CHAPITRE II. — SURFACES D'OMBRE ET DE PÉNOMBRE

l'un des points où l'autre perce son plan. La développable aura ainsi deux sommets sur chacune des directrices réelles.

522. Telles sont les dispositions différentes que la surface présente quand deux directrices sont des coniques a centre situées dans des plans parallèles ('). On doit distinguer deux grandes variétés. Dans la première, la surface se divise en deux parties ayant chacune son arêle de rebroussement distincte; elle a quatre lignes doubles réelles, dont deux portent quatre sommets. Quatre des huit sommets sont sur une partie de l'arête de rebroussement, et les quatre autres sur l'autre. Les groupes ordinaires se composent de huit génératrices, et les groupes simples de quatre.

Dans la seconde variété, la surface ne se divise pas en deux parties. Elle a deux lignes doubles dont chacune porte deux sommets. Les groupes ordinaires se composent de quatre génératrices, et les groupes simples de deux.

Enfin, la surface peut être imaginaire.

Détermination générale des surfaces d'ombre et de pénombre. — Développable circonscrite à deux surfaces du second degré.

525. Considérations générales. L'exercice auquel sont consacrées les PL XXIV \ XXV, XXVI et XXVII montre comment on peut résoudre les problèmes graphiques qui se rattachent à la détermination de l'ombre d'une aire opaque éclairée par une aire lumineuse. Il sera souvent nécessaire de couper la développable par des plans, pour obtenir des points de sa courbe d'intersection avec ellemême. L'ombre sera indéfinie quand la surface n'aura pas de ligne double du côté de Taire opaque, et quand elle en aura une dont la partie utile s'étendra à l'infini.

524. La surface générale de l'ombre ne sera pas modifiée si l'on remplace les aires par des corps dont les surfaces lui soient inscrites. L'ombre d'un corps opaque éclairé par un corps lumineux est donc limitée par l'enveloppe des positions d'un plan qui se meut en les touchant toujours, et les laissant d'un même côté. On trouve par un raisonnement analogue que, si les corps étaient de côtés différents du plan mobile, l'enveloppe formerait la surface de la pénombre.

(*) Lorsque les directrices données ne sont pas dans des plans parallèles, les points M, N, R et S d'un même groupe [fig. 2G4) sont les sommets d'un quadrilatère dont les côlés convergent deux à deux vers les points g et h (art. 510, note), et dont les diagonales se croisent au pôle A de XY.

Quand l'une des courbes A et A' ne rencontre pas la droilc XY, sa transformée est une ellipse, et la surface a huit sommets; mais si les deux directrices coupent XY, et si les points de section sont alternes (fig. 267), les transformées seront des hyperboles ayant la disposition indiquée sur h fig. 249, et alors la surface n'aura que deux lignes doubles A et A', et quatre sommets I, Ii, J et Ji. Enfin, si les coniques étaient disposées comme il est indiqué sur \afig. 25 1, la perspective leur donnerait les positions relatives indiquées sur h fig. a65, et la surface serait imaginaire.

Il arrive quelquefois que la développable complète se compose de deux cônes; mais, en général, elle a une arête de rebroussement, et sa détermination exige des tracés très-longs. On peut obtenir des génératrices en menant des plans tangents communs a deux cylindres respectivement circonscrits aux surfaces et parallèles à une même direction arbitraire, et en joignant par des droites les points où un même plan touche les deux surfaces. Pour avoir un résultat de quelque exactitude, il faut répéter cette opération un assez grand nombre de fois.

525. Surfaces du second degré inscrites dans la développable circonscrite à deux coniques. Nous allons rechercher si des surfaces du second degré peuvent être inscrites dans la développable qui est représentée dans les PL XXIV,XXVIet XXVII. Nous conserverons les notations de l'article 494.

Pour qu'un plan

(i) Ax + By + Cz = i

soit tangent à la développable, il faut qu'il contienne les tangentes des directrices A et A', en deux points d'une même génératrice ; les équations de ces tangentes sont

En exprimant que ces droites se confondent avec les traces du plan (i) sur les plans de A et de A', on trouve quatre équations qui, en vertu de la relation (3) de l'article 494, se réduisent aux trois suivantes :

Considérons maintenant une surface du second degré, ayant son centre sur l'axe A x, et dans laquelle cet axe et les diamètres parallèles aux autres axes Ay et k'z (y?g. 261 et 262) forment un système de diamètres conjugués. Son équation sera

En cherchant la condition pour que le plan (1) touche cette surface, on trouve (') A»(X* - u2) -4- B2/JL2 -+- C2v2 -h 2 Au- I ,= o

(') On calcule l'équation générale du plan tangent à la surface (3), et l'on exprime que ce plan se confond avec (1); on obtient ainsi trois équations de condition, on en déduit les coordonnées du point de contact et Ton porte leurs valeurs dans l'équation (3).

On peut encore éliminer une des variables entre les équations (1) et (3) et exprimer que l'équation que l'on obtient est décomposable en deux facteurs du premier degré, car alors le plan coupe la surface suivant deux droites.