CHAP1TLIE I. — THÉORIE GÉNÉRALE

t À chaque point d'inflexion bi d'une courbe ^ {fig- 23a) correspond un rebroussement de seconde espèce a\ sur chaque développante w (art. 219). On voit qu'en général le rayon de courbure n'est pas nul en ces points, comme aux rehaussements de première espèce.

• L'une des développantes de la courbe £ passe par le point d'inflexion b{ ; elle y a une inflexion d'une nature particulière : les rayons de courbure des points voisins sont très-petits, et leur longueur varie très-rapidement ; la continuité s'établit entre eux par un rayon nul qui correspond au point 6, considéré isolément. . Quand une courbe a une branche infinie dont les bras sont d'un même côté de l'asymptote (art. 182), ses développantes ont un rebroussement de première espèce où le rayon de courbure est infini, et qui, par conséquent, diffère beaucoup des rebroussements où le rayon de courbure est nul. : ,438» La question des rebroussements ayant une grande importance, nous nous y arrêterons quelques instants.

. Une courbe plane qui a un rebroussement peut être considérée comme la projection d'une courbe gauche sur un plan perpendiculaire à l'une de ses tangentes (art, 217). La trace du plan osculateur est la tangente au rebroussement.

Si le plan osculateur a simplement un contact du second ordre avec la courbe, c'est-à-dire s'il n'a en commun avec elle que trois points réunis en un seul, il la traverse (art. 214), et les deux bras du rebroussement, qui est alors du premier ordre, se trouvent de part et d'autre de la tangente.

. t Quand le plan osculateur a un contact du troisième ordre avec la courbe, il ne la traverse pas; le rebroussement devient de second ordre, et ses doux bras sont d'un même côté de la tangente.

L'ordre du rebroussement s'élève ainsi en même temps que celui du contact de la courbe gauche avec son plan osculateur. Suivant qu'il est impair ou pair, la tangente laisse les deux bras du rebroussement de côtés différents ou d'un même côté.

Les rebroussements de premier et de second ordre sont les rebroussements ordinaires de première espèce et de seconde espèce. Le rayon de courbure des uns est nul; celui des autres a, en général, une grandeur finie. . Quand le contact de la courbe gauche avec son plan osculateur augmente d'une unité, celui de sa projection avec la trace du plan osculateur augmente aussi d'une unité. À un rebroussement du troisième ordre, la courbe a donc avec sa tangente un contact d'un degré plus élevé d'une unité qu'à un rebroussement de second ordre : le rayon de courbure y est donc infini. Il l'est de même aux rebroussements d'ordre plus élevé (').

(■) Dans une étude complète, il serait nécessaire d'avoir égard à Tordre de multiplicité du sommet, et si le rebroussement est de seconde espèce à Tordre de contact des deux bras. Quand une courbe gauche a un contact du troisième ordre avec Tune de ses tangentes, sa pro- H. 7

5o LIVBE VI. — SURFACES DÉVELOPPA BLES.

439. Lorsqu'une courbe ABC {Jig. zS*]) a un rebroussement de premier ordre, le rayon de courbure au point correspondant de ses développantes est, en grandeur absolue, un maximum pour celles qui sont du côté de la convexité, telles que rstu9 et un minimum pour les autres, telles que mn. On peut, en ayant égard au signe des rayons, les considérer tous comme à leur maximum ou tous comme à leur minimum. La développante qui passe au point de rebroussement y a un rayon de courbure nul, mais sans changement de signe, et par suite il n'y a pas de rebroussement,

Lorsque les deux bras de la ligne ABC sont resserrés sur la tangente att rebroussement, le rayon de courbure de la développante qui passe au sommet varie aveo une extrême rapidité, et cette courbe, même construite avec un grand soin, ne présente aucune singularité apparente.

Quand une courbe a un rebroussement de second ordre, ses développantes en ont un du même ordre au point correspondant; en considérant celle qui passe an point de rebroussement, on reconnaît qu'à un rebroussement de second ordre le rayon de courbure peut être accidentellement nul.

En général, une développée a un rebroussement quand la courbe primitive a un sommet, c'est-à-dire un point où le rayon de courbure atteint une valeur maximum ou minimum. Une courbe peut avoir un sommet à un point de rebroussement de second ordre, puisque le rayon de courbure n'y change pas de signe, et alors sa développée a un rebroussement qui est nécessairement du même ordre. Dans le cas ordinaire, à un rebroussement de second ordre sur la courbe primitive, correspond une inflexion sur la développée (art. 437).

440. La différence de deux rayons CN et FQ {Jig. a3i) est égale à la somme des côtés du polygone compris entre les points C et F; la longueur de l'arc ab d'une développée {Jig. a3o) est donc la différence des rayons de courbure qui le touchent à ses extrémités.

Si ces points étaient, tels que b et c, de côtés différents du rebroussement, la longueur de Tare serait la somme des longueurs absolues des rayons.

441 . Développantes d'une courbe gauche. Surface des développantes. Une courbe gauche a, comme celles qui sont planes, une infinité de développantes, trajec* toires des divers points d'une tangente qui roule sur elle sans glisser. Chaque développante rencontre en général la courbe et a un rebroussement au point commun.

Les développantes peuvent être considérées comme des génératrices curvilignes de la surface décrite par la tangente mobile. La courbe gauche, lieu des

jection sur un plan perpendiculaire possède un rebroussement dont le sommet est un point quadruple. On peut consulter sur ces questions notre Note sur les singularités élevées des courbes planes (Journal de Mathématiques, 1869).