Nous coupons la surface par le plan

(6) . C (MZi* - X) - A (NZia - Y) = o.

En vertu des relations (5) et (6), l'équation (4) perd deux de ses termes; on peut diviser les autres par /3, et il reste

( [B(i - M2/2) - A(i — N2/2;] a - "C(i - NV; 4- BMNi* ,(i

{J) \ ~rC(NZia-Yj-B(MZr-X);=o.

La courbe d'intersection est représentée par l'équation (6) et par celle qui doit résulter de l'élimination de a et de |3 entre les équations (i), (3) et (7). Il est facile de prévoir que nous allons trouver une courbe du second ordre, car le facteur supprimé /3 a entraîné avec lui quatre génératrices tangentes; on peut, en effet, vérifier que» la relation (5) étant satisfaite, l'intersection des plans (2) et (6) a pour projection horizontale l'axe des abscisses, d'où il résulte que les points de la directrice A pour lesquels l'ordonnée /3 est nulle appartiennent au plan sécant (6), et que les génératrices qui passent à ces points sont situées dans ce plan.

570. Nous introduisons d'abord dans les équations (3) et (7) les valeurs des expressions MNi* et (NZ12 — Y) prises dans les équations (5) et (6). Nous obtenons ainsi

( (1 - M2/2)(Aa2 + aCa/3) 4- (1 -N2*'2) A/32 + a(MZi* -X)( Aa 4- C/3) * ' j 4-A(X2-+-Y2-/2Z2)=o,

(9) [A(i - N2/2) - B(i - Wi*)}{A* 4- C/3) 4- (C2 - AB)(MZi'2 - X) = o.

Pour éliminer a, nous portons dans l'équation (8) les valeurs des binômes (Aa* 4- aCa/3) et (Aa 4- C/3) déduites respectivement des équations (1) et (9),

Il8 LIVHE VI. — SURFACES DÉVELOPPA BLES.

et ensuite dans l'équation (i) la valeur de a obtenue par l'équation (9). Ces suostitutions donnent

rA(i - N*t») - B(i - M2/2)^2 - 2(C- - AB)(MZt* - X)*

-h[(i-Mai» + At-V+Y*-!^1}] rA(i — Nai3)-B(i -M1!»): =0, [\(, NV) - B(t - M2/2)|2/52 - (C2 - AB)(MZis - X)2

+ cr3ÂB.rA(i-N-i«)-B(i-ll»i»)J»«o.

En retranchant la première de ces équations de la seconde, |3 disparait, et Ton obtient après quelques réductions

■ ■ A"'(MZta - X;* + TA(i - N2/2) ~ B(i - M2/2)] x fA(i - N2/2) - %U - M4/2; - (C2 -- AB (X2 -+- Y* - /SZ2)] = o.

L'intersection de la surface du second ordre représentée par cette équation, avec le plan (G), est une conique concentrique avec la directrice, et, comme elle, ligne double delà développable. Éliminant Z entre les équations (6) et (10), nous trouvons, pour représenter la projection horizontale de la conique, l'équation

(C'-ÀBJ'fNX-MY)» A(i-N'î*)— B(i-Mfi*)