CHAPITRE PREMIER

PARAB0L01DES.

Définition. — Double système de génératrices rectilignes. — Plans tangents.

585. Nous avons dit (art. 452) que Ton appelle surfaces gauches celles qui» étant réglées, ne peuvent pas être développées sur un plan, et nous avons montré que les surfaces réglées sont en général gauches. 11 résulte de là que les surfaces développahles ne sont qu'une variété des surfaces gauches. Une surface gauche peut être déterminée par trois directrices (art. 452), ou par deux directrices et un cône directeur (art. 467); mais, dans chaque cas, il est nécessaire d'examiner si les données sont telles que les plans tangents aux divers points d'une génératrice quelconque se confondent, car alors la surface serait développable.

Nous avons toujours supposé que le lecteur connaissait les principales propriétés des surfaces du second ordre, et par conséquent du paraboloïde hyperbolique, et de rhyperboloïde à une nappe ; mais, comme ces surfaces gauches jouent un rôle fort important dans les arts graphiques, nous devons les étudier sous le rapport des constructions auxquelles leur emploi donne lieu. Nous commencerons par le paraboloïde.

586. On appelle paraboloïde hyperbolique la surface engendrée par une droite qui se meut en rencontrant deux directrices rectilignes à distance finie ou à Tinfini, et en restant parallèle à un plan qui remplace le cône directeur de l'article 467. Cette surface admet comme variétés :

i° Le système de deux plans Q et Q, qui se coupent :

Quand une des directrices AB est parallèle au plan directeur P, l'autre A,B, étant quelconque (Jig. 207);

Quand les directrices AB, CD sont dans un même plan et non parallèles au plan directeur {Jig. 207, a).