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CALCULS PIIÉLinilAIMM. 479

ONéraMMi. Les nombres corresfmndants aux Mtiolis désignées indi^Mnt libn ràlthude, la longitude^ ete» , 4b kl statiott ellMttème , mais de la atàtkm feuivaiite , sur hqvdle riostninneiiC a été pointé ; en sorte que les ebiffines ^fà suîfent S .i, par eietnfrfé , se rapportent réeUément abx coordonnées de 3 J.

i006. Formulée donnant les longitudes «t les latitudes par un seul calcul.

Dm» la médiode précédente, les coord<Hinées horizonlates d'un {KÛnt quelconque résuUent de deax opérations successives 4 mais ees deux Ugnes peuvent être obtenoes 4ireoteiBenl à l'aide de for^Qules dérivant <le la aMnbifiaison des deux équalions (J) ei (B).

Sait aà («g. 2, pL LXXVII) la disiance mesurée; 4at« Taille d'indiBaison a»fi etcada^ir Taogie de Section.

Le triangle rectangle 6a c donne :

cos.fi X ab R ht triàni^ lioriKonlai «rie

«CM. ir X «It^ ~R

AibMituaift, dam» la secmide relatièn , la valeur >âe li c tr«to^*de ^tans 4a première, il vient

^ . , . stn. n X eox. ^ X ab Longitude cd =^ =r7— =

Et «d'une Biamère analogue

, . . . C08. t: X C08 II X ^b Latitude a a =i- ■^~

ft'opératjon effectuée par logarithmes exige la somme : ï\ "du logarithltte de la 4i0iaiice; f*. du «tnus de 'X^k

B : C08. [i :s=z ab l ac; ac =i

ht triàni^ lioriKonlai «rie

jft : sin. i: ^= ac i cd; cd =

480 CHAPtTRB Vlll. — if. SCCTION.

de direction ; 3". du cosinus de l'angle d'indinaison ; de laquelle somme sont soustraites 20 unités.

Pour la latitude, après avoir ajouté les 3 valeurs suivantes: logarithme de la distance, logarithme des cosinus des angles de direction et dlnclinaison , 20 unités sont retranchées de la caracTéristique.

1007. Erreurs provenant de texcentrieité det instruments.

L'alidade ou la lunette d'un instrument appliqué à la mesure de Fangle compris entre deux distances consécutives , étant placée latéralement au limbe azimutai , cette position excentrique est la cause d*unc erreur dont il est quelquefois nécessaire de tenir compte. Soit ACB {ûg.Z) le cercle décrit par Taxe de rotation de la lunette ; DeiE les stations qui suivent et précèdent le point C; ECD^ Fangle cherché. En pointant en arrière sur £, par exemple , la lunette se place en J en dehors du sommet de l'angle à mesurer , son rayon optique prend la direction A E^ au lieu de C£ ou de J E^ parallèle à C£, et Tangle mesuré est trop petit ou trop grand suivant les oiroonstances de la valeur EAE^^^rJEC. Il en est de même pour le coup d'avant donné sur />, où se trouve une différence exprimée par DiB/>' s= CD£, mais dont le signe est toujours contraire à celui de Tangle EJE"^ ou JEC.

S*il s'agit de relever l'angle intérieur ECD^ Texcentricité aura pour résultat d augmenter sa valeur de CDB et de la diminuer de AEC\ Terreur sera donc mesurée par la différence de ces deux angles ; elle sera positive ou négative suivant les circonstances ; d'autant plus petite que les distances entre les stations seront plus considé* râbles, et totalement nulle quand la ligne d'avant et celle

CALCULS PRiLIUlNAmES, 48i^

d'arrière seront ^ales , parce que les angles d'excentrieité, étant ^aux et de signes contraires , se détruisent mutuellement.

Une application numérique, choisie dans les circonstances qui se présentent le plus fréquemment, mettra le lecteur à même d'apprécier Timportance de cette erreur. Soit BC le rayon d'excentricité égal à 0.10 mètre.

CD = 20 mètres; et (7£ » 8 mètres.

Les deux angles cherchés , a et 6, auront pour tangentes i

il X -ôT = 0005 R) B X -g- = 0,0125 R \

Logarith. A «: 10 Logarith. /{ a 10 '

log. 0.005 » 3.69897 log. 0.0125 « ^.09691

log. tang. de a = 7.69897 log. tang. de 6 =» 8.09691

Différence résultant de l'excentricité , 25'.

La boussole est constamment sujette aux erreurs de ce genre. Dans son application au relevé de Tangle formé par la distance et le méridien magnétique , ces erreurs se compensent à peu près , surtout si les déviations dans la ' direction des galeries ne sont pas brusques ou trop fré- quentes. Toutefois elles disparaissent en plaçant la boussole de telle façon que l'axe de rotation de la lunette tombe à plomb du point central de la station, et qu'en toute < eireonstance elle conserve cette position.

Dans l'emploi de la boussole dont l'aiguille est considérée comme ligne de repère, ou de tout autre instru* ment gradué dont la lunette est placée excentriquement, il ne peut être permis , pour relever l'angle azimutal , de négliger l'excentricité ; l'exemple numérique qui précède fait voir combien cette erreur influerait sur l'exactilude des opérations. La valeur de l'angle peut être rectifiée TOMB IV. 31

au moyen du calcul; maU il est plus simple d'employée le moyen précédent^ c'est-à^lire de faire eolneider Taxe d» rotation de l'alidade et le centre de la station, et de main* tenir oonslamment la première du même eAté de Tinstrument^ Ainsi, quand, pour les coups dirigés en avant, l'alidade on la lanctle est à droite de l'opérateur, eelle-ei ae place à gauche pour les coups d'arrière. Le pèle nord de l'ai* guille fournira la première indication et la seconde sera lue sur le pôle tmd. Cette correction peut aussi résulter d'une double opération , consistant à mesurer les angles à deux reprises : la première , en tenant la lunette à droite, et la seconde, en la plaçant à gauche. Ainsi la lunette étant dans la première position, l'opérateur mesure l'arc ovp, trop petit de oo* et trop grand de pp* ; lorsqu'il la fait passer à gauche y l'arc observé tntn est trop petit de nnf et trop grand de mm!^. Mais comme fnmf^^oo^ et nn^^^^^pp', s'il prend la demi*somme des deux angles , l'erreur est détruite (1).

Comme, dans les levés destinés à la confection des plana, les géomètres ne se préoccupent pas de la correction d'excentricité , il leur importe de prendre des distances grandes et surtout aussi égales que possible.

(I) Les inslmments à alidade se prêtent toujours à cette double opAraUoo. S'ils sont pourvus de lunettes, celles-ci, au nombre de dam, doivent être superposées, aiasi que Tiadique la fig. I de la pU liXXVI.

TRACi mf PLA119 DB MINEf • iSS

iii«. SECTionr.

niGÉ tas PLAM DtS O0VRA6BS SOtrrBRBAlKS*

iÔOS. P/an^ et coupes.

Le but des opérations qui précèdent est de préparer hà moyens néoessaires poar représenter sur le papier Vh mage réduite des travaux intérieurs , ou de déterminer hi direetion et la longueur d'une communication à établir entre deux points d'une mine. Le tracé des plans et des pereemeirts souterrains peut s'effectuer à Falde de procédés grapbrques^ du calcul , ou quelquerors de la combinaison de ées deux méthodes.

Chaque couche d*une mine de houille est ordinairement Tobjet de trois projections correspondantes aux trois planà de position indiqués ei-dessus. La projection horizontale est plus s(>écial€mcnt désignée sous le nom de plan ; les deux attires, appelées coupes, sont des projections sur deux plans verticaux réciproquement perpendiculoires. Quelquefois il convient d^ajooter des plans accessoires destinés à repréienter certaines parties des travaux offrant quelque confusion dans le tracé sur les trois plans rectangulaires ; la direeiba du pian de projection est alors arbitraire et sou^ Vent réchelle plus grande.

484 CHAPITRE YIII. ^ m\ 81CTI01I.

1009* Emploi de la boussole pour le tracé des plans.

L'opérateur se place sur une table disposée horizoota* lement et d'une manière invariable , soit afin d'éviter les oscillations trop prolongées de l'aiguille , soit pour se soustraire aux erreurs provenant] du plus l^er déplacement du papier hors de la situation primitive. Il dépose en outre à distance ses clefs, son couteau ou son canif; il proscrit l'emploi des compas à pointe d'acier; enfin , il écarte non-seulement le fer et l'acier , mais encore les substances douées d'une action magnétique, telles que le nikel, le cobalt , la serpentine , quelques espèces de granits , etc.

La boussole suspendue des Allemands se prêtant seule d*une manière convenable h cette opération^ le lecteur doit supposer qu*il s'agit ici d'un instrument de cette espèce.

La boite , étant détachée de son cercle de suspension, est enchâssée dans un rapporteur lIP(fig. 6, pi. LXXVII), ou plaque rectangulaire en cuivre, dont les bords sont taillés en biseau. Sa posiiion dans la dépression circulaire G H doit être telle que la ligne NS soit toujours parailèle à l'un des grands cotés ; ce résukat est facile à obtenir en faisant coïncider deux à deux les lignes de repère aa^ tracées sur le bord de la boite et sur le rapporteur. Une vis de pression / s'oppose à tout déplacement ultérieur. Les boutons, destinés à soulever le rapporteur, se distinguent par leur forme: l'un f , étant circulaire, et l'autre X triangulaire ; il convient de choisir constamment le même bouton pour y diriger le nord magnétique , afin d'éviter toute incertitude pendant le tracé, et surtout de placer rinstrument dans des situations analogues à celles qu'il occupait dans la mine. Enfin, le long côté , situé à droite de la ligne NS

THACÉ DBà PLANS DE MiNEg. i8!t

(lorsque le nord est en avant), devant senir au tracé, est divisé en millimècres ; le point 0 (zéro) se trouve sur le prolongement de la ligne OE, et les nombres s'accroissent en s'avançant vers les extrémités. Cette disposition permet la suppression de la règle divisée et du compas.

Après avoir choisi sur le papier un point de départ , tel que Tensemble des travaux puisse être contenu dans la feuille , l'opérateur oriente cette dernière en plaçant le rap^ porteur de telle façon que le pôle nord de Taiguilie coïncide avec la division 360«. Alors, procédant au tracé des galeries, H fait coïncider le point o de la règle et le point initial ; il fait tourner le rapporteur autour de ce point , jusqu'à ce que le pôle N se fixe sur le degré de direction observé dans la mine è la station dont il s'agit ; il imprime un léger mouvement à l'aiguille, afin de s'assurer qu'elle reprend la même position, pendant qu'il s'occupe à lire dans le tableau la longueur de la projection horizontale de la distance ; puis il tire, suivant le bord divisé du rapporteur^ une ligne dont la longueur concorde avec le nombre inscrit dans la colonne. L'extrémité de la première ligne, ainsi dé« terminée , est le point de départ de la suivante ; celle-ci est Pobjet d'un tracé semblable, et ainsi de suite. En un mot, il place successivement, et bout à bout, les projections des distances, dont la direction résulte de la valeur des angles mesurés dans les travaux. Il a le soin d'inscrire l'année , le jour et l'heure du levé , afio de pouvoir tenir compte ultérieurement de l'angle de déclinaison lorsqu'il voudra comparer le plan avec un levé fait à une époque différente. Il indique aussi la trace du méridien vrai par upe ligne formant , avec le méridien magnétique , un angle égal à la déclinaison au moment de l'opération.

Ce procédé ne réclame aucun calcul préliminaire ; il permet d'utiliser les instruments défectueux par leur gra«

48d GHAPITM VIU.**^III*. SICTUm.

duatioQ ou par l'exoentridté du point de susp^nsba de leur aiguille ; ear les angles reportés sur le papier soni identiquement les angles relevés dans la mine. Mais ces avantages sont d'une minime importance relativement aui nombreuses erreurs inhérentes à tous les procédés puremenl graphiques , et surtout à eelui-ei , qui réelame de Topérateor tant de délicatesse , de minutieuses précautions el une si grande habitude.

iOlO* Emploi du rapfwlmr ordinaire.

Le rapporteur (fig, 8, pi. LXXVII) est un cercle d* oome ou de laiton en usage pour construire les tn|^ sur le papier. Le diamètre varie entre 0 ,13 et 0.33 rnàtr^} la circonférence en est divisée en d^rés et quelquefois ea demis et en quarts de degré. Quelques-uns de ces in$tnii« ments sont formés d'un eerde complet ; d'autres simpleoieot d'un demi^eerde; enfin , ils perlent un rayon mobile ou m sont dépourvus. La notatioA des degrés d'un Rspporieuf est toujours double : Tune marche de droite à gauche et bi seconde de gauche à droite , afin de pouvoir ooqiplep dans les deux sens ; le centre est indiqué par W tfQ^ QH une eoche pratiquée sur 4e diam^trf^*

Le géomètre appelé à oonstruire un angle avec cet instrument « en installe le centre eu point que doit occuper le sommet de l'angle ; il fait coïncider le diamètre evep Iud des côtés préalablement tracé sur le papier ; puis , eompr tant sur la circonférence, le nombre de degrés voulu, il arrive à un point qui , joint au sommet , donne raqgle cherché»

Pour rapporter un levé à la boussole , il choisit 1^ posH tion du point initial o (fig. 8) et y faitpasser une ligne arbitraire; celle-ci est destinée à représenter le fnérîdien vrai, s)

TRAG* DBB PLANS DE HINIS. 487

la valeur des angles de direction a été modifiée dans ee sens, ou le méridien magnétique , s*il s'agit de l'arc obsenré sur le ttrrain. Dans tous les cas, il fait coïncider la ligne NS at le diamètre passant par les points 180* ; il cherche sur le rapporteur le degré annoté dans la roine> ci la position correspondante indique sur le papier le point où la crayon doit laisser une légère traee ; le centre de l'instrument et cette traee , étant unis par un trait o n , eduifei détermine la première direction ; e'est suivant cette ligne qu'il porta , avee un compas , la projection horisontale de la distance à l'échelle du plan. Le centre de la 3*. station étant indiqué par un point p, il y fait passer une ligne N^S^ parallèle au méridien , et dont il se sert de la même manière pour déterminer la 3*. station. Un demt*cercie exige remploi des angles modifiés de la S*, eolofine du S*, tableau , c'est-à-dire réduits à une valeur moindre que 180*", et divisés en arcs orientaux et occidentaux* Les premiers sont portés à droite du méridien et les seconds è gauche, en retournant le rapporteur.

Le géomètre peut opérer avec une plus grande promptitude et autant d'exactitude , s'il porte d'un seul coup , autour du point initial a (fig. 9) et à l'aida du rapporteur, un certain nombre de poinu tels que V , a', d' . /' » ^c- y io* dices d'autant de directions ; puis, è laide de deux équerres disposées comme l'indique la figure 9, il reporte en avant ces diverses directions. Ainsi , par exemple , supposant déjà tracées les lignes ai, frc , cd , el o^' éuint la direction de la suivante , un des cètés de l'équerre Jf est placé suivant a/' ; l'autre équerre N^ eoDStanunent maintenue en contact avec la première , est amenée sur le point d et prend la direction df parallèle â af\

L'opérateur, qui emploie une règle Jf et une équerfe N \{i^. 7), i^laee le çraqd «été de cette dernière sur la

'A88 CHAPITRE VUI. — IIl\ SECTIOlf.

•ligne a/' et applique la règle contre le petit c6té; puis, maintenant celle-ci en place , il fait glisser l'équerre pa* rallëlement à elle-même jusqu'au moment où , tombant sur le pointe, il trace la ligne ef. Dans le but d*éviter toute confusion, chacun des points b\ c\ di^ f^ est désigné par le numéro de la station & laquelle il appartient et inscrit légèrement au crayon. Lorsque l'équerre n'est plus* assez longue pour porter les lignes en avant , il y supplée par le tracé d'une seconde méridienne.

La construction des angles relevés avec le grapliomètre serait évidemment la même que ci-dessus ; mais , pour donner à cette opération un plus grand degré d'exactitude et ne pas annuler en partie les avantages résultant de l'emploi de cet instrument plus parfait , il convient d'employer le rapporteur représenté par la figure S (pi. LXXVfl). Il se compose d'un demi-cercle jé B en laiton, de 0.16 mètre de diamètre et d'un rayon CD mobile sur une charnière D ; celle-ci est percée d'une fenêtre m dans laquelle deux cheveux , croisés à angle droit , indiquent le centre du cercle. Le rayon mobile, dont un côté coïncide constamment avec l'un des rayons , porte un arc v$ argenté mat et formant nonius ou vernter. Ordinairement 90 divisions du nonius correspondent à 31** du eerde ; chacune d'elles est de

5jr = 63 mmutes.

Ainsi le degré d'appréciation s'étend à tous les ares jus* qu'au minimum de 3 minutes. Le nonius du graphomètre est nécessairement divisé de la même manière.

iOli. Tracé par la méthode des coordonnées.

Le dessinateur , ayant égard à la disposition des tra- . vaux , choisit une position convenable pour y faire pass^

TRACÉ DES PLANS DE MINES. 48d

deui lignes droites réciproquement perpendiculaires. Ce sont les traces de Vintersection du méridien et de Vé^ quateur avec le plan horizontal qui, exprimant l'origine des coordonnées , sont désignées par des zéros. Il porte à droite du méridien , sur les deux cAtés opposés du cadre et à partir du point 0 , les longitudes positives accompagnées des numéros de la station, et à gauche les longi* tudes négatives -, puis il réunit ces divers points psTr des parallèles à la trace méridienne. Les latitudes positives et négatives, portées de la même manière au-dessus et au* dessous de Téquateur, sont Tobjet d'une opération semblable* Alors les intersections des lignes qui , portant le mémo numéro , appartiennent à la même station , étant jointe» deux & deux par des droites , expriment les projections horizontales des distances , dont l'ensemble forme le plan qu'il s'agit de dresser. La fig. 11 (pi. LXXVH), dont toutes les lignes de construction sont ponctuées et réunies deux à deux par des chiffres identiques , suffit pour faire connaître en détail la marche de l'opération graphique. Mais comme le nombre des lignes à tirer est ordinairement trop considérable pour ne pas engendrer quelque confusion, il est plus convenable de procéder de la manière suivante , d'ailleurs aussi exacte et plus expéditive.

Le dessinateur prend un papier maillé (fig. 14, pU LXXVH), c'est-à-dire divisé en carrés de un décimètre de côté par une série de lignes parallèles , les unes au méridien , les autres à l'équateur. Il désigne également les axes des coordonnées par des zéros et accompagne les autres lignes des nombres 100, 200, 300, etc., expressions de leurs distances aux (races méridiennes ou équaloriales. Les sommes des latitudes et des longitudes inscrites dans le tableau , lui indiquant, par leur signe et par le nombre de centaines qu'elles contiennent, dans quel»

490 CHAPITRB Vlli. — III^. SBCTiOll.

oarrés doivent se trouver les stations données , il prend au eompas Texeès des coordonnées sur les nombres 100, 900, 800, etc., et les porte dans le carré désigné , sans s'occuper en aucune manière des points précédents* Ainsi , après avoir reconnu , par exemple , qu^une latilttde et une longitude , dont les valeurs respectives sont 4- ^^ et -f- 113, appartiennent au carré H, il mène deux lignes è des distances de 95 et de 43 des cètés de ce camé ; eelIesH^i , par leur intersection , déterminent la positiM demandée.

Un autre procédé , plus simple encore , consiste a se ser** tir d-une équerre et d'une règle plate divisée en décimètres seulement, et dont le trait C^ indicatif du milieu de la lon^ gueur^ est coté zéro et les suivants, 1. 2. 3 , etc. L'équerre , dont les deux côtés de Tangle droit sont taillés en biseau , porte des divisions en centimètres et en millimètres. 8i la longitude est inférieure à 100 mètres, la r^le s'applique immédiatement sur le méridien , en ayant soin de faire coïncider la division C avec la ligne EO. 6i elle est plus grande que 100, 300, 300, etc., positive ou négative , la règle est transportée sur la 3*., 8*. ou 4". ligne à droite ou à gauche , c'est-à-dire sur la ligne désignée par les centaines comprises dans le chiffre de la longitude, tâais toujours dans une situation telle que la trace C coïncide avec la ligne EO.

Qu'il s'agisse de déterminer la position d*un point dopt la latitude et la longitude soient respectivement -f" ^^ mètres et — 150 mètres, le dessinateur, après avoir ios* tollé la règle sur le second méridien à gauche de NS^ porte l'équerre dans le troisième carré au-dessus de Téqualeur , la fait glisser jusqu'à ce que la trace 3 de la r^le corresponde avec la division 56 de l'équerre; puis, comptant tfO de a en. 6 I il mar(|ue ce dçraier point, indice de la