MM, M' M', M,M, ~M',M

Le premier rapport est celui des distances des droites A et Alf A« et A*; le second a donc la même valeur, quelle que soit la position de la génératrice considérée (B, B;), et par suite le lieu des points M'2, projection sur le plan Q de l'intersection de la surface par le plan A2, est une droite qui passe au point de concours 0' des projections A' et A',. Tout plan parallèle à Q coupe donc la surface suivant une droite; le paraboloïde admet ainsi un système de génératrices reclilignes pour lesquelles le plan Q est directeur. Les projections de ces nouvelles génératrices sont parallèles à la ligne de terre sur le plan P et passent par un même point sur le plan Q. Les directrices (A, A'), (Alf A!t) sont des génératrices de ce second système.

Nous voyons que le paraboloïde admet deux systèmes de génératrices rectilignes.

La droite B, qui joint les traces N et N, des directrices est une génératrice du système P, et forme la trace horizontale du paraboloïde.

590. Deux génératrices de systèmes différents se rencontrent, car leurs projections sur le plan P ont nécessairement un point commun tel que M2, et ce point n'est la projection que d'un seul point du paraboloïde, puisque le plan parallèle à Q et passant par M2 coupe la surface suivant une droite.

II résulte de la proposition que nous venons d'établir qu'une génératrice de l'un des systèmes rencontre toutes les génératrices de l'autre système, et par suite que deux génératrices quelconques de l'un des systèmes peuvent être prises pour directrices de celles de l'autre système.

Les projetantes des points 0 et 0' sont des génératrices qui appartiennent respectivement aux systèmes Q et P, et par conséquent la surface sera déterminée si l'on donne sa trace B, sur l'un des plans directeurs et le point de concours 0' des projections de ses génératrices sur l'autre, car, la projetante de ce point étant une génératrice du même système que B,, ces deux droites peuvent être prises pour directrices.

Deux génératrices d'un même système ne se rencontrent pas, car leurs projections sont parallèles sur l'un des plans directeurs et convergentes sur l'autre.

On voit qu'il existe entre les génératrices des deux systèmes un parallélisme complet de propriétés géométriques.