BUT DE LÀ GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. — MÉTHODE DES PROJECTIONS

Solutioîis graphiques.

1. En mathématiques, les problèmes d'application peuvent être résolus par des constructions graphiques ou par des calculs numériques. Il est généralement facile de reconnaître, d'après la nature de la question, quel est celui des deux modes de solution qui doit être préféré; ce n'est que dans des cas assez rares que Ton peut employer indifféremment l'un ou l'autre.

Dans les problèmes de Géométrie plane, les lignes et les points pouvant être tous placés sur une feuille de dessin, des constructions graphiques sont aisément applicables, et les difficultés que l'on rencontre sont spéciales aux questions que l'on examine. Mais quand on considère des corps, ou bien des lignes qui ne sont pas toutes dans un même plan, il faudrait faire des tracés dans l'espace. Cela n'est pas absolument impossible , et l'on trouve dans quelques arts des exemples de cette manière d'opérer; mais ce sont des exceptions, et l'on peut dire qu'en général, pour qu'une question puisse être résolue graphiquement, il est nécessaire qu'on puisse la ramener a un problème de géométrie plane. Il faut donc une méthode qui permette de représenter sur un plan, sans indétermination, des figures situées dans l'espace, et de résoudre par des tracés sur le plan les problèmes que Ton peut se proposer sur ces figures.

2 LIVRE 1er. — DES LIGNES DROITES ET DES PLAINS.

Aperçu de la méthode.

2. Si Ton veut représenter une maison, on en dessinera la façade (fig. i). Les lignes des croisées sont sur un même plan vertical et peuvent être tracées sans difficulté. Quant aux points qui ne sont pas sur ce plan, on les y ramène par des perpendiculaires : les extrémités du faite sont ainsi représentées aux pieds a' et b' des perpendiculaires abaissées de ces points sur le plan de la façade.

L& figure \ donne une idée de la maison, elle en fait connaître les dimensions en longueur et en hauteur, mais elle n'indique ni la saillie du perron, ni la profondeur de l'édifice.

3. On peut, d'après les mêmes principes, représenter la maison sur le sol considéré comme un plan horizontal. On obtient ainsi H figure 2t où les divers points élevés au-dessus de terre sont indiqués par leurs projections, c'est-à-dire par les pieds des perpendiculaires abaissées des points sur le sol.

La figure 2 donne les dimensions en longueur et en largeur, mais elle ne fait pas connaître les hauteurs des différents points* Elle ne définit pas la maison plus complètement que h figure 1, mais elle fournit les dimensions perpendiculaires au plan de la façade que Ton ne trouvait pas sur celle-ci. Elle lève donc toutes les incertitudes qui restaient sur la forme extérieure de l'édifice.

4. La figure 1 est appelée élévation et h figure 2 plan. Le plan et l'élévation sont deux figures distinctes et qui naturellement devraient être sur des feuilles différentes, l'une horizontale et l'autre verticale; mais on les place généralement sur une même feuille en regard Tune de l'autre et de manière que leurs diverses parties se correspondent. On peut supposer que la feuille verticale de l'élévation a été rabattue sur la feuille horizontale du plan, par un mouvement de rotation autour de la droite XY qui était leur commune intersection.

L'élévation ainsi placée couvre les allées du jardin et les autres parties du plan situées au delà de la ligne XY; on les trace en trait plus léger ou en lignes ponctuées. On représente également par des lignes légères ou ponctuées les fondations et toutes les parties de l'élévation qui sont recouvertes par le sol et le plan de la maison.

On dispose généralement les dessins de manière que les parties importantes du plan et de l'élévation ne soient pas recouvertes.

Nous parlerons plus loin des figures 3 et 4*

Représentation des points, des droites et des plans sur deux plans coordonnés.

5. Nous allons maintenant présenter les projections d'une manière abstraite. La perpendiculaire ka abaissée d'un point A ( fig. 5) sur un plan fixe P est la