CHAPITRE T. — PARABOLOIDES

20 Le système de deux plans parallèles Q et Q, {fi g. 21 1) quand les deux directrices AB et A, B, sont parallèles au plan directeur P et non parallèles entre elles.

Lorsque les directrices sont parallèles entre elles au plan directeur, toute droite qui leur est parallèle satisfait aux conditions imposées aux génératrices, et par suite la surface n'est pas déterminée.

Nous supposerons toujours que les directrices n'ont aucune des positions relatives exceptionnelles qui viennent d'être énumérées, et alors la surface sera gauche comme ayant des directrices rectilignes (art. 46-4). Nous la désignerons par le seul nom de paraboloïde.

587. Les plans coordonnés que nous prendrons dans l'étude du paraboloïde sont le plan directeur P et un plan Q parallèle aux deux directrices. En général, ces plans ne sont pas perpendiculaires l'un à l'autre. Un point M aura pour projetantes sur les plans P et Q (fig. 280) deux droites Mm et M/nlf perpendiculaires à la ligne de terre et respectivement parallèles aux plans Q et P.

Il n'y a pas dans ce système de modifications à apporter aux constructions ordinaires relatives aux questions dans lesquelles il n'entre aucune considération de perpendicularité ou de grandeur d'angle, telles que la recherche de l'intersection de deux plans, des traces d'une droite, elc. Quand on fait des rabattements, il faut avoir égard a l'obliquité des projetantes qui est égale à l'angle des plans coordonnés.

Pour la facilité du langage, nous supposerons que le plan directeur P est horizontal.

588. Les directrices sont (A, A') et (An A',) (fig. 276); puisqu'elles ne se trouvent pas dans un même plan et qu'elles ne sont pas parallèles au plan P, leurs projections horizontales A et A,, qui, d'après les dispositions adoptées, doivent être parallèles à la ligne de terre, sont nécessairement distinctes, et leurs autres projections A' et A't rencontrent la ligne de terre.

Une droite quelconque B', parallèle à la ligne de terre, est la projection sur le plan Q d'une génératrice, car le plan horizontal B' coupe les directrices en deux points (M, M'), (M,, M't), et la droite (B, B') qu'ils déterminent satisfait aux conditions.

Du point de concours 0' des projections A' et A\ abaissons une droite O'O, perpendiculaire à la ligne de terre : les triangles semblables M,&>0 et M,cM

donnent

Ow M, &>

Le second rapport est égal à , ' et par suite à ^-^ : il est donc indépendant

de la position de la génératrice considérée (B, B'); de plus la distance Me est II. 17

l3o LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.

constante; en conséquence le point 0 est fixe sur la droite &g9 perpendiculaire à la ligne de terre. Nous voyons ainsi que les projections de toutes les génératrices sur le plan P passent par un même point ()•

589. Nous allons maintenant déterminer la trace de la surface sur un plan A* parallèle à Q. La génératrice (B, B') le rencontre en un point (M2, M2), et Ton a, en ayant égard au parallélisme des droites MM\ M,M'4 et M2M'2,