ne de coi^v^tion , si , p^udant la m^ssure dss angles , le point 360^ de la boussole a fwé ûu uoa.^oqy le pôle nord de l'aiguîllo* Pans ce dernier cas , celle-ci ^ pendant Topération , s'étant trouvée constamment en dehors de l'angle cherché , il suffit de prendre la différence. Mais si la partie bleue de raiguille a été comprise dans l'angle obsenré , e'est-à-dtre si le point SeO** a passé sous le pôle nord pendant la recherche , le résultai de la Sfpustr«'K(tîon' ne donueiail pas l'angle cherché, mais son sngje eistérieur ou son complément à 4 droits ; alors il faut ». pour revenir à la réalité I retrancher eette diférenoe de 3i60' d^igrési
46S CHAPIThÈ Vtlt. — !!•• SECTIOR.
Ainsi a (^iisidgef) et 6 {=dg) étant respectivement les deux arcs lus sur le limbe , le résultat , dans le premier cas, sera a — fr, et, dans le second, SÔO' — (a— 6).
Connaissant alors par le calcul l'angle que forment deux lignes consécutives relevées à la boussole ou directement par le graphomètre , il est facile , k Taide d'une simple nddiiion , de les rapporter au méridien , c'est-à-dire de déterminer l'angle qu'elles font avec ce dernier.
Soit NS (fig. 16) la trace horizontale du méridien; mite»» r l'angle compris entre ce dernier et la première distance orientée , et acb^stts l'angle de direction à rapporter au méridien. Il est évident que 180 ^ r est l'expression de la direction de ca, relativement aa méridien, pour l'observateur installé en c ; mais $ est l'angle formé par cette dernière distance et par g 6 , angle compté dans Oe même sens que 480 -{-r. Si donc, à cette somme, «st ajoutée la valeur de a c 6 ou s , le résultat 180 *f- r -j- ^ sera l'arc compris entre c 6 et le méridien , arc mesuré dans le sens indiqué par les flèches. L'angle observé à la station 6 deviendrait également 180 -j- a/'-f-AtJ:. Ainsi, pour rapporter une ligne quelconque au méridien, àl suffit d'ajouter à ISO"" l'angle compris entre les deux ilfirections , plus l'angle du méridien et de la direction précédente* Exemple :
jVac == 96*.30 ac6 = 89.1S 180 •
Le résultat , excédant i angles droits , est diminué de 9^0 degrés. L^ reste est l'angle demandé , qui subit ks Modifications iiodiquées dans le paragraphe précédent, si fia valeur <loit é(re moindre que 90^.
CALCULS PRéLlMLNAlRES.
L*appIieatioD des calculs d^essus donnerait lieu à la formation <f un tableau analogue au suivant :
AHCUSSGOVniS BHTU UEQX nSTAHGEt.
AHOLES RAFPOtTÉS AU HÉUDISK.
AKCLE8<90».
i004. Déterminer les projections horizontale et ver-tieaie iftine ligne formant un angle quelconque avec Phorizon.
Le lecteur sait déjà que deux des (rois éléments recueillis dans la mine servent à construire une série de triangles rectangles, dont Tinclinaison forme Tun des angles aigus et dont Thypothénuse est égale à la distance comprise entre deux stations. La confection des plans exigeant que toutes les lignes soient rapportées au plan horizontal , il s*agit de déterminer la valeur de leur projection eu égard à leur inclinaison.
Ces réductions [peuvent , à la rigueur , s'effectuer à Taide d'un rapporteur en laiton ou en corne. Après avoir tracé une ligne indéterminée am (fig, 10, pi. LXXVII)etun angle m an égal à Tangle d'inclinaison , il suffit de porter la ligne mesurée de a en 6 et d'abaisser la perpendiculaire bc pour obtenir ac , projection horizontale cherchée, dont 6 c est l'altitude ou la différence de niveau entre les deux extrémités de la ligne. Mais ce procédé graphique , n'étant guère plus expédiiif que la plupart de ceux dans
470 CHAMTftB Vni. — 11*. SBCTIOH*
on mpioh le caleal, aH abandoimé %ûn ebeb d'ateliers pour dos déleriniiiiilioiit qui ne rédaoMiit q«a peu d'exaeiituda.
Les éléments de la irigMoniétrie donnent des moyena feciles de procéder à ces réductions ; ainsi ae€iùb (%« 10)^ cosinm et shms respectifs de Teiigle e « fouroiasont iai relations suivantes :
R : co$, n "^ a 6 : ac R : sin. a tt^ ab : 6 c
cos, a d^où «« » ....^ X^b{J)
Ces équations peuvent être résolues au iQoyeo des Ugnes trigonométriques naturelles ou logarithmiques.
Le lecteur trouvera, k la fin deeé volume, ime petite table des sinus et des cosinus naturels , ealculée de IB en 15 minutes pour un rayon égal ft Tunilé de mesure (I )» Elle contient, dans la premièire colonne de gauche ^ IMI les degrés d*une valeur iofiêrieure à 4!(* ; dans les desf suivantes sont les cosinus et les sinus correspondanHi ainsi que cela est désigné en tète des colonnes. Les anglsi compris entre iK** et 90^ doivent être ehershés dans la dernière colonne de droite, en prenant les désignetioos inverses inscrites au bas de la page , parée que les eostmis et sinus d*un arc quelconque sent rcspeotivemeni tes sinus et les cosinus de son complément.
(I ) Le oâleal de cette UMe, ou d*uae anue plus eomplète» cBt facile, les siaas, cosinus ou toute autre ligna trigonomélriqie résultant de la recherche de leurs logarithme et du retour io nombre naturel par une recherche inverse.
CALCULS PRiLiyiNAIi^KS. 471
ChejgigMint pour exemple l'observation rdaliye à la preipière station d'une galerie a^ndantg ijonl la longu^r /de 31 m^res «: ab ^ FIneliBaiaon Afi. , 8^ 30* » angle a, ^ étaul égiA ^ riinité, les équations (^) et (f) dopnent liar remploi d'une table des lignes naturelles ; qc = COS. 9» 30' X 31 =Q.9863 X 31 =^ 30,Jf7S3 4c = sïn. r 30 X 31=0.1651 X SI =f. 5,1181 |>'oà il vésulle que les produite de la l9pg|iei)r coaiprise fntre de||x stations ^ pfir le cosinus et le sqiu^ de l^ngle d'inclinaison , sont respectivement Iq projection horizontale de la {igné et ra{titiide ie la statipn.
Il existe aussi des tables qui , p^ une simple %ddition, ppèrel^ |a réduction fie toi|te^ les lignef inclipées ; mais çlles ne sont guère plus expéditivef que les pr^céi|entes et peuvent donner lieu i des erreurs.
I^'eipploi des tables logarjthiniqup fxi(^ que |es équ^- ^ons (il) et (B) reçoivent la forpie su^antç :
I^g. qc — log. CQS. fi + Ipg. §k — IQ. Leg; bc » Iqg. sin. a -j- log* ^^ — IQ*
Le calcul des données ci-des«i5 serait ;
l\ Lqg. COS. §• 30' . . ?.9?|0Q
Log. 31 M. . . '. i.i^îSQ
Logarithme de la projection boriz, 1 .4^36
Projeckion horizontale. 3^.i(7 métr^.
V' Lpg. sip. 9» 30' . . ^.21761
Log. 34 M. . . . 1U9136
^«oganlhme de la projection verticale. 0.70897
Projeetiop vertiç&lfi. 5.13 fa^f9*
ClUPlrnB VIII. — II*. âECTIÔ!!.
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A Test da méridien. A l*ouest da mérid.
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§S>SS3$8£g|S$8 I I 8 8 8 15 § § § I §
CALCULS PRÉLIMIKAIRES. l73
D'après ce qui précède, le géomètre doit introduire dam son tableau deux nouvelles colonnes : la première destinée ft oonlenir la projection horizontale des longueurs ; la seconde, les altitudes, ou projections verticales, avec le signe-j* pour les galeries ascendantes, et le signe — pour les galeries descendantes. Il convient, en outre, d'en créer une troisième, contenant la somme algébrique (en ayant égard aux signes) de toutes les altitudes des stations qui précèdent , afin de trouver le niveau de chaque station relativement au point initial , ce qui est fort important en beaucoup de circonstances, principalement pour la confection des coupes.
Tous les calculs sont inscrits dans des tableaux dont les têtes de colonne sont imprimées d'avance. Plusieurs tableaux forment un regiêire , dit d*ma$icemeni^ qui est delà plus grande importance , soit pour refaire les plans détruits, soit pour déterminer la direction des percements. La forme prescrite par arrêté royal ne diffère pas sensiblement de la forme employée dans le tableau ci*joint, où se trouvent calculés tous les nombres du carnet.
OburtMiùn. Les nombres correspondants aux stations désignées (fig. 1) indiquent les altitudes des extrémités des lignes sur lesquelles a été pointé Tinstrument.
lOOS. Méthode des coordonnées {ûg. 4, pi. LXXVIl).
Trois plans, HyH^^ OT, et M S, rectangulaires entreeux étant donnés , la position d'un point quelconque A , pris dans l'espace , sera déterminée par ses distances aux trois plans Ja^ Ja\ Ja^\ ou par ses coordonnées , et par
474 CRAPITUt YIII. «— • II*. SICTIO!!.
li déaigmtian dfi oelui des huit anglea ao^dèg d^ps le- <|Ml U esi ri(ué (1).
Duos les 0iiii€i , aîii$î quV)a l'a d^ vu , le fMÎDt dt d^pwrt des opér^iions se pmid erdiii^irQiiievl mn tvfà do rm dos pui(« prîMîpaiiK à boq inierwfltîân «v#o ^ toH «^ If miu* de la eouehe , ou de l'une des stratifimliMB wan liuan^eg. Ce$î ëgakmeDt en ce lieu qu'est imagiaéa la f«H eantire C des irois plions , situés de telle fa^on qua rua NS qolncide avec la méridîea aalrpoomîque , ai Tnutra Qtft qui peut être appelé éfHaêêur, passa par les deui paiMa cardiqauf est ec ouest) le troisî4iBe HM^y ^eviaqotalf eM un plan de niveau* Les trais projections a» «^ a" du point J déterminent un parallélipipéde rectangle dont les ail fao^ sont parallèles deux i deux aux trais plans de post* tiott ; la dia^^oale €A exprime la distauae pomprifie pn^ê deux stations eonséeiitives ; les prqjeptinos boNxoptalo «| vertieale de eette diagonale sont exprimées par Ca^ Cw^ , dia gonales de deux des faees du parallélipipéde 9 e^fin, les Irais arêtes contigu$s Àa^ Aof at 4a^' expriment les CAoïdMnéas du point A. Si , en outre , le lecteur observe que les arêtes oipposées d*Mn pt^rallélipipède sont ^ales entre élises \ il verra qH*iI p^ut prendffs Cf au lien de ^4 \ Çd et C^ à la place de il f^' jet 4^" ? ^ ^^ ^Mc la poej^p du poiqt 4 est déterminée par des longueurs prises sur les droites d'intersection des plans ou sur les axes des coordonnées.
Sf i|p deuxième poi|it B doit être considéré , 4B^ distance (entre les deux stations , sera la diagonale d*un nouveau
i t ) Pour é.vf tar la eonfif sion , la agwra ne aamarend qna les flpstre angles solides situés au-dessus du plan horizontal; maîp cornac les deux plans OT et SJT, sont 'censés se prolonger an-dessous de EW^fi en résulte quatre angles placés symétriqueflMBt aux |pe|« miers e| ^«i c(^p](^t les bmt an^es ifoU^esr
eUCULS PRÉUMIMAmBS. 47S
pimHéltiiipàcle , dont trois côtés seront parallèles aux fkm é$ position. Les projections de la ligne J B sont Jb.ei4 if^f aa af et â"^** } les lignes Bb, BV , D6'< spnt les e0o^ données de B relativement à À; ei B^, Bf^ et fif*< lep foardtonées du môme point relativement à l'origine C, tpÂ^ rapportées aux axes, deviennent Ci, Cg et €h. Cqa^Ffiti •I in 90f% de même pour un nombre quelconque de points, |a position de Tun d'eux relativement à un autre non qonr ligtt est déterminée par les trois sommes aigébrjquea ^ •kaisBis , des ordonnées et des hauteurs.
Attt coordonnées ont été substituée avantag eusement lea déaigoations usitées en géographie , perce qu'elles ne laissent «uiune incertitude dans l'esprit. Ainsi on appellera désoF'^ mais longitude les lignes qui , telles que Cf^ Ci, expriment les distances au méridien ; laiitudes les disuinees Cd^ et Cg mesurées au nord ou au sud de la ligne £0 : ce sont les coordonnées horizontales ; et enfin altitudes ou hauteurs ou coordonnées verticales , la différence de niveau entre deux points ou les lignes Ce et Ch. Ces lignes peuvent, pour plus grande simplicité , être désignées comme suit : Longitude , X.
Latitude . /.
Altitude , h.
Le calcul employé pour déduire cette dernière ayaqt d^ été exposé , il ne reste plus qu'à indiquer le anode appliqué à la détermination des latitudes et des longitudes , fsi é désigner celui des huit angles solides dans lequel peuvent tomber les diverses stations.
La première partie du problème, considéré d'une ma- «Mre générale , consiste à calculer les trois arêtes contigues d'un parallélipipède dont on connaît la diagonale et les deux angles que celle*ci forme avec deux des laces m Mptaet, c'est-à-dire l'inelipaison et Ja direction. Mais
i76 GHAPITIIB VIII. — 11'. SECTION.
le lecteur sait dë^i comment se calcul Taltitude , eo eonsi* dérant l'espace compris entre deux stations comme Thypo-» thénuse d'un triangle rectangle situé dans un plan vertical. L'une des arêtes est donc trouvée y et il possède , en outre , la valeur de la projection horizontale de la ligne incUnée ; Or, cette dernière , ou Ca^\ par exemple, combinée avec l'arc de direction dCa^ y forme un triangle rectangle, dans lequel sont connus l'hypothénuse et l'un des angles aigus, d'où il peut déduire la longitude do**=s C/* et la latitude Cd, par les procédés de trigonométrie employés d-desaui (paragraphe 1004 ) , c'est-à-dire , par le calcul des triangles rectangles relativement aux sinus et aux cosinus des angles de direction ; mais ceux-ci doivent être réduits préalable* ment à une valeur inférieure k 90"*.
Exemple : Calculer la longitude et la latitude de la première ligne inscrite dans le carnet :
Projection, 94.39 mètres.
Angle de direction réduit au méridien, 87* NE. Longitude «= 24.39 X sinus 87» = -{- 34.3K58. Latitude ^ 94.39 X cosinus 87*' « + 1*^80.
Pour reconnaître de quel côté des trois plans rectangulaires les coordonnées doivent être prises , il a été convenu d'afTecter ces dernières des signes -|- ou — , d'après la loi suivante :
Toute longitude située à Test du méridien esl positive et, par conséquent, négative de l'autre càté.
Toute latitude prise au nord de la ligne £ O est positive, et négative au sud de la même ligne.
Enfin , les nltitades qui s'élèvent au-dessus du plan horizontal sont positives; celles qui se mesurent au-dessous sont négatives.
Si le lecteur consulte la colonne des angles de direotion , il verra de suite , par la nature des désignations
CALCULS PRÉLlMlNAÎlifeS. 477
qai tes àcéômpagnent^ quelle partie de l'espace doil être assignée aux diverses coordonnées ; c'est ainsi que les longitudes exigent la
et les latitudes position
HrB(Nord.Est).
+ ^ I 5B(Sud.Est).
~ M SO (Sud-Ouest).
~ ^ j NO (Nord^uest).
Les résultats de ces calculs sont inscrits dans deux nouvelles colonnes , et les sommes algébriques successives des coordonnées précédentes en fournissent au tableau deux autres contenant les longitudes et les latitudes de chaque station rapportée au point initial. Mais chacune de ces sommes ne peut avoir pour objet qu'un certain nombre de lignes , comme , par exemple , les trois premières stations du tableau formant Tensemble de la galerie d'allongement. La première et la quatrième indiquant les différences existant entre le point initial et Textrémité la plus élevée de la première galerie ascendante , etc. , etc. , il serait inutile et absurde de sommer tous les chiffres indistinctement,
Quoiqu'en rapportant les données du calcul sur le papier ^ il ne soit guère possible de tenir compte des fractions inférieures à un décimètre , cependant , pour plus grande exactitude , le calcul peut s'étendre aux millièmes , parce que ces fractions, accumulées, ont une influence sensible dérivantdes résultats de l'addition , surtout dans les grandes distances.
Les tableaux du registre d'avancement , dans l'emploi de Ja méthode des coordonnées, auront la forme suivante :
cBAnm tiu. — B*. Mcnoif.
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