HYPERBOLOÏDE

Définition. — Deux systèmes de génératrices rectilignes 176

Définition de l'hypcrboloïde 681

Un hyperboloïde étant donné par trois directrices rectilignes, il existe un second

hyperboloïde auquel ces droites appartiennent comme génératrices 682

Le système des deux hyperboloïdes a un centre 683

Ces surfaces ont un môme cône directeur qui est du second ordre 684-685

Elles ne forment qu'un seul hyperboloïde ayant deux systèmes de génératrices

rectilignes 686-687

Théorèmes relatifs à la double génération par des lignes droites 688-691

Cône asymptote 180

L'hyperboloïde a un cône asymptote qui est du second ordre 692

Les sections faites dans l'hyperboloïde et dans son cône asymptote par un plan

quelconque sont des coniques homothétiques et concentriques 693

Division homographique des génératrices 181

Définition et principales propriétés des divisions homographiques 694-696

Dans un hyperboloïde, les génératrices de l'un des systèmes divisent homogra-

phiquemenl les génératrices de l'autre système 697

Quand deux directrices rectilignes sont divisées homographiquement, les droites

qui passent par les points homologues forment un hyperboloïde 698

Les points d'intersection des quatre génératrices d'un système avec une génératrice quelconque de l'autre système sont dans un rapport anharmonique

constant 699

Quadrilatère formé par quatre génératrices. — Relations entre les segments interceptés par les génératrices sur les côtés de ce quadrilatère 700-701

Propositions relatives aux divisions homographiques 702-704

Plans principaux. — Axes 186

Hyperboloïde de révolution considéré comme une surface gauche ayant pour

directrices trois cercles dans de certaines positions relatives 705-706

Un hyperboloïde scalène peut être changé en un hyperboloïde de révolution par une transformation homologique. On reconnaît ainsi qu'il y a trois axes et

trois plans principaux 707-709

Sections planes 188

Détermination des branches infinies et de leurs asymptotes 710-713

Cas où la section n'est pas une hyperbole 714

Cônes et cylindres circonscrits 189

Nature et position de la courbe de contact d'un cône et d'un cylindre circonscrit

a un hyperboloïde 715-717

XV111 TABLE DES MATIÈRES

Pages. Articles.

Les sécantes qui passent par les points homologues de deux droites divisées

homographiquemont dans un plan ont pour enveloppe une conique 718

Ligne de striction 191

Construction du point central d'une génératrice 719

Symétries de la ligne de striction 720

(On présente dans une note quelques observations sur les diverses formes de cette ligne.)

Détermination de la longueur du paramètre d'une génératrice 721

La ligne de striction peut servir pour construire les axes d'un hyperboloïde

donné par trois directrices rectilignes 722

Représentation d un hyperboloïde rapporté à ses plans principaux 195 723-726

Théorèmes et exercices sur l'hyperboloïdc de révolution 198

Détermination de la longueur du paramètre des génératrices 727

Constructions pour reconnaître si un hyperboloïde donné par trois directrices

rectilignes est do révolution 728

Représentation de deux hyperboloïdes de révolution tangents le long d'une génératrice commune 729-732

Cas où les hyperboloïdes tangents se coupent suivant deux génératrices 733-735

Cas où les hyperboloïdes se raccordent suivant deux génératrices. 736-737

Observations diverses 738

Hyperboloïde employé comme surface auxiliaire 204

Quand une surface gauche est déterminée par trois directrices, on construit facilement un hyperboloïde de raccordement le long d'une génératrice. — Cas

où la surface a un sommet en un point de la génératrice considérée 739

Transformation d un hyperboloïde do raccordement 740

Si Ton coupe une surface gauche par une série de plans passant par une droite, les tangentes de toutes les sections aux points situés sur une génératrice

formeront un hyperboloïde 741

Tous les hyperboloïdes de raccordement à une surface gaucho le long d'une génératrice ont leurs centres dans un môme plan 742

Une surface gauche se raccorde avec une infinité d'hyperboloïdes de révolution le long d'une génératrice donnée. Les axes de ces hyperboloïdes sont les génératrices du second système du paraboloïde des normales 743