CHAPITRE I. — THÉORIE GÉNÉRALE

un intervalle de temps t. Si tout ie système de ces droites est entraîné dans un mouvement commun de révolution autour d'un axe As situé dans le plan de la courbe /, les droites engendreront des cônes, et les intersections successives de ces surfaces seront les cercles décrits par les points i9j, k, ..., lesquels appartiendront à une surface de révolution qui sera d'autant plus rapprochée de celle dont la méridienne est /, quo l'intervalle t sera plus petit. À la limite les cercles deviendront les parallèles de cette surface, qui sera ainsi l'enveloppe des cônes. Elle touche chacun d'eux le long d'une caractéristique, c'est-à-dire d'un parallèle. Les cônes que nous venons de considérer sont ceux qui nous ont servi pour les constructions des articles 545 et 556. On peut encore regarder une surlace de révolution comme enveloppe de cylindres circonscrits le long des méridiens, et perpendiculaire à leurs plans (art. 546 et 560), ou de sphères inscrites le long des divers parallèles (art. 562). Les raisonnements de l'article 568 montrent que le tore elliptique de la PL XIV est l'enveloppe des positions d'un ellipsoïde de forme invariable; les caractéristiques sont les méridiens.

454. Si une sphère de rayon constant se meut suivant une loi quelconque, ses intersections consécutives seront de grands cercles, et l'on déterminera facilement l'enveloppe; mais si le centre de la surface est fixe et son rayon variable, deux sphères consécutives ne se couperont pas, et les caractéristiques seront imaginaires (*). On voit donc que des surfaces peuvent ne pas avoir d'enveloppe réelle, bien qu'elles forment une série continue.

455. Quand une ligne se meut en conservant sa forme ou en se modifiant d'une manière continue, si elle est toujours tangente à une courbe fixe, cette courbe est dite son enveloppe, et la ligne mobile considérée dans ses différentes positions prend par rapport à elle le nom A* enveloppée.

On reconnaît, par des considérations analogues à celles de l'article 452, que, quand une courbe plane se meut dans son plan, elle a une enveloppe lieu de ses intersections consécutives. Cette enveloppe peut d'ailleurs être imaginaire, ainsi qu'il arriverait si les enveloppées étaient des cercles concentriques.

(') Si le rayon de la sphère a un maximum ou un minimum, lorsqu'il sera parvenu à cette grandeur, deux sphères consécutives se confondront, et la caractéristique jusque-là imaginaire deviendra une surface qui devra être considérée comme l'enveloppe.

Des suWaces n'ont pas d'enveloppe lorsqu'il en passe un même nombre (non infini) par tous les points de l'espace. Quand, sous le rapport du nombre de surfaces qui passent par un point, l'espace est divisé en régions, la surface qui limite les différentes régions forme l'enveloppe; c'est, en général, une surface nouvelle, mais quelquefois elle se compose de surfaces distinctes appartenant à la série que l'on considère.

Des considérations analogues peuvent être présentées sur les lignes enveloppes; elles montrent que les théorèmes de l'article 435 sont généraux, et que le cercle FEH {Jig. ai 5), qui serait l'ombre sur le plan horizontal de l'ellipsoïde 0IVOr si on l'écla irait par des rayons verticaux, est bien l'enveloppe des projections horizontales des parallèles.

La courbe yïet celle qui lui est symétrique, par rapport a ta droite 0,0^ (fig. ai 8), forment l'enveloppe des cercles qui sont les omjbres des parallèles de la àurface de révolution. Les considérations qui ont été présentées à l'article 371 montrent que l' ombre portée par une surface est V enveloppe des ombres portées par ses génératrices, et que le cylindre [ou le cône) d'ombre d'une surface est V enveloppe des cylindres (ou des cônes) d'ombre de ses. génératrices. •

- On peut ajouter que le cône d'ombre d'une surface enveloppe est l'enveloppe des cônes d'ombre dé ses enveloppées, car l'intersection des lignes d'ombre de l'enveloppe et d'une enveloppée particulière est un des points de contact de ces surfaces* et leurs cônes d'oinbre se louchent le long de la génératrice qui passé en ce point. Le cône d'ombre de l'enveloppe est ainsi touché par celui d'une de ses enveloppées, le long de chacune de ses génératrices.

Notions sur les développantes.

436. Développantes d'une courbe plane. Considérons un polygone A,B, C, .... H, I, inscrit dans une courbe plane {fig. ?3i), et prolongeons-en les côtés. Si par des rotations autour des sommets B, C, D, ... nous amenons la droite indéfinie AB à coïncider successivement avec les autres droites, l'un quelconque M de ses points décrira une série d'arcs de cercle MN,NO, ..., Qx, puis le centre du mouvement passant de F en G, le point s'éloignera par un arc a?R.

Eu égard à la grandeur relative des rayons, si l'on prolonge un arc ON, il laissera les arcs contigus NM et OP de côtés différents.

En passant à la limite, on voit que si une droite am roule sur une courbe / {fig. a3o), c'est-à-dire si elle se meut en restant toujours tangente à celte courbe el sans glisser sur elle, un quelconque m de ses points décrira une ligne &>, composée d'une infinité d'arcs de cercle infiniment petits, qui, s'ils étaient prolongés, la traverseraient tangenliellement et dont les centres sont sur la courbe £. Les rayons de courbure de la ligne o> sont donc les segments ma, nb% ... de la droite mobile, mesurés jusqu'au point de contact. Cette ligne est une développante de la première, et celle-ci prend par rapport à elle le nom de développée. La développée d'une courbe plane est à la fois le lieu de ses centres de courbure et l'enveloppe de ses normales.

Les développantes décrites par les différents points de la droite am (fig. a3o) ont évidemment les mêmes normales, et sont a la même distance les unes des autres dans la direction de ces droites. Chacune d'elles rencontre, en général, la développée £, et a un rebroussement au point commun x\ le rayon de courbure de la développante est alors nul, ainsi que cela doit être (art. 94).

437. La considération des développantes jette du jour sur la question des rayons de courbure des lignes planes en leurs points singuliers.