SUPPOSÉE SANS FROTTEMENT
106. Les propriétés curieuses de ce mouvement ont beaucoup occupé les géomètres du dix-buitième siècle. Nous les exposerons succinctement à cause de leur célébrité, quoiqu'elles soient sans application pratique.
Soit ABC (fig. 27) une cycloïde située dans un plan vertical ; la base AG est horizontale ; le sommet B est le point le plus bas. On suppose qu'un point pesant parti sans vitesse initiale de la position H descende sur la courbe sans frottement, de sorte qu'il soit soumis seulement à l'action de la pesanteur et à la réaction normale de la courbe. On demande la durée de la descente de ce mobile de H en B, durée qui est égale à celle de son ascension de B en H', sur la seconde moitié de la cycloïde, les points H et H' étant sur la même horizontale.
La vitesse du corps, à son passage en un point M de la courbe,
sera l/'îjy, si l'on désigne par y la distance PI du point M au-dessous de l'horizontale HH' (103).
HOUVBMENT CYCLOÏDAL. 128
Représentons par s Tare HM de la courbe et soit as représentée par MM' Tare infiniment petit parcouru pendant le temps dt. On a donc
As **
dt
=)/& ou «=j/^- m
Pour éliminer la variable s. menons l'horizontale MP et la petite verticale M'L qui représente la différentielle «ty. Traçons la normale M1V et la tangente MT, dont les intersections IV et T avec les horizontales AG et BT sont aux extrémités du diamètre vertical NT du cercle générateur de la cycloïde , passant par le point M. L'arc MM' se confondant avec un élément de la tangente MT, les deux triangles semblables MM'L, MTQ donnent la proportion MM' : LM' : ; MT : TQ, ou, si l'on représente le diamètre TX par 2r, la hauteur IB par h, et en conséquence TQ par h — y,
as Idy ::[/^r(h — y) l h — y,
d'où
(*) L'intégration de cette équation conduit à une propriété remarquable de la cycloïde. De
as — — |/i^ (h — y) 7 d |/i — yj,
on conclut
SCB — 2^2r(fc — y) H- C, et en prenant cette intégrale depuis y = jusqu'à y — h,
arc HB — 2 V*rh — % corde TK.
Telle est la rectification de la cycloïde. Si l'on y fait h = âr, on a la longueur de la demi-cycloïde AB — ir, double du diamètre TW.
126 DYNAMIQUE D'UN POINT MATtlURL. 8BGT. n, CHAP. UU
ce qui étant substitué dans l'équation [1], donne
Cette équation , dans laquelle h a une valeur quelconque moindre que 2r, et semblable à celle qui a été obtenue (104) pour le pendule circulaire, mais dans le cas seulement des petites oscillations, donne par intégration
-kl
arc cos — - h C.
En prenant cette intégrale depuis y = jusqu'à y = h, on trouve pour la durée d'une demi-oscillation t\/ - > et par conséquent pour celle d'une oscillation entière
Cette formule, indépendante de l'ordonnée y du point de départ prouve que pour la cycloïde, l'amplitude des oscillations peut embrasser une portion quelconque de la courbe, sans que leur durée change , tandis que la formule analogue du pendule simple circulaire suppose les oscillations assez petites. Cette propriété a fait donner à la cycloïde la qualification de courbe tautockrone (de même durée).
Lorsque les oscillations sur la cycloïde sont très-petites, on peut les regarder comme sensiblement circulaires, en remplaçant la courbe 4.BC par son cercle osculateur au point B. Or on sait que le rayon de courbure en ce point est égal au double du
*QVVI»HflY CTCLÛÏBàL. 127
diamètre ; ii faudrait donc, dans la formule du numéro 104, faire l = 4r, ce qui est conforme à ce que nous venons d'obtenir.
