FORCE TANGENTIELLE. FORCE CBNTRIPÈTE

rence v i cos a — v % = — 2v f sin 2 - a est un infiniment petit du second ordre. Donc

R . ,. V. — v RCOS (R~ ds) dv

— cos % = hm — ou — — - = — ,

dt) d 2 s

équation dans laquelle on peut remplacer — par — .

dt df 2

Définition. La force R cos (JR, ds), projection rectangulaire de la résultante sur la tangente comptée positivement dans le sens du mouvement, Rappelle la force tangentielle ; elle est égale (34) à la somme algébrique s F cos (F, d*) des projections rectangulaires sur cette tangente de toutes les forces F agissantes. Ainsi :

dv Théorème. Dans le mouvement curviligne l'accélération —

* dt

ou —-y du mobile sur sa trajectoire (*) est égale à —

dt* m

c'est-à-dire à la force tangentielle divisée par la masse, d'où il suit que le mobile a sur sa trajectoire le mouvement qu'il aurait sur une droite si les forces étaient à chaque instant remplacées par leurs projections rectangulaires sur la tangente à cette trajectoire.

Il en résulte que la force tangentielle R cos (R, ds) est égale

dv à m — , c'est-à-dire à la masse du mobile multipliée par son accélération sur la trajectoire.

87. Forée centripète. — Menons la normale AN au point A de la trajectoire, vers son centre de courbure, et remarquons

(*) Suivant le nouveau langage expliqué dans la note du numéro 54, pour distinguer de l'accélération totale l'accélération comptée, comme la vitesse,

dv

suivant la trajectoire, abstraction faite de sa courbure, cette accélération —

dt

s'appelle Yaecélération tangentielle.

52 DYNAMIQUE d'un POINT MATÉRIEL. SECT. I, CHAP. m.

que les projections rectangulaires , sur cet axe , des droites M Q et MS sont égales. Ainsi

R „ . . , R . . v. sin a

— sin » = v. sin a, donc -smt = J •

or, à mesure que diminue, v, approche de se confondre avec v, et sin a peut être remplacé par l'angle a. angle infiniment petit des deux tangentes aux points A et M. On a donc

— sm * = -— - ou — sin * = v* -

à cause de la relation v = -, en appelant <j Tare infiniment pe-

tit AM parcouru dans le temps 0.

Maintenant , on sait que le quotient - , qui , si la courbe AM

était un cercle, serait l'inverse du rayon, est généralement, à la

limite, l'inverse du rayon de courbure. Donc si ce rayon est p,

a \ on a - = - et l'équation précédente devient, attendu que

l'angle i de la résultante R avec la tangente est le complément de l'angle de cette force avec le rayon de courbure,

JR sin t = R cos (R, p) = .

Définition. La force R sin t ou JR cos (R, p), projection rectan^ gulaire de la résultante sur la normale à la trajectoire , s'appelle force normale ou force centripète, parce qu'elle est nécessairement dirigée vers le centre de courbure de la trajectoire. Ainsi :

Théorème. Dans un mouvement curviligne quelconque la force centripète est, à chaque instant f égale au produit de la masse par le quarré de la vitesse, divisé par le rayon de courbure.

Remarque. La force totale R étant nécessairement dans le plan de la trajectoire, si elle est plane, et en général dans son