CHAPITRE I. — THÉORIE GÉNÉRALE

proche du sommet du cône, plus le rayon de courbure de la section faite dans la surface sera petit; il sera nul quand le plan passera par le sommet, et par suite ce point est sur l'arête de rebroussement. Comme d'ailleurs la direction des plans P et Q est tout à fait arbitraire, nous pouvons conclure (\W une surface développable est osculatrice, le long de chacune de ses génératrices, d'une infinité de cônes du second ordre qui ont tous leur sommet au point où cette droite touche rareté de rebroussement, et que les sections faites dans une surface développable par des plans parallèles ont, aux points situés sur une même génératrice, des rayons de courbure proportionnels aux longueurs de cette droite mesurées à partir de l'arête de rebroussement. Si deux sections rencontraient la génératrice considérée de côtés différents du point où elle touche l'arête, la concavité des courbes serait tournée en sens contraire.

Principales manières de déterminer les développables et les surfaces réglées en général. Cône directeur*

482. Trois directrices A, B et C déterminent une surface réglée, car on obtient sans incertitude les génératrices qui passent par un point m d'une directrice A {fi g. 2 36), en prenant l'intersection des deux cônes qui ont leur sommet en ce point et respectivement pour directrices les courbes B etC. On dit que la surface est circonscrite aux lignes A, B et C.

Les directrices n'ayant entre elles aucune relation nécessaire, il arrivera, en général, que leurs tangentes aux points m, n etp ne seront pas dans un même plan, et par suite que la surface ne sera pas développable (art. 445). Les surfaces développables forment donc une classe spéciale de surfaces réglées.

Les surfaces réglées qui ne peuvent pas être développées sur un plan sont dites gauches. Nous les étudierons plus loin.

455. Une surface est déterminée quand elle doit être développable, et que la gêné* ratrice rectUigne est assujettie à rencontrer deux directrices données A et B, car le plan mobile dont la surface est l'enveloppe touche toujours les deux courbes; il roule donc sur elles, et cette condition suffit pour fixer ses positions successives.

Si un plan passant par une tangente wT de la directrice A (fig. 2^7) tourne autour de celte droite, il arrivera, en général, que dans un certain nombre de ses positions il touchera la directrice B. Les droites qui vont du point m à chacun des points de contact n et n{ sont des génératrices de la développable circonscrite aux deux courbes.

454. Le cône qui aurait son sommet en m et la ligne B pour directrice serait tangent à la développable le long des génératrices G et G,. Cette surface est donc l'enveloppe d'un cône qui a l'une des courbes données pour directrice, et dont le sommet parcourt l'autre courbe.

56 LIVRE VI. — SURFACES DKVKLOPPABLfcS.

. Chacun de ces cônes est une développable dont toutes les génératrices' rencontrent les deux lignes A et B, et si nos raisonnements ne nous ont fait trouver que leur enveloppe, c'est que nous avons supposé que le plan tangent de la surface le long d'une génératrice contenait les tangentes des deux directrices aux points où elle les rencontre, ce qui n'a pas lieu dans le cas d'un cône. s

C'est en faisant abstraction des cônes que nous avons dit qu'une développable était déterminée par deux directrices.

Dans les opérations graphiques, on obtient les génératrices G et G,, en menant par la droite ml des plans tangents au cône qui a son sommet en m et B pour directrice.

455*. Si les directrices A et B sont planes {fig. 242)1 on leur mènera des tangentes d'un point T pris arbitrairement sur l'intersection XY de leurs plans, puis, joignant les points de contact deux à deux, on obtiendra des génératrices de la surface circonscrite, car deux tangentes TM et TN peuvent être considérées comme les traces d'un plan langent à A et à B.

Quand les directrices sont des coniques, à chaque point T correspondent deux tangentes de chaque courbe et quatre génératrices de la surface. Les points M, M, , N elN, sont des points doubles (art. 89), et les courbes A et B des lignes doubles de la développable. Si de chaque point de XY on pouvait mener à Tune des directrices trois, quatre, ... tangentes, l'autre directrice serait sur la développable une ligne triple, quadruple,..., intersection de trois, quatre,... parties de cette surface.

456. Quand la directrice A est tangente à l'intersection XY {fig. 243), le point de contact M varie seul avec la position deT, l'autre point M, est fixe, et les génératrices qui en divergent sont toutes dans le plan Q de la directrice B. Par conséquent, si l'on suppose que la directrice A (fig. 242) se meuve dans son plan, au moment où elle sera tangente à XY, la développable circonscrite se décomposera en une autre développable, et un plan, celui de la courbe B, qui pourra d'ailleurs avoir des parties parasites, c'est-à-dire n'être pas entièrement couvert par les droites allant du point M, aux différents points de B.

Si la directrice B est du second ordre, lorsque le point T parcourra la droite XY {fig. 243), chacun des rayons vecteurs M|N« et M,N décrira le plan Q, et la développable complète contiendra deux fois ce plan.

La forme de la directrice A est sans influence sur ces résultats; elle peut être plane ou gauche; il suffit qu'elle soit tangente au plan Q.

457. Supposons maintenant que la directrice A coupe l'intersection XY en un point E {fig. 244) •' lorsque le point T mobile sur XY sera en E, la tangente TN et la génératrice MN seront confondues sur une droite El. Réciproquement, la génératrice MN ne peut se placer dans le plan Q que si le point M est en E, et alors elle se confond avec la tangente TN : par conséquent, la directrice plane d'une