Courbe de plus vite descente. — On a VU (104) que la

descente d'un point pesant de A et C (fig. 26), suivant un aro de cercle dont la tangente en C est horizontale, est plus rapide que suivant la corde de cet arc. Mais quelle serait, entre ces deux points, la courbe de la plus vite descente possible ? Telle est la question proposée en 1696 par Jean Bernoulli. Voici, sauf quelques changements de rédaction, la solution donnée par Jacques Bernoulli, frère aîné de Jean (Jacobi Bernoulli opéra, 1744, t. II, p. 769).

Soient M, M' et M" (fig. 28) trois points de la courbe cherchée, infiniment rapprochés entre eux. Soient y et y' les distances verticales des points M et M' à l'horizontale passant par le point de départ, sans vitesse initiale, du mobile. Ce point (non indiqué dans la figure) sera pris pour origine des coordonnées x horizontales et y verticales.

L'espace M Af ' est parcouru avec la vitesse

et l'espace M'M" avec la vitesse Le temps de la descente de M en M" est exprimé par