CHAPITRE I. — PARABOLOÏDE
l'origine au point O [fi g. 282), que les abscisses de la section projetée, mesurées parallèlement à XY, sont proportionnelles aux carrés des ordonnées parallèles à la tangente Oi.
Les sections planes du paraboloïde sont ainsi des hyperboles ou des paraboles, suivant la position du plan sécant, dans tous les cas des courbes du second ordre, et par conséquent la surface est elle-même de cet ordre.
Digression sur les faisceaux harmoniques (*) •
601. Nous avons parlé à l'article 598 de droites conjuguées harmoniques; nous allons montrer les relations qui existent entre ce système géométrique et la division harmonique dont nous nous sommes occupés précédemment (art. 514).
Considérons les quatre droites A, B, C et D divergeant d'un même point 0 et coupées par une sécante TT (Jîg. 271): les deux triangles aOc et a Ordonnent
sinaOc ac sinaOd ad
sine aO
s'ind
aO>
sinaOc slnaOd
ac ~~a7l
sine s'ind
sinbOc
bc
sine
slnbOd
~ bd
sinrf"
sinaOc . sin
bOc
ac .
bc
sinaOtf * sin
bOd'
~~ ad*
Fd
d'où
On a pareillement
Donc
Pour attribuer des signes aux angles que forment des droites divergentes, on prend pour origine celui de leurs côtés qui est écrit le premier, et l'on considère chaque angle comme positif ou négatif, suivant que son ouverture à partir de ce côté est dirigée dans un même sens convenu ou en sens contraire. Quand deux angles ont la même origine, leur rapport est positif s'ils ont leur ouverture dirigée dans le même sens, négatif dans le cas contraire.
Il est facile de voir sur la figure que les rapports -r--n d et — 1 auront toujours
le même signe, et qu'il en est de même des autres rapports *'. ,J\ et -A* d'où il.
résulte que les deux membres de l'équation ci-dessus sont de même signe, et que cette équation doit être considérée comme complètement exacte et non pas comme impliquant seulement une égalité de grandeurs absolues.
(') Ce paragraphe est emprunté presque textuellement aux articles 13, 11, 15 et 110 du Traité de Géométrie supérieure de M. Chasles.
l36 LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.
L expression - — ^ : . ^0^est le rapport anharmonique des quatre droites A,
B, C et D. Nous voyons donc que, si par quatre points en ligne droite on mène quatre
droites concourantes en un même point, le rapport anharmonique de ces quatre droites
sera égal à celui des quatre points et aura le même signe.
Il suit de là que, quand deux transversales rencontrent un faisceau de quatre droites
en des points a> bf c, d et a', b', c\ d\ le rapport anharmonique des quatre premiers
points est égal à celui des quatre autres et de même signe.
Ainsi Ton a
ac 9bc a* c' . i' c'
La transversale T'T" est quelconque. Si nous considérons une transversale TT* parallèle à la droite B, le pointa où elle rencontre cette ligne sera à l'infini, le
rapport -r^-p sera égal à l'unité, et nous aurons
ac . bc a" c"
ad ' bd~~ a" d"
Si le rapport anharmonique est égal à l'unité négative, la division des transversales sera harmonique (art. 514), et le faisceau sera aussi harmonique. Les segments a"c" et a"d'' seront alors égaux et de signe contraire. Réciproquement, si ces segments sont égaux et de sens opposé, le rapport anharmonique des droites sera égal à — i, et le faisceau sera harmonique : tel est le cas des quatre droites Ma, M b9 Mq et M/? de la fig. 270.
Il est facile de reconnaître que deux droites situées dans un plan sont conjuguées harmoniques des bissectrices des deux angles qu'elles comprennent.
602. Les lignes PA et PB de la fig. 226 sont coupées par les quatre droites QP, QA, QD et QG qui divergent du point Q, et par suite on a entre les segments déterminés par ces droites sur les premières la relation
