CHAPITRE III. — SURFACES D'ÉGALE PENTE. ia

on déterminera sur A* les points m, /*,, mK et n qui appartiennent au groupe considéré.

Les points a el 6, de A" qui ont pour abscisse OH sont sur les génératrices qui passent par les points /*, et m de A", dont l'abscisse est — OH ou OH,.

Nous n'avons pas tracé les génératrices de ce groupe par crainte de confusion : ce sont les huit droites

nean neb,

acm, mebi9

bxcsnn nteta,

betmlf axc{m{.

Nous avons construit la trace horizontale de la surface; elle se compose de deux branches fermées qui se coupent aux traces s et v de A", et de deux points isolés co, et b>, traces des arcs parasites de A. Les traces de toutes les génératrices du groupe qui a été déterminé sont indiquées par des lettres.

580. Cas où la directrice donnée est une hyperbole. — Dans tous nos exercices nous avons choisi pour première directrice A une ellipse, parce que cette conique a une certaine analogie de forme avec les courbes que l'on rencontre le plus souvent dans les applications. Nous allons maintenant examiner sommairement les diverses dispositions que peut présenter la surface d'égale pente circonscrite k une hyperbole.

Rappelons d'abord que tout plan tangent k la directrice A et faisant avec le plan horizontal le même angle que la développable touche cette surface le long de la génératrice qui passe au point de contact. D'après cela, si la conique A est une hyperbole dont une asymptote se trouve plus inclinée que les génératrices» on pourra faire passer par cette droite deux plans ayant la pente des plans tangents de la développable, et chacun d'eux contiendra une génératrice située a l'infini. La surface a donc deux génératrices situées k l'infini, c'est-à-dire dans le plan de A'; elles sont tangentes à cette directrice (art. 457), et leurs points de contact sont deux sommets de la développable.

Si la seconde asymptote de A est moins inclinée que les génératrices, la surface n'a que deux sommets sur A', et par suite elle appartient k la variété portée sous le n° 5 a l'article 521 ('); les groupes sont formés de quatre génératrices* et les plans de A" et de Aw n'existent plus : on peut vérifier que les racines de l'équation (i4) (art» 575) sont imaginaires quand les génératrices sont moins inclinées que Tune des asymptotes de A, et plus inclinées que l'autre. Enfin, si l'on coupe le cône directeur par un plan parallèle k celui de A, on aura une hyperbole

(') Noi» n'avons pas trouvé celle disposition dans la discussion de l'article 508, parce que nous avons supposé que les plans des trois directrices concentriques étaient réels.

dont les asymptotes seront croisées avec celles de A (art. 502); il est en effet trèsfacile de reconnaître que, lorsqu'on coupe un cône de révolution par un plan contenant deux droites, l'une plus inclinée que les génératrices du cône, l'autre moins inclinée qu'elles, la section est une hyperbole dont les asymptotes sont croisées avec les droites.

581. Quand la seconde asymptote de l'hyperbole A est, comme la première, plus inclinée que les génératrices, la surface a quatre génératrices à l'infini. Ces droites, étant dans un même plan (art. 56a), se coupent en six points qui sont des points doubles étrangers à A' : chacune des coniques A" et A"' a donc comme A deux points à l'infini, et par conséquent les trois coniques concentriques sont des hyperboles. Leurs six asymptotes sont les intersections mutuelles des quatre plans qui touchent la surface le long des génératrices situées à l'infini. On détermine facilement ces plans, comme nous l'avons vu à l'article précédent, quand on connaît les asymptotes d'une directrice et la pente des génératrices; ils sont tangents au cône directeur placé de manière à avoir son sommet au centre de la surface. Les droites de contact de ces plans avec le cône sont parallèles aux génératrices situées a l'infini.

L'arête de rebroussement possède deux rebroussements à l'infini dans le premier des cas que nous venons d'examiner, et quatre dans le second. Les branches sont paraboliques, car la génératrice tangente est tout entière a l'infini (4).

582. Quand la directrice A est une hyperbole ayant ses deux asymptotes plus inclinées que les génératrices, la section du cône directeur par un plan parallèle k celui de A est une ellipse ou une hyperbole ayant avec A un système de diamètres conjugués parallèles. La discussion de l'article 521 montre que la surface peut être imaginaire; lorsqu'elle est réelle, elle n'a pas de génératrice à l'infini, et par conséquent elle ne possède dans le plan de A', outre cette conique, que deux points isolés appartenant à A. Les directrices A" et A'" sont donc des ellipses. C'est à ce cas que se rapportent les surfaces représentées sur \esjig. 272, 274 et 275, 286 et 287, si l'on y considère l'hyperbole comme étant la directrice donnée A.

583. Si l'on veut déterminer les conditions auxquelles doivent satisfaire deux coniques concentriques pour que la développable qui leur est circonscrite soit d'égale pente, on exprimera que le cône directeur dont l'équation en coordonnées obliques a été donnée à l'article 543 est de révolution. On trouve deux équations de condition. Nous ne nous arrêterons pas à cette question.

584. Cas ou la directrice donnée est une parabole. — Lorsque la directrice A est une parabole, la surface d'égale pente circonscrite ne possède à distance finie qu'une autre ligne double qui est également une parabole. Les équations de la

(') Nous avons indiqué à l'article 184 comment on peut étudier la disposition des branches paraboliques lorsqu'il y a un rebroussement à l'infini.