CHAPITRE Iï. — THÉORIE GÉNÉRALE

Réciproquement, toute surface réglée qui jouit de cette propriété est l'enveloppe d'un plan mobile* et peut être développée.

446. Chaque face B d'un polyèdre développable contient deux arêtes N et 0 {fig. 234); toutes ces droites se coupent donc deux à deux, et dans le cas général leurs intersections successives forment les sommets d'un polygone abcd...9 qui, à la limite, devient une courbe enveloppe des génératrices. Nous voyons donc que les surfaces développables sont précisément celles dont nous nous sommes occupés aux articles 441, 442 et 443, et qui sont engendrées par une droite toujours tangente à une courbe gauche. Il faut y joindre le cône et le cylindre qui, comme nous l'avons reconnu, sont les limites des polyèdres développables, dont les arêtes sont convergentes vers un même point ou parallèles : ces surfaces n'ont pas d'arête de rebroussement, et l'enveloppe des génératrices se réduit à un point situé à une distance finie ou à l'infini.

447. Une face B du polyèdre développable que nous considérons contient trois sommets a, b et c du polygone formé par les arêtes. On voit, en passant à la limite, que les plans tangents d'une développable sont oscillateurs de son arête.

Le contour apparent d'une surface développable est formé par les génératrices le long desquelles le plan tangent est perpendiculaire au plan de projection. L'arête de rebroussement étant osculatrice de tous les plans tangents, sa projection a une inflexion au point ou elle rencontre la projection de chacune des génératrices du contour apparent (art. 217) (' ).

. 448. La propriété que les plans tangents aux surfaces développables ont d'être osculateurs de l'arête de rebroussement donne un moyen de construire le plan osculaleur d'une courbe (w, w'), en un point donné (M, M') [fig. a35).

Nous cherchons les traces horizontales d'un certain nombre de tangentes de la courbe, et nous déterminons ainsi la trace ydde la développable dont cette ligne serait l'arête de rebroussement. Le plan osculateur en (M, M') est tangent à la surface tout le long de la génératrice (M/x, M'jx'); sa trace est donc la droite P tangente en jx à la courbe yS.

Si Ton a des moyens géométriques d'obtenir les tangentes des courbes w et &>', la seule incertitude du tracé consistera dans la construction de la tangente P. On pourra employer une courbe d'erreur (art. 100), en ayant soin, au préalable, de déterminer quelques points de la trace yc? suffisamment éloignés de (i, et ensuite de vérifier le tracé par la construction directe de la trace verticale P'.

Pour faire commodément les opérations, il faut que la partie considérée yd* de la trace n'ait pas de rebroussement, et par conséquent que la ligne de terre ne rencontre pas la courbe co' entre les points extrêmes C et D'. On la déplacerait (art. 49) s'il en était autrement.

(*) Ainsi la droite//, a un contact du second ordre avec la courbe A'A', (3e Partie, art. 948 ,./?£. 393).

Noiis verrons dans la troisième Partie que Ton peut quelquefois déterminer d'une manière plus précise la position du plan osculateur d'une courbe donnée par ses projections (art. 859-862).

449. Si Ton coupe un polyèdre développable par un plan contenant une arête 0 {fi g. 234), 1 intersection se composera de cette droite indéfinie, et d'un polygone dont les sommets seront les traces sur le plan sécant des différentes arêtes M, N, P, Q, . ... Les points b et c où les droites N et P rencontrent l'arête 0 seront deux de ces sommets. De là, et en passant à la limite, on voit que l'intersection d'une développable, avec un plan qui contient une génératrice rectiligne, se composé de celte droite, et d'une courbe qui lui est tangente» au point où elle touche l'arête de rebroussement.

Une courbe peut donc passer sans rebroussement d'une nappe à Vautre en touchant l'arête (•). Nous serions parvenu à la même conséquence, en étudiant le chemin décrit par un point qui se meut sur la génératrice rectiligne, pendant que celle-ci roule sur son enveloppe.

450. Si la développable est algébrique et de l'ordre n, un plan contenant une génératrice la coupera, en général, suivant une courbe de l'ordre n — i, qui descendra à l'ordre n — a quand le plan sera tangent, car alors il contiendra deux fois la génératrice de contact. Il suit de là qu'une développable algébrique à arête de rebroussement est au moins du quatrième ordre, car si une telle surface pouvait n'être que du troisième ordre, sa section par un plan langent serait une droite tangente à la génératrice de contact, c'est-à-dire cette génératrice elle-même. Chaque génératrice rencontrerait donc toutes les autres, et, comme un même plan est tangent tout le long d'une quelconque de ces lignes, la surface serait un plan.

La développable du quatrième ordre est coupée par un plan tangent quelconque suivant une conique (a).

451. Supposons que Ton coupe une développable par deux plans parallèles P et Q [fi g. 2i 4), et soient A et B les courbes de section. Le cône qui a pour directrices les cercles osculateurs de ces lignes en deux points m et n appartenant à une génératrice G traverse tangentiellement la surface le long de celte droite (*). Toute section faite par un plan dans le cône et la surface développable donnera donc deux courbes osculatrices au point où la génératrice G sera coupée.

Plus le plan sécant que nous pouvons supposer parallèle à P et à Q sera rap-

( ' ) Cette proposition, presque évidente, s'étend à toutes les surfaces qui ont une arête de rebroussement. Nous en avons vu un exemple à l'article 217.

(') Pour établir l'existence de la développable du quatrième ordre, il suffit d'en donner un exemple. On trouve par un calcul facile que la surface lieu des tangentes à la courbe gauche représentée par les équations z5-+- ax = o, zy -f- b7=o, a une équation du quatrième degré.

(*) Il est facile de démontrer que deux cercles situés dans des plans parallèles déterminent un cône dont le sommet est sur la ligne des centres.