CHAPITRE 111. — TRANSFORMATION HOMOLOG1QUK. 3q

On peut prendre a volonté pour point homologue de Q l'un ou l'autre des deux points où ie rayon d'homologie QS coupe le cercle : nous avons choisi celui qui est indiqué par la lettre q. Toutes les relations du système sont maintenant déterminées.

413. Le point situé a l'infini sur la sécante MQ a pour homologue le point i, intersection de mq et du rayon d'homologie Si, parallèle àMQ. On détermine de la même manière le point i\ homologue du point situé à l'infini sur J\1N, et on trace la ligne de fuite ii'. Elle coupe le cercle en deux points r et /auxquels correspondent sur la section conique deux points à l'infini. Cette courbe est donc une hyperbole, ainsi que nous l'avons dit dans la note de l'article 258.

Les asymptotes étant tangentes à la courbe aux points situés à l'infini sont homologues des tangentes n* et tt' du cercle; par conséquent, en reportant sur la droite MN par des rayons d'homologie les points d et e où la sécante mn rencontre les tangentes, on obtient des points D et E qui appartiennent aux asymptotes. Ces lignes sont d'ailleurs parallèles aux rayons d'homologie Sr et Si qui passent par les points situés à l'infini; il est donc facile de les tracer et d'obtenir ensuite les axes qui sont leurs bissectrices.

414. On peut disposer la construction d'une autre manière en déterminant l'axe d'homologie.

Les couples de droites homologues déjà établies sur la figure ont leur point de concours hors du cadre, et par conséquent nous devons en tracer de nouvelles, convenablement choisies. Prenons sur la ligne ii' un point/?, et joignons-le à S et à q : le point homologue de/> est à l'infini sur S/?, et la ligne homologue de qp est la droite Q/3, parallèle à S/?. Le point de rencontre /3 de -deux droites homologues appartient à l'axe d'homologie que nous savons être parallèle a la ligne de fuite ii'.

Les tangentes r'ret t't rencontrent l'axe d'homologie en r, et en /,; les asymptotes passent donc respectivement par ces points.

415. Si l'on veut avoir la position exacte du sommet A sur l'axe transverse BB', on déterminera la droite ha, homologue de cet axe, et l'on ramènera sur BB', par un rayon d'homologie, le point a où elle rencontre le cercle. La droite ha passe par le point a de l'axe d'homologie, et par le point h, homologue du point H où BB' coupe MN. Nous n'avons pas laissé subsister le rayon d'homologie HA, pour ne pas augmenter le nombre des droites qui se. croisent au point S.

416. Nous avons résolu le problème pour le cas où la conique a des asymptotes; il nous reste à établir des relations générales qui permettent d'opérer lorsque la ligne de fuite ne rencontre pas le cercle auxiliaire.

Soit A {fig. a^3 ou aa4 ) une conique qui doit éprouver la transformation homologique, et ii' la droite dont les points s'éloigneront a l'infini. Deux tangentes Im ci In issues d'un point /de cette ligne auront pour homologues deux droites parai-

if '

nu

4o LIVRE V, — OMBRES LINÉAIRES.

lèles; la sécante mn deviendra donc un diamètre. Le point homologue du ce de la transformée est l'intersection de cette ligne, et d'une autre sécante i déterminée de la même manière.

Une droite mn qui passe par les points de contact de deux tangentes ï® d'un point / est dite h polaire de ce point, et celui-ci est \epôle de la droite.

Nous voyons donc que les polaires des différents points de la ligne de I passent toutes par un même point qui est homologue du centre de la transforr

D'après une propriété connue des courbes du second ordre, le point c est le diamètre conjugué de iï', et sa distance au centre 0 est donnée par la rela

Ocx Ob = Qel Quelles que soient la nature de la conique considérée et la position de la lign

dans son plan, la quantité Oe sera réelle, et l'équation fera connaître une gi deur également réelle pour le segment Oc.

Le point c est le pôle de la droite iï(fig. 223), car si l'on suppose qu sécante mn tourne autour du point c jusqu'à devenir tangente, les points m situés de part et d'autre de iï se réuniront sur celte ligne, avec le point /, < ou en k' . Sur \%fig. 224 les tangentes issues du point esont imaginaires, mai point jouit, par rapport au système de la section conique À et de la droite iï toutes les propriétés dans lesquelles ces tangentes ne figurent pas : on dit en< que c'est le pôle de la ligne iï, et que cette droite est sa polaire. On peut d énoncer la proposition que nous avons établie plus haut, en disant que, lorsqvï section conique éprouve la transformation /tomologique, le pôle de la ligne dej est homologue du centre de la transformée.

D'après cela, le point de concours des tangentes tt' et rS, pôle de la ligne fuite iï (fîg. 222), est homologue du centre C de l'hyperbole, et doit se troi sur la droite CS.

417. La droite cl et les tangentes ml et nl[fig. 223 ou 224) deviennent pa lèles dans la transformation; les lignes cl et mn sont donc homologues de d diamètres conjugués. Par conséquent, si l'on a un cercle homologique d' conique déterminée par certaines conditions, on pourra obtenir des diamè conjugués de cette courbe, et les points où ils la rencontrent; ce qui permette déterminer les axes, dans le cas où elle serait une ellipse, qui est celui que n avions encore à résoudre.

418. Les propriétés des sections coniques permettent de ramener dans 1 des cas la recherche du centre, des axes, des asymptotes,... d'une de ces courl au problème que nous nous sommes proposé à l'article 412 ( • ). Nous rappeller

(') On peut consulter M. Brianchon [Correspondance sur ï École Polytechnique, IIIe vol., p. M. Poncelet (Propriétés pmjcctivcs, art. 338 et 339).

CHAPITRÉ JII. .— ' TRANSFORMATION HOMOLOGIQUE. [\ I

d'ailleurs .que, pour tracer un cercle homologique d'une section conique, il suffit, de connaître sa tangente en un point (art. 411).

• 419. Toute droite tracée sur le plan d'une conique pouvant* être prise pour ligne dé fuite dans une certaine transformation homologique, les raisonnements que nous venons de faire établissent deux théorèmes fort importants :

i? Les polaires des différents points d'une droite passent par le pôle de cette droite;

2° Les pôles des diverses droites, qui passent par un point sont sur la polaire de ce point. . '

Le pôle / d'une sécante mn (Jig. 223) étant le point de concours des tangentes aux points m et n, la même relation subsistera après la transformation homologique. Ainsi quelque part que l'on place l'axe et le centre d'homologie, le point homologue de /sera le pôle de la droite homologue de mn. H en serait de même si la figure était transformée par une projection cylindrique, ou par une projection conique.

Si le point c était le centre de la courbe (Jig. 224), les points /et /', et par suite la droite ii\ s'éloigneraient h l'infini. La polaire du centre est donc la droite sur laquelle on peut concevoir tous les points du plan situés a l'infini (ait. 408).

Emploi de la transformation homologique comme méthode de recherche.

420. La transformation homologique est souvent employée comme méthode de recherche et de démonstration. Nous allons établir de cette manière un théorème qui est quelquefois uttle dans les constructions.

Si trois droites AD, BE, CF [Jig. 226) divergeant d'un même point P sont coupées par deux sécantes DF et AC, les points de rencontre M et N des diagonales des quadrilatères ABED et BCFE, et le point de concours Q des sécantes sont en ligne droite.

Nous construisons une figure adfc homologique de la proposée, et de manière que la droite homologue de PQ soit à l'infini : la position du centre d'homologie S, et la grandeur Sa du rayon d'homologie de l'un des points sont d'ailleurs choisies arbitrairement. Les droites qui convergent vers les points P et Q ont pour homologues des droites respectivement parallèles a SP et à SQ. Les quadrilatères sont ainsi changés en parallélogrammes, et les points m et n où se coupent les diagonales, se trouvant au milieu de ces lignes, sont sur une droite parallèle à ac et à df. La droite homologue MN passe nécessairement par le point Q qui représente le point ou se rejoignent à l'infini les droites de la figure transformée qui sont parallèles à SQ.

Les diagonales du quadrilatère DACF n'ont pas été tracées; elles se croisent évidemment sur la droite MNQ.

Nous avons construit la figure homologique ajy bien que cela ne fût pas néces- 11. 6

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saire pour le raisonnement, mais afin de donner un nouvel exemple graphique de ce genre de transformation.

421* Le. théorème que nous venons de démontrer donne un procédé pourtAcer une droite qui passe par un point M, et par le point éloigné où deux droites DF et AC se rencontrent. On trace une droite quelconque AD, les deux transversales DE et AE, la droite BE qui coupe AD au point P, une droite PF, enfin les transversales EG et BF qui se rencontrent en N : la droite MN passe par le point éloigné Q. Cette construction est assez commode, quand le point M est notablement plus rapproché de Tune des deux lignes que de l'autre» parce qu'alors le point P se trouve généralement à une petite distance. Si au contraire le point M était voisin de la bissectrice de l'angle DQA, quelque direction que Ton donnât aux transversales DB elEA, le point P lui-même serait éloigné, comme nous le montrerons plus loin (art. 602).