PROBLEMES

319 a. Mener par un point (a, ar) (Jig. i, PL LT7) une droite faisant respectivement avec le plan horizontal et avec le plan vertical de projection des angles donnés a et [i.

La droite cherchée appartient à deux cônes de révolution qui ont leur sommet au point (a, et), et qui peuvent être déterminés par la construction indiquée à l'article 1Î46. Les axes de ces cônes sont respectivement perpendiculaires aux plans de projection. La ligne (ab, a'b')9 parallèle au plan vertical et faisant avec le plan horizontal l'angle a, est une génératrice du premier. L'horizontale (ac, a'c'), qui rencontre le plan vertical sous l'angle |3, appartient au second. Nous ne considérerons d'abord sur chaque cône qu'une nappe.

Si nous coupons les deux cônes par une sphère ayant son centre à leur sommet commun, nous aurons deux cercles dont les points de rencontre détermineront des génératrices communes, c'est-à-dire des droites satisfaisant au problème.

Nous prenons la sphère qui a pour rayon a! V : son intersection avec le premier cône est le cercle décrit sur le plan horizontal du point a comme centre, avec ab pour rayon.

Le cercle suivant lequel la sphère coupe le second cône est dans un plan de front. On en obtient un point (c, c') en portant sur la génératrice (ac, a'c') une longueur égale au rayon ab' de la sphère. La projection horizontale du cercle est la droite cnm, parallèle à la ligne de terre ; sa projection verticale, le cercle décrit du point a! comme centre, avec a'c' pour rayon.

Les projections horizontales des cercles se coupent en m et en n9 leurs projec- S. 19

l4o SUPPLÉMENT.

lions verticales en rri et en ri. Ces points se correspondent de manière à déterminer deux rencontres, car les courbes sont sur une même sphère. Nous trouvons donc deux génératrices communes [am, a' m) ci (an, an).

Si nous considérons les cônes dans toute leur étendue, la sphère coupera chacun d'eux suivant deux cercles situés à des dislances égales du sommet. Ces cercles donnent, en général, huit points d'intersection qui apparliennenl à quatre génératrices communes. Nous obtenonsainsi, outre les premières droites, les deux lignes ' pam% ria'm"^ et fqany m'a'n"), qui, comme elles, satisfont aux conditions du problème.

La construction donne des solutions toutes les t'ois que le cercle bmn coupe la droite cnm, et, par suite, quand on a

ae ^ ba, ou bien ae < b'at .

Les triangles rectangles aec cl b'aKd ont leurs hypoténuses égales; l'inégalité précédente conduit donc, pour les angles opposés aux côtés ae, et b'aï à la relation

ace < b'aat% c'est-a-dire à /5 < 900— a, d'où

11 est, en effet, facile de reconnaître que, lorsqu'une droite esl dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre, les angles aigus qu'elle fait avec les plans de projection sont complémentaires, et que, pour toute autre position, la somme de ces angles esl inférieure à 90°.

ôldb. Mener par un point [a* a") ijig.j, PL LJ')n un plan faisant avec le plan horizontal et avec le plan vertical de projection des angles donnés a et (5.

D'après la méthode indiquée à l'article 135, il faut considérer deux cônes de révolution ayant leur sommet au point va, a el coupant respectivement le plan horizontal el le plan vertical sous les angles « et S, puis leur mener un plan tangent commun.

Le plan passant par a% a et perpendiculaire à la ligne de terre contient les axes des deux cônes. Nous le rabattons sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour de sa trace I«?E. Le point xa% a se place en A; les axes sont À a et \a\. On établit sans difficulté sur ce rabattement les droites \b et Ac|t dont chacune esl la génératrice d'un cône.

PROBLÈMES. l/jl

La méthode des sphères inscrites (art. 140) donne un moyen facile de construire les plans tangents aux deux cônes.

Nous prenons un point o sur Aa, et nous déterminons sur Aa\ un point o{ tel que les droites or et o,r,, respectivement perpendiculaires àAi et a Ac„ soient égales. Les points o et o{ sont les centres de deux sphères de rayons égaux dont chacune est inscrite dans un cône. Un plan tangent aux cônes touche ces sphères, et a pour trace une droite EF, parallèle à la ligne des centres oot et passant par le sommet A. Lorsque nous relevons le plan des axes, le point F, se place en F. Les traces du plan demandé, sur les plans de projection, passent par les points E et F et sont respectivement tangentes aux traces des cônes. On trouve les deux plans (HE, HF) et (KE, KF).

En considérant la seconde nappe du cône dont Taxe est Aa\9 on voit que le centre de la sphère qui lui est inscrite aurait pu être placé en o2, à une distance de A égale àAo,.La ligne des centres eût alors été oo2. Cette construction fait trouver deux plans (PGU, PS) et (QGV, QT), qui, comme les premiers, satisfont aux conditions du problème.

On peut obtenir ces nouvelles solutions par la considération des premières sphères, en remarquant qu'elles admettent des plans tangents alternes ayant une trace commune AG qui coupe la ligne des centres en son point milieu o3. Par les mêmes motifs, la ligne EF, passe au point o*, milieu de oo2. Il résulte de là que les lignes AE et AG ont des positions symétriques par rapport à Aa, et, par suite, que les points E et G sont à des distances égales de a. On reconnaît de la même manière que la projection a' est également éloignée de F et du point où se rencontrent les traces verticales PS et QT. Ce point est déterminé sur la ligne IE par Tare de cercle décrit du point I comme centre avec IG, pour rayon. Il se trouve très rapproché du point G, et, par suite, les traces PS et PU forment un angle peu différent de 1800.

Les axes des cônes étant à angle droit, Tune de ces surfaces ne peut pas être dans l'intérieur de l'autre. Elles ont quatre plans tangents communs lorsqu'elles ne se rencontrent qu'à leur sommet (a, a'). Il faut pour cela que la somme des' angles bAa etc, Aalf formés par les génératrices avec les axes, soit inférieure à 900, et, comme ces angles sont complémentaires de a et de |3, on doit avoir

Lorsque la somme a -+- |3 atteint 900, les cônes se touchent suivant deux génératrices, et il n'y a que deux solutions distinctes; elles se réduisent à une seule quand un des angles est droit et l'autre nul.

Enfin, quand la somme a 4- ]3 est inférieure à 900, les cônes se coupent, et il est facile de reconnaître que la construction ne donne plus de solution. En effet,

l42 SUPPLÉMENT

pour que les deux premières solutions soient réelles, il faut que l'on puisse mener du point E et du point F des droites respectivement tangentes aux cercles dont les centres sont a et a'. On a donc

ah < a Ë e t a\ c, < a\ F, , ou bien

ffA/><<ïAE et c{\a\< a\ AF,; ajoutant ces deux inégalités, on trouve

(I ou

Les points E et G étant à des distances égales de a, si le premier est dans l'intérieur du cercle, le second s'y trouvera aussi, et, par suite, les deux dernières solutions disparaissent en même temps que les premières.

On doit remarquer que le plan cherché et les deux plans de projection forment un trièdre rectangle. La surface du triangle sphérique qui lui correspond est mesurée par l'excès

* (a + |3+ 90°) - 1 8o° ou a -h |9 — yo° ;

lorsque la somme a -h |3 est inférieure à 900, le triangle sphérique et le trièdre sont imaginaires.