CHAPITRE 11. — SURFACES D OMBRE ET DE PÉNOMBRE

sur les quatre directrices. Deux génératrices ne se rencontrent jamais, lorsqu'elles dépendent de groupes différents ou d'un même système dans un groupe.

Les huit génératrices d'un groupe appartiennent évidemment à un hyperboloïde.

519. Dans un exercice graphique, on ne peut obtenir des points des directrices inconnues qu'en opérant sur des groupes de génératrices. Il est donc intéressant de savoir comment les quatre points d'un même groupe sont disposés sur les deux coniques A" et A'".

Les quatre. points M, N, R et S ont des ordonnées égales en grandeur absolue; le groupe auquel ils appartiennent peut être considéré comme déterminé par le

carré y2 de cette ordonnée; par conséquent, si l'on attribue à y2 la valeur M'A' (fig. 262), chacune des équations (6) de l'article 494 sera celle d'une ligne passant par les quatre points u, ulf v et v{ [fig. a6i), traces horizontales des génératrices du groupe dont nous nous occupons. La première équation représente deux droites wt et uuK parallèles a l'axe Aj; la seconde, deux droites ra, et w% qui se croisent en 0. En les divisant Tune par l'autre, on obtient une troisième équation qui détermine deux droites dirigées vers le point A.

Les quatre points g\ g\ , k' et k\ , traces des génératrices du groupe sur le plan de A", sont également placés de telle manière, que les droites qui les joignent deux à deux convergent les unes vers le point A', les autres vers le point 0', et les dernières vers le point à l'infini où les traces des plans de A et de A' se 'rencontrent.

520. Les quatre sommets I, I,, i et i,, situés sur A", satisfont aux relations que nous venons d'indiquer, et déterminent un groupe qui correspond a la valeur o de ya. Ce groupe ne contient que quatre génératrices, et par suite il n'a que deux points sur les autres directrices : B et B, sur A, C et C, sur A', H' et G' sur A".

Une disposition analogue existe pour les sommets placés sur A"'.

La considération des groupes simples. permet de reconnaître le nombre des sommets de la surface, dans les différentes hypothèses que l'on peut faire sur les directrices A et A'. Nous remarquerons que, quand la développable a des sommets sur l'une de ces deux courbes, telle que A', les tangentes en ces points doivent être des génératrices (art. 457), et, comme elles sont parallèles au plan de A, les points où elles rencontrent cette directrice sont à l'infini, et elles sont par conséquent parallèles a ses asymptotes. Elles forment d'ailleurs évidemment un groupe simple.

521. Discussion du nombre des sommets. Nous distinguerons six dispositions principales.

i° Quand les directrices A et A' sont des ellipses situées d'une manière quelconque dans des plans parallèles, les plans des diamètres conjugués parallèles

sont réels, et contiennent des groupes simples qui déterminent quatre sommets sur chacune des directrices A" et A'"; mais il n'y en a pas sur les premières A et A', parce qu'aucune d'elles n'a d'asymptotes : la surface a donc en tout huit sommets réels (Jig. 255).

2° Quand la première directrice A est une ellipse, et la seconde A' une hyperbole, les plans des diamètres conjugués parallèles sont encore réels, mais l'un de ces diamètres N/i (Jig. 253) ne rencontre pas l'hyperbole, et le groupe simple correspondant est imaginaire avec les sommets qu'il contient sur A". D'un autre côté, la première directrice A porte quatre sommets aux points I, I,, i et if où la tangente est parallèle à l'une des asymptotes de l'hyperbole A' : la surface a donc huit sommets sur les directrices A et A" (*).

3° Lorsque les directrices A et A' sont des hyperboles, si dans le système des diamètres conjugués parallèles les diamètres transverses sont sur la même droite [Jig. 252), il y a un groupe simple réel dans leur plan Oy, et par suite quatre sommets sur la directrice A" qu'il contient. Il y en a quatre autres I, I,, i et i, sur l'hyperbole A' pour laquelle l'angle des asymptotes est le plus petit : la surface a donc encore huit sommets.

4° Les directrices A et A' étant toujours des hyperboles, si les diamètres transverses dans le système des diamètres conjugués parallèles ne sont pas sur la même droite, la surface pourra être imaginaire (Jig. 2G5); lorsqu'elle sera réelle, les deux groupes contenus dans les plans Non, Mom des diamètres conjugués parallèles (Jig. 2G6) seront imaginaires, mais ceux formés par les tangentes des premières directrices réciproquement parallèles aux asymptotes seront réels, et la surface aura huit sommets placés quatre à quatre sur A et A'.

5° Lorsque les diamètres conjugués parallèles des hyperboles A et A' sont imaginaires (Jig. 249), on ne peut plus former que des groupes incomplets contenant chacun quatre génératrices, telles que MM', MN', NM' et NN\ Les directrices A" et A" sont imaginaires, et la surface a seulement quatre sommets I, I,, J et J, placés sur les directrices A et A', et dépendant de groupes simples formés chacun de quatre génératrices.

Dans ce cas la surface n'est plus composée de deux parties distinctes; elle peut être déroulée sur un plan par un même développement.

G° Si les plans des directrices A et A' sont imaginaires, la surface sera donnée par deux lignes doubles A" et A", ayant leurs centres sur la droite d'intersection de leurs plans, et telles que leurs points de rencontre avec ces lignes soient réels et alternes (art. 510). On pourra alors mènera chaque courbe deux tangentes de

(') Quand deux coniques sont concentriques, leurs diamètres conjugués communs en direction sont les diagonales du parallélogramme formé par les tangentes de l'une parallèles aux asymptotes de l'autre. Nous nous sommes servi de cette propriété, dont la démonstration est facile, pour l'établissement des Jig. 25a, 253 et 2G6.