II. ifi

122 LIVRE VI. — SURFACES DÉVIiLOPPABLES.

576. Dans l'épure que nous présentons, afin de donner une certaine symétrie à la figure et de simplifier les constructions, nous avons supposé que le plan de A coupait les plans verticaux passant par les axes de la projection horizontale de cette conique, suivant des droites ayant l'inclinaison des génératrices : les points de A situés dans ces plans verticaux sont alors évidemment des sommets de la développable.

D'après l'hypothèse admise, nous avons

nr = rr = ^

d'ailleurs, nous pouvons supposer que Ton a choisi le sens des ordonnées positives de manière que m et n soient de même signe, les équations (r/|) et ( 17) deviennent

(14 bis) lange = qp -»

(17 bis) a\ = a(a±b), b]=b{b±a).

577. La projection horizontale de la directrice donnée est l'ellipse Iil4i| (Jîg. 286) ; on détermine les axes des projections horizontales des autres coniques par les constructions faciles qu'indiquent les équations (17 bis) : nous n'avons pas conservé ces constructions sur la figure. La projection de la seconde ligne double A" est l'ellipseB, D ABA, ; celle de la troisième A'\ l'hyperbole JABB, A,/i,.

Les coefficients m et n étant égaux, la trace horizontale du plan de A est la droite P,OP, qui fait avec Taxe des abscisses un angle de — 45° : l'intersection des plans des directrices A" et A'" se projette, par conséquent, sur la perpendiculaire D,OD (art. 573). Les projections AA, et BB, des deux autres arêtes du trièdre formé par les plans des lignes doubles sont construites par les relations qu'indiquent les équations (14 bis). Les droites AA,, BB, et DD,, prises deux à deux, forment des systèmes de droites diamétrales conjuguées des courbes.

En déterminant avec soin les extrémités A, A, , D et D, des diamètres conjugués de l'hyperbole Aw, on trouve qu'ils sont en projection sur l'ellipse A"; de même les extrémités B et B, du diamètre BB, conjugué de DD, pour la directrice A" sont, en projection, sur l'hyperbole A'". On peut vérifier à l'aide des formules de l'article 576 ces diverses coïncidences; elles résultent de symétries introduites dans la surface par les hypothèses de cet article. D'après cela, les projections horizontalcs des diamètres conjugués des directrices, dirigés sur les arêtes du trièdre formé par les plans de ces courbes, sont CC, et GG, pour l'ellipse A, DD, et BB, pour l'ellipse A", AA, et DD, pour l'hyperbole A*.

Les points D et D,, étant sur l'intersection des plans de A' et de A", sont dans

CHAPITIIE III. — SURFACES DÏIGALE PENTE. I a3

l'espace, comme en projection, les extrémités d'un diamètre de Pellipse A" et d'un diamètre non transverse de l'hyperbole A".

Les traces horizontales des plans de A' et de A" sont les droites V\ F et P"PW respectivement perpendiculaires à A, A et à B,B.

578. Nous prenons trois plans verticaux auxiliaires respectivement perpendiculaires aux plans des trois coniques : leurs lignes de terre sont Vtx, V\x" et V[xm. Nous établissons la trace P,K du plan de A sur le premier plan auxiliaire : l'angle KP, x est une des données du problème ( f ) ; nous obtenons ensuite la trace de chacun des plans de A" et de A"' sur le plan vertical qui lui est perpendiculaire, en cherchant la projection d'un point pris sur son intersection avec le plan de A (art. 59). Ainsi la trace P" K" du plan de A" passe par la projection Y.2 du point (G, r, ) de la droite (OB, P, K), et la trace P^ K* du plan de A'" passe par la projection n2 du point (rt, n{) de la droite (OA, P, K).

Il faut maintenant établir les projections des arêtes du trièdre formé par les plans des directrices et de ces courbes elles-mêmes sur le plan vertical de l'épure, qui est celui des grands axes des ellipses II, et ADA, : celle construction est un simple-changement de plan de projection (art. 59). Nous déterminons le point G' qui correspond à (G, T3), nous traçons O'G' et nous relevons les points B, B, et G, en B', B'i et G\. Nous plaçons ensuite la nouvelle projection ~' du point (tt, tt, ), nous traçons OV, et nous relevons les points A, C, C, et A, en A', C, C\ et A', . Nous établissons d'une manière analogue la droite O'D', projection de l'arête (OD, Fj K"), en opérant sur un point de cette ligne, et nous relevons les points D et D, en D' et D't . On pourrait obtenir par la même construction des points appartenant aux courbes, mais il vaut mieux remarquer que nous avons des couples de diamètres conjugués : CCl et G'G'j pour la projection de A, D'D'( et B'B', pour la projection de A", et enfin A'A'( et D'D^ pour la projection de A'\ A l'aide de ces diamètres, on détermine facilement la projection verticale de chaque ligne double.

Deux génératrices de la surface sont parallèles a chaque génératrice du cône directeur; il y a donc quatre génératrices parallèles an plan vertical; elles forment sur ce plan le contour apparent de la développablc (art. 545). Les projections verticales des lignes doubles sont par conséquent inscrites dans un même parallélogramme, et de là résultent entre ces coniques diverses relations à l'étude desquelles nous ne nous arrêterons pas.

Les directrices A et A" percent respectivement le plan de A" aux points C, C,

(') Si, pour achever de déterminer le plan de A, on donnait, non son angle avec le plan horizontal, mais la tangente m de l'inclinaison de sa trace sur le plan vertical de l'épure, on construirait l'angle KP,X, comme nous l'avons expliqué à l'article 58.

Nous n'avons pas à nous donner la pente des génératrices; elle résulte de la position du plan do A, conformément aux relations que nous avon6 admises à l'article .*>7t».

I2Î 1,1 VM£ VI. — SUBPACES DÉVELOPPABLES.

et D, D, (■ ); les droites CD, C,D,, DC, et D,C forment donc un groupe simple : ce sont des génératrices tangentes à A", et leurs points de contacty,/,, j, et J sont des sommets de la développable.

Les droites (AB, A'B'), (A.B., A\B\), (BA,, B'A't) et (BfA, fftÀ') sont de même des génératrices tangentes a A; elles déterminent les quatre sommets (I, I'), Oit l'i )* (*n i'i ) et {h *")• Les deux dernières sont parallèles au plan vertical, et par suite leurs projections sur ce plan forment deux des côtés du quadrilatère circonscrit dont nous venons de parler; les droites B'A'â et B', A' sont donc tangentes a la projection de A* en A', et en A', et à la projection de A" en B' et en B', ; le diamètre D\D', respectivement conjugué à A', A' et à B'£ B', est par conséquent parallèle à WA\ et a B', A'.

L'angle constant formé par les génératrices de la surface avec le plan horizontal est égal à l'angle que forment les droites B'A', et B',A' avec O'X', ou à D'O'X'.

579. Sur la directrice A, quatre points e, c, ct et c{ d'un groupe sont les sommets d'un parallélogramme qui a ses côtés respectivement parallèles aux diamètres conjugués B,B et A, A, traces des plans des deux autres directrices sur celui de A (art. 562). On peut, par la même considération, déterminer sur A" quatre points a, b, a, et 6, qui dépendent d'un groupe, et, si ce groupe est le même que celui des points e, c, e{ et ci9 le rapport des abscisses Or et Qp sur le diamètre BOG,, intersection des plans de A et de A", sera indépendant de la position des points considérés sur A et A'7 (art. 516). Mais les points i et B, sont sur une génératrice; on doit donc avoir

— ~ lîl i)s — 0/

D'après cela, pour obtenir le point/; du parallélogramme abaKbK dont les sommets appartiennent au même groupe que ceux du parallélogramme ecetcn il suffît de tracer sp parallèle à iB,.

La construction se simplifie pour la directrice A'", parce que le diamètre DD, est commun à A" et à A'" en direction et en grandeur. Les carrés désignés par/?2 et q1 à l'article 516 sont égaux, mais de signe contraire, car le diamètre DD, n'est pas transverse pour l'hyperbole A'\ H résulte de là que les points de A" et de A*' qui appartiennent à une même génératrice ont sur DD, des abscisses égales ct de sens opposé. OH et OH, étant, sur le diamètre DD|t les abscisses des sommets du parallélogramme abaKbx, si l'on mène par les points H et H, des parallèles à A, A,

(*) Quelques-unes des indications se rapportent seulement au plan horizontal, mais on peut suivre les raisonnements sur les deux projections. Le point J,, symétrique de J, n'a pu être tracé sur la figure.