MOUVEMENT SUR UNE COURBE DONNEE

qu'exercent les corps qui empêchent le point considéré de quitter la surface ou la courbe.

Les géomètres ont admis l'existence de surfaces parfaitement invariables de forme et parfaitement polies, n'opposant aux corps qui les pressent que des résistances ou réactions normales. Les choses ne se passent pas ainsi en réalité, et quand un corps glisse sur un autre , pour représenter l'influence que le second exerce sur le premier, il faut, en outre de la réaction normale à la surface de contact, tenir compte, en chaque point glissant, d'une force, appelée frottement, dirigée en sens contraire du mouvement relatif tangent iellement à la surface.

Néanmoins l'hypothèse d'une résistance totale, normale à la courbe ou à la surface qu'un point est assujetti à parcourir, se réalise approximativement lorsqu'un petit corps est maintenu en mouvement, soit sur une sphère, au moyen d'un fil très-mince attaché à un point fixe, soit sur un cercle au moyen de deux fils, soit sur une courbe plane au moyen d'un fil très-flexible qui s'enroule sur la développée de la première courbe : dans ces divers cas, la masse du fil est supposée pouvoir être négligée, et il en résulte que le fil est considéré comme restant rectiligne.

Sous la réserve de ces observations, les questions relatives au mouvement d'un point sur une courbe ou sur une surface sans frottement offrent de l'intérêt. Nous ne nous occupons ici que du premier de ces deux cas.

74. A partir d'un instant initial, où le mobile peut avoir une certaine vitesse tangentielle à la courbe, toutes les circonstances du mouvement sont dues à des forces F indépendantes de la courbe (telles que le poids du mobile, l'action d'un moteur, etc.) et aune force N normale à la courbe, force qui s'appelle, pour abréger, la réaction de la courbe, au lieu de dire que cette force N est la résultante des réactions des corps qui obligent le corps à rester sur la courbe, quelles que soient les

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forces F. Cela posé, la variation de la vitesse du mobile suivant sa trajectoire ne dépend que de la force tangentielle , et Ton a (56, 61 et 64) ;

dt/2FcOS(F, &*)

d'où mv — mv Q = I S F COS (F, d$) dt,

Jt — o

et j m(v» — v a )=S J Fcos(F,ds)ds,

de sorte que, si les forces F ne dépendent à chaque instant que de la position du mobile sur la trajectoire, la vitesse du mobile en chaque position, et par suite la durée du parcours d'un point à un autre, seront calculables sans qu'on ait à s'occuper de la force N. Celle-ci sera ensuite déterminée à chaque instant en intensité et en direction, eu égard à deijx conditions qu'elle remplit, savoir :

1° La force totale résultante des forces F et de la force N doit être (51) située dans le plan osculateur de la trajectoire, de sorte qu'en menant par le point mobile M une perpendiculaire M Ç au plan osculateur, on a :

S Fcos (F, Çj) + iV cos (Jf, Ç)ss0.

$• La propriété de la force centripète (57) donne :

I F COS (F, p) + N COS (N, p) = .

La force zv, située dans un plan connu, plan normal à la courbe , est la résultante des deux forces rectangulaires N cos (N t Ç ) et n cos [N, p), données par ces deux équations.