CHAPITRE I. — PARABOLOIDE. l3l

591. Un paraboloïde étant donné par sa trace horizontale OK {fig. 279) et le point de concours 0' sur le plan Q, on déterminera immédiatement la seconde trace KO' et le point de concours 0 sur le plan horizontal.

Pour avoir la projection sur le plan Q d'un point de la surface dont on se donne la première projection M, on construit la projection N'O' de la génératrice du système Q dont la projection horizontale est MN, et on relève le point M en M' sur N'O'. II y a toujours une solution, et par conséquent tout point de l'un quelconque des plans directeurs est la projection d'un point de la surface.

La génératrice du système P qui a pour projection horizontale OME se projette sur le plan Q suivant l'horizontale ME'. Si la droite indéfinie OME, tournant d'une manière continue autour du point 0, se place sur Om, se confond avec la parallèle IJ à la ligne de terre et revient a sa première position après une révolution de 1800, la génératrice qu'elle représente s'élèvera, se projettera sur m'e'9 s'éloignera à l'infini en devenant parallèle à xy, et, reparaissant au-dessous du plan horizontal, viendra reprendre sa position initiale (OME, M'E').

Nous voyons donc que, si par un point pris dans le plan directeur de l'un des systèmes on mène des droites parallèles aux génératrices de ce système, elles occuperont autour du point toutes les positions possibles, et qu'i/j a dans chaque système une génératrice située tout entière à V infini. Les deux génératrices à l'infini sont parallèles à V intersection des plans directeurs.

592. Un plan passant par la génératrice (OE, M'E') {fig. 279) a pour trace horizontale une droite LN parallèle à OE. La génératrice du système Q dont la trace est N rencontre la première génératrice en un point (M, M') et a ainsi deux points dans le plan considéré. Ce plan, contenant les deux génératrices qui se croisent au point (M, M'), est tangent en ce point à la surface.

Le plan tournant autour de la génératrice(OE,M'E'),sa trace devient successivement N,L«, N2'L2, ..., le point de contact s'éloignera en (M,, M',), (M2, M'2), ...; il se trouvera à l'infini quand le plan sera horizontal, puis il reparaîtra de l'autre côté du point (M, M'), et il reviendra à ce point quand le plan achèvera une rotation de 1800. Ainsi donc tout plan qui coupe le paraboloïde suivant une génératrice contient une génératrice de l'autre système et est tangent à la surface à leur point de rencontre; quand il est parallèle au plan directeur du système auquel appartient la génératrice considérée, l'autre génératrice et le point de contact sont à T infini ; pendant une rotation de 1800 de ce plan autour de la génératrice, le point de contact parcourt la longueur indéfinie de cette droite.

Le plan tangent en un point donné (M, M') contient les deux génératrices qui se croisent en ce point; on détermine ses traces NL et LE' sans difficulté.

l'32 LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.

Sections planes. — Diamètres. — Axe. — Plans diamétraux.

593. Nous allons maintenant chercher l'intersection par un plan (HFf HE') [fig. 282) d'un paraboloïde déterminé comme précédemment par ses traces KJ, Kl', par les projections 0 et 0' des génératrices perpendiculaires à l'intersection des plans directeurs, et par l'angle Z«YY1 de ces plans.

Un plan horizontal x'y coupe le paraboloïde et le plan sécant suivant deux droites NO/i et Gm, dont le point de rencontre (M, M') appartient à l'intersection.

En menant par le point 0 une parallèle à HF, on détermine une génératrice (16,1'è') parallèle au plan. On trouve de la même manière, dans le système Q, une génératrice (Jnb,}'n'b') parallèle à la trace HE' et au plan. A chacune de ces génératrices correspond une branche infinie.

Pour avoir les asymptotes, il faut prendre l'intersection du plan sécant avec les plans tangents de la surface aux points de la courbe situés à l'infini, c'est-à-dire avec le plan passant par (Ib, Yb') et parallèle a P, et avec le plan passant par ( Jbf l b') et parallèle a Q, car ces plans sont respectivement tangents aux points des génératrices (16, VU) et (J6, }'b') situés à l'infini. On trouve les droites (EA,E'A') et (FmA.F'iw'A').

Les triangles semblables mnM et bnO donnent

mM X bn = bOx mn;

mais les droites V b' et FA' sont parallèles à la trace HE' du plan, et par conséquent parallèles entre elles : il suit de là que les longueurs bn et km d'une part, mnet FJ de l'autre, sont égales comme projections de segments égaux et parallèles. L'équation nous donne donc

mWxAm = bOx¥J.

Les facteurs du premier membre sont les coordonnées du point M par rapport aux asymptotes AE et AF de la projection horizontale. Le second membre est constant ; la courbe est donc une hyperbole sur le plan P, et par suite dans l'espace.

Le point de concours 0 étant la projection d'une génératrice entière, la courbe cM d doit nécessairement y passer. Le point de concours 0' appartient pour le même motif à la seconde projection c'M'rf' de l'intersection. La génératrice qui se projette tout entière au point 0 perce le plan sécant en un point dont on détermine facilement la projection 0\ sur le plan Q. La génératrice du système P qui passe par le point (0, 0\) est (0/, 0\t').

On peut construire une tangente soit par les propriétés spéciales de l'hyperbole, soit comme intersection du plan tangent et du plan sécant. Nous avons employé