CHAPITRE III. — SURFACES D'ÉGALE PENTE. Il

seront des génératrices de la surface, et leurs points de contact 1, 1,, i et *, seront des sommets (art. 458). Nous pouvons obtenir leur position en employant la construction ordinaire des tangenles à l'hyperbole par un point extérieur. De Q et de F comme centres, avec des rayons égaux à OB et a CD, nous décrivons des arcs de cercle qui se coupent en /et en /, ; les droites F/ et F/, passent respectivement par * eti0 et leurs segments il et *'</, sont égaux à «F, et t, Ff (').

Les points M et N, où une même génératrice rencontre l'ellipse et l'hyperbole, sont tels, que les tangentes correspondantes se rencontrent en un point de Taxe PQ (art. 455). On a par suite entre leurs ordonnées /3 et y la relation (2)

lr b»>

Le rapport de /3 a y est donc constant, et par suite les ordonnées des points M et N sont entre elles comme les ordonnées des points connus Q et i. En conséquence, après avoir pris sur l'ellipse des points de division arbitraires, mais symétriquement placés par rapport aux axes, on peut obtenir par une construction de lignes proportionnelles les ordonnées des points -de l'hyperbole qui leur correspondent, ce qui suffit pour les déterminer sur cette courbe que nous supposons tracée avec soin. On relève ensuite les points de l'ellipse sur A'B\ ceux de l'hyperbole sur CD', et l'on trace les deux projections de toutes les génératrices considérées. Nous les avons arrêtées aux courbes A et A'".

Conformément a une observation que nous avons présentée à l'article 554, les deux génératrices qui se rencontrent en un point quelconque de l'une des directrices font des angles égaux avec la tangente de cette ligne dans l'espace et en projection horizontale.

Deux génératrices, issues des points M et R symétriquement placés par rapport a AB, se rencontrent dans le plan vertical dont cette ligne est la trace; mais leur croisement ne peut pas se dessiner sur la projection verticale, parce qu'elles y sont représentées par une même droite. Pour construire la directrice A" qui est une ellipse, il faut relever sur le plan vertical les points de rencontre des projections horizontales des génératrices avec la droite AB.

561. Les verticales ge et gKeK relevées des foyers F et F, touchent l'ellipse A" (art. 558). Les côtés du parallélogramme A'C'B'D' sont des génératrices situées dans le plan de cette directrice; elles lui sont donc tangentes (art. 457), et leurs points de contact sont des sommets de la surface.

On sait que, dans un pentagone circonscrit à une conique, deux diagonales qui ne

(') On peut aussi remarquer que la perpendiculaire à AB menée par le point C rencontre Tare F/, F, au point <r où passe la droite Q/,.

(') Celte formule peut ôtre déduite immédiatement de la seconde équation de l'article 538; elle est identique avec celle que nous a*ons obtenue à l'article 51 C.