CHAPITRE III. — SURFACES D'ÉGALE PENTE. III
556. Pour avoir l'équation de la surface, il faudrait éliminer a et /3 entre les équatioQs(i), (2) et (3) ; mais, si nous cherchons seulement son intersection avec un plan donné, nous pourrons commencer par introduire les relations qui sont établies par l'équation de ce plan entre les variables x, y et z.
Les plans
(4) y = o, mi2 z — x = o
doivent couper la développable suivant des lignes faciles à déterminer, car pour chacun d'eux les équations (2) et (3) perdent un de leurs termes, et la seconde peut être réduite au premier degré par la suppression d'un facteur commun.
557. En faisant/ nul dans les équations (2) et (3) pour chercher l'intersection de la surface avec le premier des plans (4)» on obtient
(5) (1 — m2i2)a2-h /32h- i(mi2z — x)a -4- x2 — Pz* = o,
(6) (b2 - a2 4- a2 m2 ia) a — a2 (mi2 z — x) = o,
et l'élimination de |3 et de a entre (1), (5) et (6) donne
La symétrie de la tigure montre que les génératrices se rencontrent deux à deux dans le plan vertical AB (fig. 273). La conique (7), trace de la surface sur ce plan, est donc une ligne double : nous rappellerons A".
La développable étant circonscrite à deux courbes du second ordre A et A" a deux autres directrices planes et de cet ordre; et comme les premières, représentées par les équations (1) et (7), sont concentriques, l'une des deux autres A'" aie même centre qu'elles, et la dernière A' se trouve à l'infini (art. 508). Nous pourrions nous servir des théories du Chapitre II pour déterminer la directrice A", mais il est plus simple de continuer à traiter la question directement.
558. Pour obtenir l'intersection de la surface par le second des deux plans (4), nous portons dans les équations (2) et (3) la valeur de z déduite de l'équation de ce plan ; il vient
(i* a2-ha2m2r)p -b2y = o.
L'élimination de a et de /3 entre ces deux équations et l'équation (1) donne
' a'mU* b' — u* -h a2 m2 12
des deux génératrices qui passent au point considéré (G, C) (Jig. 273); mais on peut rétablir sans son secours, en exprimant analytiquement les constructions de la figure.
La section de la surface par le second des deux plans (4) est donc une courbe du deuxième ordre, concentrique avec la directrice A, comme nous avons reconnu que cela devait être. Appelant a" et b" les longueurs des demi-axes de sa projection horizontale, et ni" la tangente de l'angle de son plan avec l'horizon, nous avons, d'après la seconde des équations (4) et l'équation (8),
(9) m" = ^ a"'2 = a2mU\ b"* = b* - a* -h a*m*P.
Si l'on résout ces équations par rapport à m, a et b, on trouvera les mêmes expressions, avec permutation des lettres qui représentent les constantes des deux coniques; il y a donc réciprocité entre elles, et par suite celle que nous venons de déterminer, A", est une ligne double comme A,
On déduit des équations (9)
Les coniques projections horizontales des directrices A et A'" ont donc les mêmes foyers. Il est d'ailleurs facile de voir, à l'aide de l'équation (7), que ces points sont les extrémités du segment de la droite AB (Jig. 273) qui forme la projection horizontale de A"; d'où il suit que ce sont les foyers de ce segment considéré comme une ellipse aplatie.
559. Nous pouvons maintenant faire les tracés nécessaires à la détermination des lignes doubles et à la représentation générale de la surface.
Les données sont l'ellipse directrice ( AB, A'B'j que nous appelons A {Jig. 274 et 275), et l'angle de la développable avec l'horizon. De chacun des points A' etB' nous menons deux droites faisant cet angle avec la ligne de terre XY : ces lignes sont évidemment des génératrices, et la diagonale C'O'D' du parallélogramme A'C'B'D' qu'elles forment est la trace verticale du plan de la directrice A". Les points C et D' sont des sommets de cette courbe, et leurs projections horizontales C et D des sommets de sa projection. Comme d'ailleurs la ligne A" a, sur le plan horizontal, les mêmes foyers F et F \ que l'ellipse AB, elle se trouve complètement déterminée et facile à tracer : c'est une hyperbole, parce que les sommets C etD sont en dedans des foyers; nous aurions une ellipse s'ils étaient au delà, et enfin, si les points C et D se confondaient avec F et F,, la développable se composerait de deux cônes ayant leurs sommets l'un en C et l'autre en D'.
Les directrices A et A" étant de genres différents, A;/ est nécessairement une ellipse (art. 508).
Il est inutile de dire que les foyers auraient pu se trouver sur l'axe Oy.
560. La droite PQ est l'intersection des plans des directrices A et A"; par conséquent, si des points P et Q nous menons des tangentes a l'hyperbole, ces droites
