CHAPITRE III. — TRANSFORMATION HOMOLOGIQUE

2° Les points qui sont en ligne droite sur l'une des figures ont pour homologues des points de l'autre figure également en ligne droite.

3° Les points de l'une des figures qui sont sur une certaine droite xy sont leurs homologues dans l'autre figure.

M. Ponceleta appelé homologiques les figures tracées sur un plan et qui ontentre elles les relations que nous venons d'exposer. La droite xy et le point s sont Vaxe et le centre d'homologie; les droites qui divergent du point s sont les rayons d'homologie; enfin l'une quelconque des figures est la transformée de l'autre par homologie(').

402. La transformée homologique m' d'une figure donnée m est déterminée quand on connaît le centre et l'axe d'homologie, et le pointa' homologue d'un point quelconque a de la figure m. On peut en effet obtenir le point V homologue d'un point b choisi arbitrairement, parla rencontre du rayon d'homologie $6, et de la droite a'd homologue de abd.

403. Quand les côtés de deux triangles ABC, A'B'C, situés dans des plans différents, se rencontrent deux à deux en des points D, E, F nécessairement en ligne droite, ils déterminent trois plans qui se coupent deux a deux suivant les droites AA', BB' etCC; ces lignes convergent par conséquent vers un points.

On peut étendre cette proposition à deux triangles abc, a'b'c' situés sur un plan : s'ils ont un axe d'homologie, c'est-à-dire si leurs côtés se rencontrent deux à deux sur une droite xy, ils ont un centre d'homologie vers lequel convergent les droites qui passent par les sommets homologues. Car si nous relevons les triangles sur deux plans P et P' dont l'intersection XY se projette sur ay, d'après ce que nous venons de voir, les droites qui passeront par les sommets homologues se rencontreront en un point S; les projections de ces lignes sur le plan des triangles abc et db'c' passent donc par la projection s de S.

Réciproquement, deux triangles qui ont un centre d'homologie ont aussi un axe d'homologie, car on voit facilement qu'ils peuvent être considérés comme les projections de deux triangles dont l'un serait l'ombre de l'autre (2).

( ' ) Les figures homologiques sont très-souvent considérées en dehors des questions d'ombre auxquelles nous les rattachons ici. M. Poncelet les a présentées comme résultant de la projection conique (ou perspective) de deux figures homolhétiques situées sur un môme plan [Propriétés projectiles, art. 297 et suivants).

(') Nous donnerons ici l'énoncé d'un double théorème qui peut être utilisé en perspective : Quand deux figures A et A' sont homologiques d'une troisième B, elles sont homologiques entre elles, pourvu toutefois que les deux premières homologics aient pour axe la même droite, ou pour centre le même point. Dans le premier cas, les centres d'homologie des figures prises deux à deux sont en ligne droite; dans le second, les trois axes d9homologie passent par un même jwint.

Pour la démonstration, il faut regarder les figures B, A et A', dans le premier cas, comme les projections d'une figure plane éclairée par deux points lumineux et de ses ombres sur un plan ; dans le second, comme les projections d'une figure plane éclairée par un point lumineux et de ses ombres sur deux plans.

404. On peut justifier par ce théorème une construction que nous avons établie à l'article 226 par d'autres raisonnements. Il s'agit d'avoir la tangente de h courbe QQ, au point C (fig. 124), et pour cela de faire passer une droite p*r le point C et par le point éloigné où les deux droites cG et mE se rencontrent. Nous coupons ces lignes par deux droites cmK et GFK; nous traçons ensuite mCet cCS, puis par les points K et F deux lignes KS et FI parallèles à mC, enfin la droite GS. Nous avons ainsi deux triangles mcC et FGI dont les côtés se rencontrent deux à deux au point K, au point S, et au point de KS situé à l'infini; cette droite est ainsi un axe d'homologie, et les droites m¥f cG et CI, rayons d'homologie, doivent se rencontrer en un même point.

405. On voit que la construction donnée à l'article 68 peut être généralisée, et qu'il n'est pas nécessaire que les triangles ABC et abc (fig. 53) soient semblables» mais seulement que les points de concours de leurs côlés homologues soient en ligne droite. On peut ainsi simplifier quelquefois les tracés, en utilisant des lignes déjà établies.

406. Deux figures homologiques m et m' {fig. 221 ) peuvent toujours être considérées comme les projections sur un plan Q de deux figures planes dont l'une serait l'ombre de l'autre.

Supposons en eiïet qu'on relève la figure m et l'axe xy sur un plan' quelconque P, le centre s en un point S hors de ce plan et un point a! de m' en A' sur le rayon SA : si l'on fait passer un plan P' par la droite XY et par le point A', qu'on reçoive sur lui l'ombre M' de M et qu'on la projette sur le plan Q, on aura une figure homologiquc de m, dont le point S et la droite xy seront le centre et l'axe d'homologie, et dont le point homologue de a sera a'; elle se confondra nécessairement avec m! (art. 402).

Il résulte de là que dans les figures homologiques la courbe homologue d'une section conique est une section conique, et que, quand deux courbes sont tangentes l'une à l'autre, leurs homologues sont également tangentes.

407. Un plan RII'K ou P', mené par le point S parallèlement à P' coupe le plan P suivant une droite II' dont tout point a pour homologue sur P' un point à l'infini. La projection iï de cette ligne, qui est évidemment parallèle à xy, représente sur la figure m tous les points de la figure m! qui sont à l'infini : c'est la ligne de fuite de la figure m relativement à la figure ni. Pour en déterminer graphiquement un point w, on mène par le centre s un rayon d'homologie parallèle à une droite quelconque ea de la figure m', jusqu'à la rencontre de son homologue ea.

Si la courbe m avait rencontré la droite iï\ son homologue m' aurait eu des branches infinies.

Il y a entre les deux figures un parallélisme complet de propriétés et de relations; par conséquent la figure m a relativement à la figure m une ligne de fuite

en s, et M' comme la trace d'un cylindre perpendiculaire au plan de la figure que nous supposons horizontal. Chacune de ces surfaces est tangente le long d'une droite aux plans verticaux dont les traces sont ^E et sG; elles se touchent donc en deux points ; et, comme elles sont du second ordre, leur intersection est composée de deux courbes planes (art. 252, 20) que nous appellerons N etN' (').

La courbe M peut être considérée comme l'ombre de la conique N éclairée par un point lumineux placé en S. La ligne M', projection de N sur le plan de M, est donc homologique avec celte courbe par rapport au point s. On trouve une seconde homologie en regardant les coniques M et M' comme l'ombre et la projection de la ligne N' pour des rayons divergents du point S. Les axes d'homologie sont les traces des plans des courbes N et N'.

Nous voyons donc que deux sections coniques tracées sur un plan sont homologique s de deux manières différentes, par rapport au point de concours de deux quelconques de leurs tangentes communes, considéré comme centre d'homologie.

Les points A et a situés sur une droite divergeant du point s sont respectivement homologues de A' et de a' dans un des modes, de a' et de A' dans l'autre. Les points de contact E et G sont toujours homologues de E' et de G'. D'après cela, et en opérant comme il a été dit plus haut, on trouve facilement les axes d'homologie XY, X! Y, et les lignes de fuite qui leur correspondent (art. 407). L'une des deux lignes de fuite parallèles à X, Y, n'a pas pu être placée sur la figure.

411. Le point de contact de deux sections coniques tangentes peut être considéré comme le point de concours de deux tangentes communes qui se sont confondues en une seule : c'est donc un centre d'homologie des sections coniques.

On peutdémontrer directement cette proposition, en s'appuyantsur le quatrième théorème de l'article 252, et raisonnant d'ailleurs comme nous l'avons fait à l'article précédent.

412. Comme application de ces théories, nous allons nous proposer de déterminer le centre et les axes d'une section conique dont nous connaissons trois points N, M, Q(Jig. 222), et les tangentes NS et MS. Cette question s'est présentée à l'article 258 pour la projection verticale de l'intersection de deux ellipsoïdes de révolution dont les axes se rencontrent, mais nous ne pouvions pas alors développer la solution. Les données de la fig. 222 sont relevées sur \*fig* 13-;, de sorte que la première doit.êlre considérée comme un complément de celle-ci.

Tout cercle qui touche les deux tangentes MS et NS est homologique de la courbe, par rapport au point S, centre d'homologie. On prend les points de contact m ein homologues de M et de N, à une même distance de S; on détermine ensuite le centre 0, et on trace la circonférence.

(' ) En se donnant la hauteur du sommet du cône au-dessus du plan de la courbe M, on peut se proposer, comme exercice graphique, de déterminer les vraies grandeurs des deux courbes Net N'.