CHAPITRE 1er. — MÉTHODE DES PROJECTIONS

projetante de ce point; son pied a est la projection du point. Tous les points de la projetante ont la même projection a sur le plan P.

Le point A peut être projeté sur un autre plan Q par une droite Aa, perpendiculaire à ce plan. Le plan des deux projetantes A a et A a, est perpendiculaire aux deux plans de projection, et par suite à leur intersection XY, que l'on appelle ligne de terre. Cette droite est donc perpendiculaire aux lignes a0 a, aQ ai9 suivant lesquelles le plan dont nous parlons coupe les plans de projection. Ainsi les perpendiculaires abaissées des deux projections d un point sur la ligne de tetre se rencontrent en un mime point de cette droite.

Si Ton connaît les deux projections a et a,, les projetantes seront déterminées, et leur intersection A le sera également. Il n'y aurait d'exception que si les deux plans P et Q étaient parallèles, parce qu'alors les projetantes formeraient une môme droite.

Deux points a et a< pris sur les plans P et Q seront les projections d'un même point de l'espace, toutes les fois que les perpendiculaires aa0 et ak a0, abaissées de ces points sur la ligne de terre, la rencontreront en un même point a0, parce que les projetantes étant dans le plan déterminé par les lignes aa0 et a, a0 se rencontreront nécessairement.

On appelle plans coordonnés les deux plans P et Q que l'on choisit pour y rapporter par des projections les différents points de l'espace. On les prend généralement rectangulaires, l'un horizontal et l'autre vertical.

Les plans coordonnés étant à angle droit, tout point de chacun d'eux se projette sur l'autre en un point de la ligne de terre.

6. L'ensemble des projections des points d'une ligne sur un plan forme la projection de la ligne sur ce plan. Pour une droite AB C/%. 6), les projetantes des différents points sont dans un plan Aabft qui est perpendiculaire au plan de projection considéré P. La projection ab de AB est l'intersection de ces deux plans, et par conséquent la projection d'une ligne droite est une ligne droite.

Le plan AabB est appelé plan projetant.

A chaque projection ab ou aK bK correspond un plan projetant. Une droite, dont on connaît les projections sur deux plans coordonnés, est ainsi déterminée par l'intersection de deux plans projetants.

Deux droites indéfinies, prises arbitrairement sur les plans coordonnés, peuvent être considérées comme les projections d'une même droite; il faut excepter le cas où elles rencontrent la ligne de terre à angle droit et en des points différents, parce que les plans projetants qu'elles déterminent sont alors parallèles comme perpendiculaires à la ligne de terre.

7. Nous désignerons un point ou une droite de l'espace par ses deux projections, en indiquant la projection horizontale la première. Nous dirons ainsi le point {a9at) et la droite {ab, a, 6,) {fig. 6).

4 LIVRE 1er. — DES LIGNES DROITES ET DES PLANS.

Un point situé sur le plan horizontal, tel que le point a (Jig. 5), se confond avec sa projection horizontale; sa projection verticale se trouve sur la ligne de terre en aQ : c'est donc le point (a, a0). Nous emploierons cette notation quand nous voudrons rappeler que la projection verticale du point est sur la ligne de terre; mais, en général, nous dirons simplement le point a.

La même observation s'étend aux points qui sont sur le plan vertical, et aux droites situées sur l'un ou l'autre des plans de projection.

8. On détermine la position d'un plan par ses traces sur les deux plans coordonnés : ce sont les droites NE et FK (Jig. 7) suivant lesquelles il coupe ces plans. Chacune de ces lignes passe par le point M où le plan rencontre la droite XY. Ainsi les deux traces d'un plan se coupent en un point de la ligne de terre.

Un plan parallèle à l'un des deux plans coordonnés n'a pas de trace sur ce plan; sa trace sur l'autre est parallèle à la ligne de terre.

Les traces d'un plan parallèle à la ligne de terre sont parallèles à cette droite.

Quand un plan est vertical, sa trace sur le plan vertical de projection est verticale, et par suite perpendiculaire à la ligne de terre. La trace horizontale d'un plan perpendiculaire au plan vertical est également perpendiculaire à la ligne de terre.

Deux droites situées sur les deux plans coordonnés, et qui se coupent en un point de la ligne de terre, ou qui sont parallèles à cette droite, peuvent toujours être considérées comme les traces d'un plan.

Nous désignerons un plan par ses deux traces, en indiquant la trace horizontale la première : nous dirons ainsi le plan (NE, FE).

Rabattement du plan vertical. — Règles de ponctuation.

9. Pour employer sur une seule feuille de dessin le mode de représentation que nous venons d'exposer, il suffit de supposer que le plan vertical, entraînant avec lui les projections, les traces et les lignes de construction que l'on peut y concevoir, soit rabattu sur le plan horizontal par un mouvement de rotation autour de la ligne de terre. Quand on raisonne sur les figures de l'espace et leurs relations avec les plans coordonnés, on doit toujours considérer ceux-ci dans leur position naturelle; ce n'est que pour l'exécution des tracés qu'il faut supposer le plan vertical rabattu.

10. Nous avons reconnu (art. 5) que les perpendiculaires abaissées des deux projections a et a, d'un point A [Jig. 5) sur la ligne de terre se rencontrent en un point aQ de cette ligne. Lorsque le plan vertical tourne pour se rabattre sur le plan horizontal, la projection a{ décrit un quart de cercle autour du point a0 comme centre, et la ligne a0at se place en a0a' sur le prolongement de aaQ. Par consé-