CHAPITRE I. — PARABOLOÏDE. l'i'J

on obtient

PD.GD PA • GÂ ~ l #

Les droites PQ, GQ, DQ et AQ forment donc un faisceau harmonique, et une droite quelconque telle que PM est divisée harmoniquement par ces lignes; par conséquent, si la droite QG est peu éloignée de la bissectrice de l'angle DQA, la droite PQ sera rapprochée de la bissectrice de l'angle supplémentaire, ce qui justifie l'observation que nous avons présentée à l'article 421.

Représentation du paraboloïde. Plans principaux. Paraboles principales.

603. Considérons un paraboloïde donné comme précédemment par ses traces GK et KF sur deux plans coordonnés P et Q respectivement parallèles aux deux plans directeurs {fig. 288), par l'angle de ces plans et par les projections 0 et 0' du sommet : nous déterminons la projection 0" de ce point, sur un troisième plan R, perpendiculaire aux deux autres et rabattu sur P, et nous allons représenter par un certain nombre de génératrices la partie de la surface qui est projetée sur le losange A"B"C"D" dont le centre est en 0", qui est appuyé sur la ligne de terre YY, et dont les côtés A"B" et A"D" comprennent un angle égal à celui des plans directeurs.

Nous divisons les côtés du losange en un même nombre de parties égales, et, joignant par des droites les points correspondants des côtés opposés, nous obtenons deux séries de lignes qui sont respectivement parallèles aux traces YY, et YZ, des plans P et Q, et qui représentent les unes des génératrices du système P, les autres des génératrices du système Q.

Il est facile d'avoir sur les plans P et Q les projections des lignes considérées. On peut opérer comme il suit : mener par les points de division de A"B" des parallèles à XY qui seront sur le plan P les projections des génératrices indéfinies du système Q; projeter sur XY les points de rencontre de ces droites avec AB et joindre ces projections au point 0' par des droites qui seront les secondes projections des génératrices du système Q; des points de division de A"D" ramenés sur YZ tracer des parallèles à XY et ne conserver de ces lignes que les segments compris entre les droites indéfinies A'O' et B'O'; enfin ramener les points de division des lignes A'D' et C'B' sur AD et CB, et joindre les points correspondants par des droites qui passeront nécessairement par 0.

Pour faire comprendre la disposition de la surface dans l'espace, nous avons supposé que Tune de ses faces était blanche et l'autre noire.

604. Nous prenons un nouveau plan de projection S perpendiculaire à R et parallèle à la diagonale A" G". Pour la facilité du langage, nous considérons R comme un plan horizontal, P et S comme des plans verticaux. Nous pouvons