L'équation ~ rov 2 — - mv* = s I F d* cos (F, As
(") On peut, dans une première élude, se dispenser de lire les ciuq articles de ce paragraphe .
cas d'intégration de l'expression du travail. 65
prend une antre forme quelquefois plus commode dans les applications. On substitue' aux forces F les sommes algébriques X, Y, Z, de leurs composantes parallèles à trois axes rectangulaires. La somme des travaux de ces composantes étant égale à celle des travaux des forces F, et lé déplacement &s dans l'espace ayant &x, <fy, dz pour projections sur des parallèles aux axes, on conclut que, eu égard aux signes des forces et des différentielles, on a toujours
69. Cas d'intégration. — Parmi les divers cas qui peuvent se présenter, les géomètres ont distingué ceux où le second membre de cette équation est intégrable en une fonction des coordonnées x, y y z.
Cette condition se réalise , par exemple , lorsque le mobile, quelles que soient ses positions, est soumis à une force unique, constante et constamment perpendiculaire à un même plan, comme est le poids d'un corps dont la trajectoire est restreinte. Si ce corps se meut librement dans le vide , on a , en pren&nt Taxe des z vertical descendant, * *
X=0, Y=0, Z=zmg, et par suite t; 2 — v 2 =%(z — z ) ,
de sorte que l'accroissement du quarré de la vitesse ne dépend que de la distance entre les deux plans horizontaux passant par la position initiale et par la position finale du mobile.
La condition d'intégration serait également remplie si la force unique était constamment perpendiculaire à un plan fixe, et que son intensité ne dépendît que de la distance du mobile à ce plan. En prenant ce dernier pour plan des x et y, on aurait
et
v* V# 2 = 1 Ci ( Z ).dz = I (f [z) - f (s.));
66 DYNAMIQUE ft'lJH POINT MATÉRIEL. SBC T. I, CBAP. III.
tî'est-à-dire que la différence v* — v *, indépendante des x, des y et des directions des vitesses, ne varie qu'avec les coordonnées z et z , finale et initiale ; mais elle n'est plus simplement proportionnelle à la distance z — s .
Plus généralement on démontre la proposition suivante :
Théorème. L'expression Xdjc+ Y Ay + Z Az de la somme des travaux élémentaires qui correspondent à un déplacement As du mobile est une différentielle exacte d'une fonction des coordonnées x, y, z de ce point, toutes les fois que les directions des forces passent par des centres fixes et que leurs intensités sont fonctions des distances du mobile à ces centres divers.
Soit F l'une quelconque des forces (fig. 13); elle est positive p k si elle agit dans le sens OM, négative si elle agit dans le sens contraire. Soit OM = ?v, MM' = As, MN = *r. Le travail élémentaire de F est, eu égard aux signes, F dr, ou d'après l'hypothèse, $ (r) Ar; c'est la différentielle d'une autre fonction de r que nous pouvons désigner par ç (r). Ainsi agf = dqp (r). Quel que soit le nombre des centres fixes et par conséquent le nombre des forces, la somme de leurs travaux élémentaires simultanés, pour un même déplacement As, est donc exprimée par d s 9 (r) , somme d'autant de termes qu'il y a de centres fixes. On a donc
XAx + YAy-t-ZAz=A$<f (r).
Or, pour chacun des centres fixes tels que O dont les coordonnées sont a, b et c, on a
donc 2 <p ir) est ramenée à une somme de fonctions de x, y et z, et par conséquent à une fonction f de ces mêmes variables.
CAS D'mTfiGftATKM DE L'EXrftESSlOlf DU TKàTàIL. 67
70. Conséquences de l'expression du travail en fonction des coordonnées du mobile. — - De l'égalité
Xdx+ Ydy+Xdz=d t (x, y, z)
et de l'équation (4) on conclut
2 » (v f 2 — v*) = f (* lf y %> z § ) — f (*«, y„ *J... (2).
Non-seulement le second membre ne dépend que des coordonnées Jc A , y , z de la position initiale M du mobile et des coordonnées *,, y t , z t de la position finale; mais si Ton déplace le premier point sur la surface déterminée dont l'équation est f (je, y, z) —tx 9 , y 09 z )y wte dernier point sur celle qui a pour équation f (jc, y y z) = f (jc,, y t , z % ) 9 la différence v t * — v # * restera la même.
71. Surfaces de niveau. — Les deux surfaces dont nous «venons de parler sont comprises dans le nombre infini de celles
qui, si Ton désigne par C un paramètre constant pour chacune d'elles, mais variable d'une surface à une autre, ont pour équation en termes finis
f (x, y, z) = C,„ et pour équation différentielle
Xdx+ Ydy + Zdz=0;
ce qui signifie qu'un point étant sollicité par la résultante des forces X, Y et Z, si on le transporte d'une position située sur Tune des surfaces dont il s'agit, en une position infiniment voisine sur la même surface, le travail de la résultante est nul, et que par conséquent cette résultante est normale à la surface. C'est pourquoi, et par analogie avec les plans horizontaux perpendiculaires aux diverses verticales de points peu distants les uns des autres, les surfaces dont l'équation générale est f (x, y, z) = C, ou X àx + Y Ay -+- Z dz = 0, s'appellent
G8 DYNAMIQUE D'UN POINT MATÉRIEL. SBCT. I, CBAP. m.
surfaces de niveau correspondantes aux hypothèses précédemment posées pour les forces X, y, z.
72. D'après cette définition, l'équation (2) du numéro 70 peut s'énoncer ainsi :
Théorème. Lorsqu'un point matériel est soumis à des forces qui ne dépendent à chaque instant que de la position variable de ce mint dans F espace , si la loi qui assujettit ces forces donne lieu à un système de surfaces de niveau, F accroissement du quarré de la vitesse du mobile entre deux instants ne dépend que des deux surfaces de niveau sur lesquelles ce point matériel se trouve à Finstant initial et à Finstant final, quelles que soient la direction et la grandeur de la vitesse initiale, quelque temps que le mobile mette à parvenir d'une position à Fautre> et quelque ligne qu f il décrive entre les deux : F accroissement de la puissance vive du point matériel est toujours égal à la différence C t — C de deux paramètres qui déterminent les deux surfaces de niveau extrêmes.
Cette propriété, exprimée par l'équation (2), constitue ce qu$ les géomètres ont appelé le principe des forces vives, moins général que le théorème du travail, indépendant de toute hypothèse, énoncé au numéro 64 et exprimé par l'équation (4 ) du numéro 68.
